2022年高考数学双曲线标准方程典型例题 .pdf
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1、学习必备欢迎下载(一)双曲线的标准方程典型例题例 1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征分析: 由于9k,25k,则k的取值范围为9k,259k,25k,分别进行讨论解: (1) 当9k时,025k,09k, 所给方程表示椭圆, 此时ka252,kb92,16222bac,这些椭圆有共同的焦点(4, 0) , (4,0) ( 2)当259k时,025k,09k,所给方程表示双曲线,此时,ka252,kb92,16222bac,这些双曲线也有共同的焦点(4,0) , ) ( 4,0) (3)25k,9k,25k时,所给方程没有轨迹例 2根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)
2、过点4153,P,5316,Q且焦点在坐标轴上(2)6c,经过点(5, 2) ,焦点在x轴上(3)与双曲线141622yx有相同焦点,且经过点223,解: (1)设双曲线方程为122nymx,P、Q两点在双曲线上,12592561162259nmnm解得916nm所求双曲线方程为191622yx说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的(2)焦点在x轴上,6c,设所求双曲线方程为:1622yx(其中60)双曲线经过点 (5,2) ,16425,5或30(舍去), 所求双曲线方程是1522yx(3)设所求双曲线方程为:160141622yx,双曲线过点223,14416184
3、或14(舍) ,所求双曲线方程为181222yx说明:与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后,便有了以上巧妙的设法例 3 已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F, 点P在双曲线上的左支上且3221PFPF, 求21PFF解:点P在双曲线的左支上, 621PFPF, 362212221PFPFPFPF, 1002221PFPF100441222221bacFF,9021PFF说明: “点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键,若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
4、 - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载例 4 已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点, 点P在双曲线上且满足9021PFF,求21PFF的面积 解: P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点4221aPFPF,52221cFF9021PFF,在21FPFRt中,202212221FFPFPF162212221221PFPFPFPFPFPF,1622021PFPF,221PFPF1212121PFPFSPFF例 5在ABC中,2BC,且ABCsin21sinsin,求点A的轨迹 解: 以BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则01,B,01 ,C设
5、yxA,由ABCsin21sinsin及正弦定理可得:121BCACAB2BC, 点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:0012222babyax,12a,22c, 21a,1c, 43222acb, 所求双曲线方程为134422yx01ACAB, 21x,点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分例6在周长为48 的直角三角形MPN中,90MPN,43tanPMN,求以M、N为焦点,且过点P的双曲线方程分析: 由双曲线定义可知aPNPM2,cMN2,所以利用条件确定MPN的边长是关键解: MPN的周长为48,且43tanPMN,设kPN3,kPM4,则kMN5由48543kkk,
6、得4k12PN,16PM,20MN以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,设所求双曲线方程为12222byax)0,0(ba由4PNPM,得42a,2a,42a由20MN,得202c,10c由96222acb,得所求双曲线方程为196422yx例 7求下列动圆圆心M的轨迹方程:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载(1)与2222yxC:内切,且过点02,A(2)与11221yxC:和41222yxC :都外切(3)与93221yxC:外切,且与13222yxC :内切 分析: 这是圆与圆
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