2022年最新数学分析第四章函数的连续性 .pdf

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1、精品文档精品文档第 四 章函 数 的 连 续 性1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函 数在坐 标平 面上 的图象 是一 条连绵 不断 的曲线 .当然我们不能满足于这种直观的认 识, 而应 给出函 数连 续性 的精确 定义 , 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先 定义 函数 在一点 的连 续性和 在区 间上的连续性. 一函数在一点的连续性定义 1 设函数 f 在某 U( x0 ) 内有定义.若lim x x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 0 则称 f 在点 x0 连续 . 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1

2、在点 x = 2 连续 , 因为又如 , 函数lim x 2 f ( x) = lim x 2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = xsin 1x , x 0 ,0 , x = 0 在点x = 0 连续 , 因为lim x 0 f ( x) = lim x 0 xsin 1x = 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连 续 的另 一种 表述 , 记 x = x - x0 , 称为 自 变量 x( 在点x0 ) 的增量 或改变量.设 y0 = f ( x0 ) , 相应 的函数y ( 在 点 x0 ) 的增 量记为y = f

3、( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + x) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量 x 或函数的增量y 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后, 易见 “函数 y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于lim y = 0 . x 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档70 第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性是通 过极限 来定 义的

4、, 因 而 也可 直接 用 - 方式来叙述 , 即 : 若对任给的 0 , 存在 0 , 使得当 | x - x0 | 时有| f ( x) - f ( x0 ) | , ( 2) 则称函数f 在点 x0 连续 . 由上述定义, 我们可得出函数f 在点 x0 有 极限 与 f 在 x0 连 续这两 个概 念之间的联系.首先 , f 在点 x0 有极限是f 在 x0 连续的必要条件; 进一步说“ ,f 在点 x0 连续”不仅要求f 在点 x0 有极限 , 而且其 极限值应 等于f 在 x0 的函数 值f ( x0 ) .其次 , 在讨论极限时 , 我们假 定f 在 点 x0 的某 空心 邻域U

5、( x0 ) 内有 定义( f 在点 x0 可以没有定义) , 而 “ f 在点 x0 连续”则要求f 在某 U( x0 ) 内 ( 包 括点 x0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当x = x0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的 “0 | x - x0 | ” 换成了在连续定义中的“ | x - x0 | 0 , 为使| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | | x | , 只要取 = , 即可按 - 定义推得f 在 x = 0 连续 . 相应于f 在点 x0 的左、右极限的概念, 我们给出左、 右连续的定义如下: 定义 2 设函数f 在某U +

6、( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 内有定义.若lim x x +0 f ( x) = f ( x0 ) lim-x x 0 f ( x) = f ( x0 ) ,则称f 在点x0 右 ( 左 ) 连续. 根据上述定义1 与定义 2 , 不难推出如下定理. 定理 4. 1 函数f 在点 x0 连续的充 要条 件是 : f 在 点 x0 既是 右连续 , 又是 左连续. 例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性. 解因为f ( x ) = x + 2 , x 0 , x - 2 , x 0 不妨设 12 , 满足1 的正 整q 数 q 显然只有有限个( 但至少有一个, 如 q = 2)

7、 , 从而使R( x ) 的 有理数x (0 , 1 ) 只有有限个至少有一个, 如12 , 设为 x1 , , xn .取 = min | x1 - | , , | xn - | , 1 - ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档3 1 连续性概念73则对任何x U(;) ( ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有R( x ) , 当 x 为无理数时 R ( x ) = 0 .于是 , 对

8、任何x U(;) , 总有R ( x) - R() = R ( x ) 0 . 所以R ( x ) 在任何有理点处都不连续. 习题1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续:( 1) f ( x ) = 1 ; ( 2) f ( x ) = | x | . x 2. 指出下列函数的间断点并说明其类型:( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x ; x | x | ( 3) f ( x ) = | cos x | ; ( 4) f ( x) = sgn | x | ; ( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ; x , x 为有理数 ,

