2022年高考数学复习不等式的证明 .pdf

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1、学习必备欢迎下载6.2 不等式的证明（一）知识梳理1.均值定理： a+b2ab ；ab（2ba）2（a、bR+） ，当且仅当 a=b 时取等号 . 2.比较法： ab0ab，ab0ab. 3.作商法： a0，b0，ba1ab. 特别提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式. 2.比商法要注意使用条件，若ba1 不能推出ab.这里要注意a、 b 两数的符号 . 点击双基1.若 a、 b 是正数，则2ba、ab 、baab2、222ba这四个数的大小顺序是A.ab 2babaab2222baB.22

2、2baab 2babaab2C.baab2ab 2ba222baD.ab 2ba222babaab2解析：可设a=1， b=2，则2ba=23，ab =2 ，baab2=34，222ba=241=25=5.2. 答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载2.设 0 x1，则 a=2 x，b=1+x，c=x11中最大的一个是A.a B.b C.c D.不能确定解析： 0 x1，1+x2x =x4x2. 只需比较1+x 与x11的大小 . 1+xx11=xx1112=xx12 0，1+xx11. 答案

3、： C 3.若 a、b、c 是常数，则“a0 且 b2 4ac0”是“对任意xR，有 ax2+bx+c0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件必要条件解析：当 a0，b24ac0 时， ax2+bx+c0. 反之， ax2+bx+c 0 对 xR 成立不能推出a 0，b24ac0. 反例： a=b=0，c=2.故选 A. 答案： A 4.（理）已知 |a+b| c（a、b、cR） ，给出下列不等式：a bc； a b+c； abc； |a|b|c； |a| |b|c. 其中一定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序号都填上）解析： |a+b| c， ca+b c. b+ca bc

4、.故成立，不成立. |a+b| c，|a+b|a| |b|，|a|b| c.|a|b| c. 故成立，不成立. 答案：（文）若a、 bR，有下列不等式：a2+32a； a2+b22（ab1） ； a5+b5a3b2+a2b3； a+a12.其中一定成立的是_. 解析： a2+3 2a=（a1）2+2 0，a2+32a；a2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20，a2+b22（ab 1） ；a5+b5a3b2 a2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2）=（a2 b2） （a3b3）=（a+b） （ab）2（a2+ab+b2）. （ a b）20， a2+ab+b20，但 a+b 符号

5、不确定，a5+b5a3b2+a2b3不正确；aR 时， a+a12 不正确 . 答案：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为 _. 解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2v0） ，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=vvs2+vvs2=22222vvsv，平均速度 v1=ts2=2222vvv. v1v2=2222vvvv2=22vv0，v1v2. 答案： v1v2典例剖析【例 1

6、】 设 a0，b0，求证：（ba2）21（ab）21a21+b21. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明. 证法一：左边右边abba33）（）（a b ）abbaabbababa）（）（abbababa）（2abbaba2）（0. 原不等式成立. 证法二：左边0，右边 0，右边左边）（）（baabbababaabbabaababab21. 原不等式成立. 评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例 3 则是公式法与配方法的综合应用. 【例 2】 已

7、知 a、b、 x、yR+且a1b1，x y. 求证：axxbyy. 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合. 证法一：（作差比较法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载axxbyy=）（byaxaybx，又a1b1且 a、bR+，ba0.又 xy0， bxay. ）（byaxaybx0，即axxbyy. 证法二：（分析法）x、y、a、b R+，要证axxbyy，只需证明 x（y+b） y（x+a） ，即证 xbya. 而由a1b1 0， ba0.又 xy 0，知 xbya 显然成立 .故原不

8、等式成立. 思考讨论该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一：令f（x）=axx，易证 f（x）在（ 0，+）上为增函数，从而axxbyy. 再令 g（x） =xmm，易证 g（x）在（ 0，+）上单调递减. a1b1，a、bR+. ab. g（a） g（b） ，即ammbmm，命题得证 . 解法二：原不等式即为1axax1byby，为此构造函数f（x）=1xx，x（ 0，+） . 易证 f（ x）在（ 0，+）上为单调增函数，而axby，1axax1byby，即axxbyy. 【例 3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为

9、平均每吨每天3 元，购面粉每次需支付运费900 元. （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少? （2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9 折优惠（即原价的90%） ，问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由 . 解： （1）设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为36x+6（x1）+62+61=9x（ x+1）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载设平均每天所支付的总费用为y1元，则 y1=x1

10、9x（x+1） +900+61800 =x900+9x+108092xx9900+10809 =10989. 当且仅当 9x=x900，即 x=10 时取等号，即该厂应每隔10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. （2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35 天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2元，则y2=x19x（x+1） +900+6 18000.90 =x900+9x+9729（x35）. 令 f（x）=x+x100（x35） ，x2 x1 35，则f（x1） f（x2）=（ x1+1100 x）（ x2+2100 x）=212112100 xxxxxx）（x2x

11、135，x2x10， x1x20，100 x1x20. f（x1） f（x2） 0，f（x1） f（x2） ，即 f（x）=x+x100，当 x35 时为增函数 . 当 x=35 时， f（ x）有最小值，此时y2 10989.该厂应该接受此优惠条件. 闯关训练夯实基础1.设 x0，y0，且 xy（ x+y）=1，则A.x+y 22 +2 B.x+y22 +2 C.x+y（2 +1）2 D.x+y（2 +1）2解析： x0，y0， xy（2yx）2. 由 xy（ x+y）=1 得（2yx）2（ x+y） 1. x+y 2+22 . 答案： B 2.已知 x、yR，M=x2+y2+1，N=x+y

