2022年高考数学二轮复习名师知识点总结不等式及线性规划 .pdf

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1、不等式及线性规划1 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)， 再求相应一元二次方程ax2bx c0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形 ?f xg x0(0(1 时， af(x)ag(x)? f(x)g(x)；当 0aag(x)? f(x)1 时， logaf(x)logag(x)? f(x)g(x)且 f(x)0，g(x)0；当 0alogag(x)? f(x)0，g(x)0. 2 五个重要不等式(1)|a|0，a20(a R)(2)a2b22ab(a、bR)(3)a b2ab(

2、a0，b0)(4)ab(ab2)2(a，b R)(5) a2b22ab2ab2abab(a0， b0)3 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值4 两个常用结论(1)ax2bxc0(a 0)恒成立的条件是a0， 0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页(2)ax2bxc0(a 0)恒成立的条件是a0， 0.考点一

3、一元二次不等式的解法例 1(2012 江苏 )已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为 0， )，若关于x 的不等式 f(x)c 的解集为 (m，m6)，则实数c 的值为 _答案9 解析由题意知f(x) x2axb xa22ba24. f(x)的值域为 0， )，ba240，即 ba24. f(x) xa22. 又f(x)c. xa22c，即a2cx0.若 pq 为真命题，则实数m 的取值范围是() A(， 2) B2,0)C(2,0) D0,2(2)设命题p： x|02x11 ，命题 q： x|x2(2k1)x k(k1)0 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是

4、 _答案(1)C(2)0，12解析(1)pq 为真命题，等价于p，q 均为真命题命题p 为真时， m0；命题 q 为真时， m240，解得 2m2.故 pq 为真时， 2m0，y0，由 x3y 5xy 得151y3x 1. 3x4y15(3x4y)1y3x153xy4912yx135153xy12yx1351523xy12yx5(当且仅当x2y 时取等号 )，3x4y 的最小值为5. (2)方法一4x2y2xy1，(2xy)23xy 1，即 (2xy)232 2xy1，(2xy)2322xy221，解之得 (2xy)285，即 2xy2 105. 等号当且仅当2xy0，即 x1010，y105

5、时成立方法二令 t2xy，则 yt2x，代入 4x2y2xy1，得 6x2 3txt210，由于 x 是实数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页故 9t224(t21)0，解得 t285，即2 105 t2105，即 t 的最大值也就是2xy 的最大值为2 105. 方法三化已知 4x2y2 xy1 为 2x14y2154y2 1，令 2x14ycos ，154ysin ， 则34y155sin ， 则 2xy2x14y34ycos 155sin 2 105sin( )2 105. 在利用基本不等式求最值时，要特别

6、注意“拆、拼、 凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件(1)已知关于x 的不等式 2x2xa7 在 x(a， )上恒成立，则实数a 的最小值为() A1 B.32C2 D.52答案B 解析2x2xa2(xa)2xa2a22 x a 2xa2a 42a，由题意可知42a 7，得 a32，即实数a 的最小值为32，故选 B. (2)(2013山东 )设正实数x，y，z 满足 x23xy 4y2z0.则当zxy取得最小值

7、时，x 2yz的最大值为() A0 B.98C2 D.94答案C 解析由题意知： zx23xy 4y2，则zxyx23xy4y2xyxy4yx31，当且仅当x2y 时取等号，此时zxy2y2. 所以 x2yz2y2y2y2 2y2 4y 2(y1)222. 所以当 y1 时， x2yz 取最大值2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页考点三简单的线性规划问题例 3(2013 湖北 )某旅行社租用A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅行， A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1 600

8、元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且 B 型车不多于A 型车 7辆则租金最少为() A31 200 元B36 000 元C36 800 元D38 400 元答案C 解析设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为z元则 z 1 600 x2 400yx、y 满足xy21yx736x60y900，x，y0，x、yN画出可行域如图直线 y23xz2 400过点 A(5,12)时纵截距最小，zmin 51 6002 4001236 800，故租金最少为36 800 元(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范

9、围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数(1)(2013山东 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组2x y20，x2y10，3x y80所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为() A2 B1 C13D12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页(2)(2013北京 )设关于 x、y 的不等式组2xy10，xm0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足 x0 2y02，求得 m

10、 的取值范围是() A.，43B.，13C.，23D.，53答案(1)C(2)C 解析(1)由x2y10，3xy80得 A(3， 1)此时线 OM 的斜率最小，且为13. (2)当 m0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点 P(x0，y0)满足 x02y02，因此 m0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含y12x1 上的点，只需可行域边界点( m，m)在直线 y12x1 的下方即可，即m12m1，解得 m0B0直线 AxBy C0 上方直线 AxByC0 下方AxBy C0直线 AxBy C0 下方直线 AxByC0 上方主要看不等

11、号与B 的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为 “同上异下 ”，这叫 B 的值判断法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点 )，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决1 若实数 x、y 满足 4x4y2x1 2y1，则 t2x 2y的取值范围是() A0t2 B0t4 C20，且 t0，因此有 t2，故 2lg x(x0) Bsin x1sin x2(xk ，k Z) Cx212|x|(xR) D.1x211(x R) 答案C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