9、( 6) f ( x ) = ( 7) f ( x ) = - x , x 为无理数 ; 1 x + 7 , - x - 7 , x , - 7 x 1 ( x - 1 )sin 1 , 1 x 0 ( 或 0 ) , 则 对任何正数r f ( x0 ) ( 或 r r ( 或 f ( x ) 0 时 ) 存在某 U( x0 ) , 使在其内有f ( x) 12 f ( x0 ) . 定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数f 和 g 在点 x0 连续 , 则 f g , f g, 6 fg( x0 ) 0) 也都在点x0 连续 . 以上三个定理的证明, 都可从函数极限的有关定理直接推得. g

10、/ ( 这里对常量函数y = c 和函数y = x 反复应用定理4. 4 , 能推出多项式函数P( x) = a0 x + a1 x + + an - 1 x + an和有理函数R ( x ) = P( x)Q( x) ( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每一点都是 连续的. 同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - -

11、 - - - - 精品文档精品文档0 2 连续函数的性质75一点都连续. 关于复合函数的连续性, 有如下定理: 定理 4. 5 若函数f 在点 x0 连续 , g 在点u0 连续 , u0 = f ( x0 ) , 则复合函 数g f 在点x0 连续 . 证由于 g 在 u0 连续 ,对任给的 0, 存在 1 0 , 使得当 | u - u0 | 1 时有| g( u) - g( u0 ) | 0 , 存在 0 , 使得 当| x - x0 | 时有 | u - u0 | = | f ( x ) - f ( x0 ) | 0 , 存在 0 , 当 | x - x0 | 时有| g ( f (

12、x ) ) - g( f ( x0 ) ) | . 这就证明了g f 在点x0 连续 . 注根据连续性的定义, 上述定理的结论可表为lim x x 0 g( f ( x) ) = g lim x x 0 f ( x ) = g( f ( x0 ) ) . ( 2) 例 1 求 lim sin (1 - x2 ) . x 1 解sin( 1 - x2 ) 可看作函数g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x2 的复合.由 ( 2) 式得lim sin ( 1 - x2 ) = sin lim (1 - x2 ) = sin 0 = 0 . x 1 x 1 注 若复合函数g f

13、 的内函 数 f 当 x x0 时 极限 为 a , 而 a f ( x0 ) 或 f 在x0 无定义 ( 即 x0 为 f 的可去间断点) , 又外函数g 在 u = a 连续 , 则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限, 即有lim x x 0 g( f ( x ) ) = g lim x x 0 f ( x) . ( 3) 读者还可证明: ( 3 ) 式 不 仅 对于x x0 这 种 类型 的 极 限 成立 , 而 且对 于x + , x - 或x x等类型的极限也是成立的. 例 2 求极限 :(1 ) lim 2 - sin x ; (2 ) lim 2 - sin x .x 0 解(

14、1 ) lim x 0 x 2 - sin x x x = 2 - lim x 0 x sin x = 2 - 1 = 1; x (2 ) lim 2 - sin x = 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . x x x x二闭区间上连续函数的基本性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档设 f 为闭区间 a , b 上 的连续 函数 , 本 段中我 们讨 论 f 在 a , b 上

15、 的整 体性质. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档76 第四章函数的连续性定义 1 设 f 为定义在数集D 上的函数.若存在 x0 D, 使得对一切x D 有f ( x0 ) f ( x ) ( f ( x0 ) f ( x) ) , 则称f 在 D 上有最大 ( 最小 ) 值 , 并称 f ( x0 ) 为 f 在 D 上的 最大 ( 最小 ) 值 . 例如 , sin x 在 0 , 上有

16、最大 值 1 , 最小 值 0 .但 一般 而言 , 函数 f 在其定 义域 D 上不一定有最大值或最小值( 即使f 在 D 上有界 ) .如 f ( x) = x 在 ( 0 , 1) 上既无最大值也无最小值.又如g( x ) = 1 x , x (0 , 1 ) , 2 , x = 0 与 1 , ( 4) 它在闭区间 0 , 1 上也无最大、最小值.下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件. 定理 4 .6 ( 最大、最 小值 定理 ) 若函 数f 在闭 区 间 a , b 上 连 续, 则f 在 a , b 上有最大值与最小值. 此定理和随后的定理4. 7 以及本节最后的定理4.