12、+xy，则 M 与 N 的大小关系是A.MN B.MN C.M=N D.不能确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析： MN=x2+y2+1（ x+y+xy）=21 （x2+y22xy）+（x22x+1）+（ y2 2y+1） =21 （xy）2+（x1）2+（y1）2 0. 答案： A 3.设 a 0，b0，a2+22b=1，则 a21b的最大值是 _. 解析： a2+22b=1a2+212b=23. a21b=2 a212b2 22122ba=2 223=423. 答案：4234.若记号“”表示

13、求两个实数a 和 b 的算术平均数的运算，即ab=2ba，则两边均含有运算符号“”和“+” ，且对于任意3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是_. 解析： ab=2ba，ba=2ab，ab+c=b a+c. 答案： ab+c=ba+c. 思考：对于运算“”分配律成立吗? 即 a（ b+c）=ab+ac. 答案：不成立5.当 mn 时，求证： m3m2n3mn22m2n6mn2n3证明：（ m3m2n3mn2）（ 2m2n6mn2n3） m33m2n3mn2n3（ m n）3，又 mn， mn 0.（ mn）30，即（ m3m2n3mn2）（ 2m2n6mn2n3） 0. 故 m3m2

14、n3mn22m2n6mn2n36.已知 a1， 0，求证： loga（a+） loga+（ a+2 ）. 证明： loga（a+） log（a+）（ a+2 ）=aalglg）（）（）（aalg2lg=）（）（）（aaaaalglg2lglglg2a1， 0，lga0，lg（a+2） 0，且 lgalg（a+2）. lgalg（a+2）（22lglg）（aa） 2 =22lg2）（aa22lg2）（a2=lg2（ a+）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载）（）（）（aaaaalglg2lglglg

15、20. loga（a+） log（a+）（a+2）. 培养能力7.已知 x0，y0，若不等式x +y myx恒成立，求实数m 的最小值 . 分析：x +y myx恒成立，myxyx恒成立 . m 的最小值就是yxyx的最大值 . 解：x +y myx恒成立，myxyx恒成立 . x0，y0，yx22）（yx=2yx. yxyx2yxyx=2 . m 的最小值为2 . 评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段. 8.有点难度哟！求证： 在非 RtABC 中，若 a b，ha、hb分别表示a、b 边上的高，则必有a+hab+hb. 证明：设 S表示 ABC 的面积，

16、则S=21aha=21bhb=21absinC. ha=bsinC，hb=asinC.（ a+ha）（ b+hb）=a+bsinC basinC=（ab） （1sinC）. C2， 1sinC0. （ a b） （1sinC） 0. a+hab+hb. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载探究创新9.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0） ，方程 f（x） x=0 的两根 x1、x2满足 1x1x2a1. （1）当 x（ 0，x1）时，证明xf（x） x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x

17、0对称，求证x021x. 证明： （ 1）令 F（ x）=f（x） x，x1、x2是方程 f（x） x=0 的根，F（ x）=a（ xx1） （x x2） . 当 x（ 0， x1）时，由于x1 x2，（ xx1） （xx2） 0. 又 a0，得 F（x）=a（xx1） （xx2） 0，即 xf（x）. 又 x1f（ x）=x1 x+F（x） =x1x+a（x1x） （xx2）=（ x1 x） 1+a（xx2） ，0 xx1x2a1， x1 x0，1+a（ xx2）=1+axax21 ax20，x1f（x） 0，即 f（x） x1. 综上，可知xf（x） x1. （2）由题意知x0=ab2.

18、x1、x2是方程 f（x） x=0 的根，即 x1、x2是方程 ax2+（b1） x+c=0 的根，x1+x2=ab1. x0=ab2=axxa2121）（=aaxax2121. 又 ax2 1， x0aax21=21x. 思悟小结1.比较法有两种形式： 一是作差，二是作商 .用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法 .它的依据是不等式的基本性质. 2.步骤是：作差（商）变形判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0 的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与 1 的大小关系 . 3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明

19、方法综合使用. 4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误. 教师下载中心教学点睛1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载2.对于公式a+b2ab ，ab（2ba）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和 a+b 的转化关系 . 拓

20、展题例【例 1】设 a、bR，关于 x 的方程 x2axb0 的实根为 、.若 a b 1，求证： 1， 1. 证法一： a，b， a b 1. 1， （ 1） （ 1） 0. 1.同理， 1. 证法二：设f（x）=x2ax b，则有f（1） 1ab1（ a b） 110，f（ 1） 1a b1（ a b） 0. 0 a 1， 1a1. 212a21. 方程 f（x） 0 的两实根在（1，1）内，即 1， 1. 评述： 证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（1，1）内 . 【例 2】 是否存在常数C，使得不等式yxx2+yxy2Cyxx2+yxy2对任意正数 x、y 恒成立 ?试证明你的结论. 解：当 x=y 时，可由不等式得出C=32. 下面分两个方面证明. 先证yxx2+yxy232， 此不等式3x （x+2y） +3y （2x+y） 2 （2x+y）（ x+2y）x2+y22xy. 再证yxx2+yxy232，此不等式3x（2x+y）+3y（x+2y） 2（ x+2y） （ 2x+y）2xyx2+y2. 综上，可知存在常数C=32，使对任何正数x、y 不等式恒成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页