12、总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页解析应用基本不等式：x，yR，xy2xy(当且仅当 xy 时取等号 )逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当 x0 时， x2142 x12x，所以 lg x214lg x(x0)，故选项 A 不正确；运用基本 不等式时需保证一正二定三相等，而当 xk ，kZ 时， sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当 x0 时，有1x211，故选项D 不正确2 设 ab1，ccb； acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是() ABCD答案D 解析由不等式的基本性质可知对；幂函数 yxc(cb1

13、，所以 对；由对数函数的单调性可得logb(ac)logb(bc)，又由对数的换底公式可知logb(bc)loga(bc)，所以 logb(ac)loga(b c)，故选项D 正确3 设 Ax|x22x30 ，Bx|x2axb0，若 ABR，AB(3,4，则 a b 等于() A7 B 1 C 1 D 7 答案D 解析依题意， A(， 1) (3， )，又因为 ABR，AB(3,4，则 B1,4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页所以 a ( 14) 3，b 14 4，于是 ab 7.故选 D. 4 (2012 陕西

14、 )小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab)，其全程的平均时速为v，则() AavabBvabC.abvab2Dvab2答案A 解析由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a 和 b，则全程的平均时速为v2ssasb2abab，又ab，2a22a2abab2ab2 abab，av0，x，y 满足约束条件x1，xy 3，ya x 3 ，若 z2xy 的最小值为 1，则 a 等于() A.14B.12C1 D2 答案B 解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分 )易知直线 z2xy 过交点 A 时， z 取最小值，由x1，ya x3 ，得x1，y 2a，zmin 22a 1，解得 a12，

15、故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页6 已知变量 x，y 满足约束条件x2y30，x3y30，y10，若目标函数zyax 仅在点 (3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为() A(3,5) B.12，C(1,2) D.13，1答案B 解析如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 yax0， 要使目标函数zyax 仅在点 (3,0)处取到最大值 (即直线 zyax 仅当经过该平面区域内的点(3,0)时，在 y 轴上的截距达到最大)，结合图形可知a12. 二、填空题7已知 p：x1x0，

16、 q： 4x2xm0， 若 p 是 q的充分条件， 则实数 m的取值范围是_答案6， ) 解析由 p 得： 00，a1)的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mxny10 (mn0)上，则1m1n的最小值为 _答案4 解析定点 A(1,1)，又 A 在 mxny10 上，mn1.1m1n(mn)1m1n2nmmn4. 当且仅当 mn12时取等号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页9 已知实数x，y 满足y0，yx10，y2x4 0，若 zyax 取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则 a 的值为 _答案1 解析依

17、题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示要使 zyax 取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线 zy ax 必平行于直线yx10，于是有a1. 10 (2013 浙江 )设 zkx y，其中实数x， y 满足xy20，x2y40，2x y40.若 z 的最大值为12，则实数 k_. 答案2 解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0 k12时，直线y kxz 经过点 M(4,4)时 z最大，所以4k412，解得 k2(舍去 )；当 k12时，直线 y kxz 经过点 (0,2)时 z最大，此时z 的最大值为 2，不合题意；当k0 时，直线y kxz 经过点 M(4

18、,4)时 z 最大，所以4k412，解得 k2，符合题意综上可知，k2. 三、解答题11求解关于x 的不等式ax2(a1)x10. 解(1)当 a0 时，原不等式变为x11 (2)当 a0 时，原不等式可化为a(x1) x1a0. 若 a0，又因为1a1 或 x0，则上式即为(x1) x1a0. 当1a1 时，原不等式的解集为x|1ax1，即 0a1 时，原不等式的解集为x|1x1a. 综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为x|x1 ；当 a0 时，原不等式的解集为x|x1 ；当 0a1 时，原不等式的解集为x|1x1 时，原不等式的解集为x|1ax1 . 12某工厂利用辐射对食品进行灭菌消

19、毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理， 建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为pk3x5(0 x8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100 万元 为了交通方便， 工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5 万元，铺设路面每公里成本为6 万元设 f(x)为 建造宿舍与修路费用之和(1)求 f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值解(1)根据题意得100k315，所以 k800，故 f(x)8003x556x,0 x8. (2)因为 f(x)8003x

20、52(3x5)580 5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页当且仅当8003x52(3x5)即 x5 时 f(x)min 75. 所以宿舍应建在离厂5 km 处，可使总费用f(x)最小，最小为75 万元13已知函数f(x)13ax3bx2(2b)x1 在 xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且 0 x11x20；(2)若 za2b，求 z 的取值范围(1)证明求函数 f(x)的导数 f(x)ax22bx2b. 由函数 f(x)在 xx1处取得极大值，在 xx2处取得极小值，知x1、x2是 f(x)0 的两个根，所以 f (x)a(xx1)(xx2)当 x0，由 xx10，xx20. (2)解在题设下， 0 x11x20，f 1 0，即2b0，a2b2b0，化简得2b0，a3b20.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2b0，a 3b2 0,4a5b20 所围成的 ABC 的内部，其三个顶点分别为：A47，67，B(2,2) ，C(4,2)z在这三点的值依次为167，6,8. 所以 z 的取值范围为 (167，8)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页