17、 9 , 其证明 将在第 七章 2 给出.在这里读者先对这些定理有所了解, 并能初步运用它们. 推论 ( 有界性定理) 若 函 数f 在闭 区 间 a, b 上 连 续 , 则 f 在 a , b 上 有界 . 易见由 (4 ) 式给出的函数g 在闭区间 0 , 1 上无界 , 请读 者考虑为 什么对 函数 g 上述推论的结论不成立. 定理 4 .7 ( 介 值 性 定理 ) 设函 数f 在 闭区 间 a , b 上 连 续 , 且f ( a ) f ( b) .若 为介于f ( a) 与 f ( b) 之间的任何实数( f ( a) f ( b) ) , 则至少存在一点x0 ( a , b)

18、 , 使得f ( x0 ) = . 这个定理表明, 若 f 在 a , b 上连续 , 又不妨设f ( a) f ( b) , 则 f 在 a, b 上必能取得区间 f ( a) , f ( b) 中的一切值, 即有 f ( a) , f ( b) f ( a, b ) , 其几何意义如图4 - 2 所示 . 推论 ( 根的存在定理) 若函数f 在闭 区间 a, b 上 连续 , 且 f ( a ) 与 f ( b) 异号 ( 即 f ( a) f ( b) 0 , n 为正整数 , 则存在唯一正数x , 使得xn = r( x 称为n r 的 n 次正根 ( 即算术根 ) , 记作x0 =

19、r ) . 证先证存在性.由于当x + 时有xn + , 故必存在正数a , 使得 an r . 因 f ( x ) = xn 在 0 , a 上连续 , 并有 f ( 0) r f ( a) , 故 由介 值性定 理 , 至 少存在一点x ( 0 , a) , 使得f ( x ) = xn = r . 再证唯一性.设正数 x 使得 x n = r , 则有x n n n - 1 n - 2 n - 1 0 - x1 = ( x0 - x1 ) x0 + x0 x1 + + x1 = 0 , 由于第二个括号内的数为正, 所以只能x0 - x1 = 0 , 即 x1 = x0 . 例 4 设 f

20、 在 a , b 上连续 , 满足f ( a , b ) a , b . ( 5) 证明 : 存在x0 a , b , 使得f ( x0 ) = x0 . ( 6) 证条件 (5 ) 意味着 : 对任何x a , b 有 a f ( x ) b, 特别有a f ( a) 以及f ( b) b . 若 a = f ( a) 或 f ( b) = b, 则 取 x0 = a 或 b, 从 而 ( 6 ) 式 成 立 .现设 a f ( a ) 与f ( b) 0 , F( b) = f ( b) - b 0 , 可在 ( a , b) 内 x0 的两 侧各 取异 于 x0 的点 x1 , x2 (

21、 x1 x0 x2 ) , 使 它们与 x0 的 距 离 小于( 图 4 - 4) . 设与 x1 , x2 对应的函数值分别为y1 , y2 , 由 f 的严格增性知y1 y0 y2 .令 = min( y2 - y0 , y0 - y1 ) , 图4 - 4 则当 y U ( y0 ;) 时 , 对应的x = f ( y) 的值都落在x1 与 x2 之间, 故有| f - 1 ( y) - f - 1 ( y ) | = | x - x | 0 , 存在 = () 0 , 使得对任何x , x I , 只要 | x- x | , 就有| f ( x ) - f ( x ) | , 则称函数

22、f 在区间I 上一致连续. 直观地说 , f 在 I 上一致 连 续意 味着 : 不 论 两点x 与 x 在 I 中 处 于什 么 位置 , 只要它们的距离小于, 就可使 | f ( x ) - f ( x ) | 0 , 由于| f ( x ) - f ( x ) | = | a | | x - x| , 故可选取= | a | , 则对任何x , x ( - , + ) , 只要 | x- x | , 就有| f ( x ) - f ( x ) | 0 , 对任 何正数 ( 不 论 多么小 ) , 总 存在 两点x , x I , 尽 管| x- x | , 但有 | f ( x ) -

23、f ( x ) |0 . 对于本例中函数y = 1 , 可取 0 = 1 , 对无论多么小的正数 1 , 只要取x2 x= 与x= ( 图 4 - 5) , 则虽有2 | x- x| = 2 但 1 , 所以 y = 1 在( 0 , 1) 内不一致连续. x 函数在区间上连续 与一 致连 续 这两 个概图4 - 5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档80 第四章函数的连续性念有着重要的差别.

24、f 在区间 I 上连续 , 是指任给 0 , 对每 一点x I , 都存 在相应的正数= (, x) , 只要x I 且 | x - x | , 就有 | f ( x ) - f ( x ) | 0 , 由 f 在 I1 和 I2 上 的 一致 连续 性, 分别 存在 正 数 1 和 2 , 使得对任何x , x I , 只要 | x- x | 1 , 就有| f ( x ) - f ( x ) | ; ( 7) 又对任何x , x I2 , 只要 | x- x | 0 , 存在 3 0 , 当| x - c | 3 时有| f ( x ) - f ( c) | . ( 8) 2 令 = mi

25、n (1 , 2 , 3 ) , 对任何x , x I , | x- x | , 分别讨论以下两种情形 : ( i) x , x 同时属于I1 或同时属于I2 , 则 ( 7) 式成立 ; ( ii ) x , x 分属 I1 与 I2 , 设 x I1 , x I2 , 则| x- c | = c - x x- x 3 , 故由 (8 ) 式得 | f ( x ) - f ( c) | 2 .同理得 | f ( x ) - f ( c) | g( x0 ) , 则存在 U( x0 ;) , 使在其内有f ( x ) g( x) ; ( 2) 若在某U ( x0 ) 内有f ( x ) g(

26、x) , 则 f ( x0 ) g( x0 ) . 3. 设 f , g 在区间 I 上连续 .记F( x) = max f ( x) , g( x) , G( x ) = min f ( x) , g( x) . 证明 F 和 G 也都在I 上连续 . 提示 : 利用第一章总练习题1 . 4. 设 f 为 R 上连续函数, 常数 c 0 .记- c , 若 f ( x) c . 提示 : F( x) = max - c, min c , f ( x) . x - , x0 , 5. 设 f ( x) = sin x , g( x) = x + , x 0 . 证明 :复合函数f g 在 x

27、= 0 连续 , 但 g 在 x = 0 不连续. 6. 设 f 在 a , + ) 上连续 , 且 lim x + a , + ) 上必有最大值或最小值吗? f ( x ) 存 在 .证明 : f 在 a , + ) 上 有界.又 问 f 在7. 若对任何充分小的 0 , f 在 a + , b - 上连续 , 能否由此推出f 在 ( a , b) 内连续. 8. 求极限 : ( 1) lim (- x ) tan x ; (2 ) lim x 1 + 2 x - x - 1 . x 4 x 1 +x + 1 9. 证明 : 若 f 在 a , b 上连续 , 且对 任何x a , b ,

28、f ( x ) 0 , 则 f 在 a , b 上 恒正 或恒负 . 10. 证明 :任一实系数奇次方程至少有一个实根. 11. 试用一致连续的定义证明: 若 f , g 都在 区间 I 上一 致连 续, 则 f + g 也 在 I 上一 致连续 . 12. 证明f ( x) = x 在 0 , + )上一致连续. 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) , 利用定理4. 9 和例 10 的结论. 13. 证明 : f ( x) = x2 在 a , b 上一致连续, 但在 ( - , + ) 上不一致连续. 14. 设函数f 在区间 I 上满足 利普希 茨 ( Lipsch

29、itz) 条件 , 即存 在常数L 0 , 使得 对 I 上任意两点x , x 都有| f ( x ) - f ( x ) | L | x - x| . 证明 f 在 I 上一致连续. 15. 证明 sin x 在 ( - , + ) 上一致连续. 提示 : 利用不等式|sin x- sin x | | x- x |( 见第三章 1 例 4) . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档82 第四章函

30、数的连续性16. 设函数f 满足第6 题的条件.证明 f 在 a , + ) 上一致连续. 17. 设函数f 在 0 , 2 a 上连续 , 且 f (0 ) = f (2 a) .证明 :存在 点 x0 0 , a , 使 得 f ( x0 ) = f ( x0 + a) . 18. 设 f 为 a , b 上的增函数, 其值域为 f ( a) , f ( b) . 证明 f 在 a , b 上连续. 19. 设 f 在 a , b 上连续 , x1 , x2 , , xn a , b . 证明 :存在 a , b , 使得f () = 1 f ( x ) + f ( x ) + + f (

31、 x ) . n 1 2 n 20. 证明f ( x) = cos x 在 0 , + )上一致连续. 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) . 在 1 , + ) 上成立不等式cos x- cos xx- xx- x .3 初等函数的连续性从前面两节知道, 在基本初等函数中 , 三 角函 数、反三角 函数 以及有 理指 数幂函数都是其定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数的连续性, 以及初等函数的连续性. 一指数函数的连续性在第一章中 , 我们已定义了实指数的乘幂, 并证明了指数函数y = ax ( 0 0 , , 为任意实数, 则有+ a a =

32、 a , ( a ) = a . 证不妨设a 1 , 则 ax 由第一章 3 (6 ) 式所定义 , 即ax = sup r 0 , 设 r , s 为两个有理数, 且 r , s , 使得由 ax 的严格增性得a - ar , a - as . 又有aras = ar + s , 故得ar + s a+ .+ 由 的任意性推出( a - ) ( a - ) a . + a a a . 为证相反的不等式, 设 p 为有理数 , 且 p + , 使得a+ - ap . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

33、- - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档再取有理数r , s 使 r , s 以及 p r + s , 则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档0 0 v ( x ) v( x ) ln u ( x ) 3 初等函数的连续性83故得到ap ar + s = ar as a a, a+ - 0 ) 在 R 上是连续的. 证先设 a

34、1 .由第三章 2 例 4 知lim ax = 1 = a0 , x 0 这表明 ax 在 x = 0 连续 .现任取 x R .由定理 4. 10 得ax = ax0 + ( x - x0 ) = ax 0 ax - x0 .令 t = x - x0 , 则当x x0 时有t0 , 从而有lim x x 0 ax = lim x x 0 ax0 ax - x 0 = ax0 lim t 0 at = ax 0 . 这就证明了ax 在任一点x 连续 . 当 0 a 1 , 而x ax = 1 b = b- x 可看作函数bu 与 u = - x 的复合, 所以此时ax 亦在 R 上连续. 利用

35、指数函数ax 的连续性 , 以及第三章 5 例 4 中已证明的lim x - ax = 0 , lim x + ax = + ( a 1) , 可知 ax 的值域为 ( 0 , + ) (0 a 0 , lim x x 0 v( x) = b .证明lim x x u( x ) v ( x ) = ab . 0 证补充定义u ( x0 ) = a , v ( x0 ) = b , 则 u ( x ) , v ( x ) 在点x0 连 续 , 从 而v( x ) ln u ( x ) 在 x0 连续 , 所以u( x ) = e 在 x0 连续 .由此得lim x x 0 u( x) v ( x

36、) = lim ev ( x ) ln u( x) = eb ln a = ab . x x 0 二初等函数的连续性由于幂函数x(为实数 ) 可表为x= el n x , 它是函数e u 与 u = ln x 的 复名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档合 , 故由指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性, 推得幂 函数y = x 在其定义域(0 , + ) 上连续. 前面已经指出, 常量函数

37、、三角函数、反 三角 函数 都是其 定义 域上的 连续 函名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档 + x + x + x - x n n 84 第四章函数的连续性数 , 因此我们有下述定理: 定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数. 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到 , 所以有定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数. 下面举两个利用

38、函数的连续性求极限的例子. 例 2 求 lim x 0 ln(1 + x ) x . 解由对数函数的连续性有1 1 原式 = lim x 0 ln(1 + x) x = ln lim x 0 (1 + x) x= lne = 1 . 2 例 3 求 lim x 0 ln( 1 + x ) cos x .2 解由于x = 0 属于 初等 函数f ( x ) = ln(1 + x ) 的定 义域 之内 , 故由 f 的cos x 连续性得lim x 0 ln( 1 + x2 ) cos x = f ( 0) = 0 . 习题1. 求下列极限 : ( 1) lim x0e x cos x + 5 1

39、 + x2 + ln(1 - x ) ; (2 ) x lim ;( 3) lim x 0 + 1 1 1 x + x + x - 1 1 x - x + 1 ; x ( 4) lim x + x + x ; (5 ) lim (1 + sin x) cot x . x + x + 1 x 0 2. 设 lim n an = a 0 , lim n bn = b .证明 lim n abn = ab . 提示 : abn = ebnln a n . 总 练 习 题1. 设函数f 在( a , b) 连续 , 且 f ( a + 0 )与 f ( b - 0) 为有限值.证明 : ( 1) f

40、在 ( a , b)内有界 ; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档( 2) 若存在 ( a , b) , 使得f () max f ( a + 0) , f ( b - 0) , 则 f 在 ( a , b) 内能 取到最大值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页

41、，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档总 练 习 题852. 设函数f 在( a , b) 内连续, 且 f ( a + 0) = f ( b - 0 ) = + .证明 f 在 ( a , b)内能取到最小值 . 3. 设函数f 在区间I 上连续 , 证明 : ( 1) 若对任何有理数r I 有 f ( r ) = 0 , 则在I 上 f ( x) 0 ; ( 2) 若对任意两个有理数r1 , r2 , r1 r2 , 有 f ( r1 ) f ( r2 ) , 则 f 在 I 上严格增. 4. 设 a1 , a2 , a3 为正数 ,1 2 3 .证明 :方程

42、a1x - 1a2 + x - 2a3 + = 0 x - 3在区间 (1 ,2 )与(2 , 3 ) 内各有一个根.提示 : 考虑f ( x ) = a1 ( x - 2 ) ( x - 3 ) + a2 ( x - 1 ) ( x - 3 ) + a3 ( x - 1 ) ( x - 2 ) . 5. 设 f 在 a , b 上连续 , 且对任何x a , b , 存在 y a , b , 使得| f ( y) | 0 , 可 得矛盾 . 6. 设 f 在 a , b 上连续 , x1 , x2 , , xn a , b , 另有一组正数1 ,2 , , n 满足1 + 2+ + n =

43、1 .证明 :存在一点 a , b , 使得f () = 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + + n f ( xn ) . 1 注: 本章 2 习题 19 是本题的特例, 其中 1 = 2 = = n = n . 7. 设 f 在 0 , + ) 上连续 , 满足 0 f ( x ) x , x 0 , + ) .设 a10 , an + 1 = f ( an ) , n = 1 , 2 , .证明 : ( 1) an 为收敛数列 ; ( 2) 设 lim n an = t , 则有 f ( t ) = t ; ( 3) 若条件改为0 f ( x ) 1 时令 F( x) =

44、f x + 1n - f ( x) , 则有F(0 ) + F 1 n + + F n - 1 n = 0 . 9. 设 f 在 x = 0 连续, 且对任何x , yR 有f ( x + y) = f ( x) + f ( y) . 证明 : (1 ) f 在 R 上连续 ; (2 ) f ( x) = f (1) x . 提示 : (1) 易见 lim x 0 f ( x) = f ( 0) = 0 a lim x x 0 f ( x) = lim f ( x - x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 ) ; x x 0(2 ) 对整数p , q ( 0 ) 有 f ( p)

45、= pf ( 1 ) , f 1q 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档= 1 f ( 1 ) a对有 理 数 r 有 f ( r ) = q rf ( 1 )a结论 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档

46、精品文档86 第四章函数的连续性10. 设定义在R 上的函数f 在 0、 1 两点连续 , 且对任何x R 有f ( x2 ) = f ( x ) .证明f 为常量函数. 1 n 提示 :易见f 偶 ; 对任 何 x R+ , f ( x) = f ( x 2 ) f (1 ) ( n ) , 从 而得 : x 0 时f ( x) = f ( 1) ; f (0) = lim x0f ( x ) = f (1 ) . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - -