下球坐标中的分离变量法.pptx

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1、2022-7-241xyzrO球坐标系球坐标系xyzOz柱坐标系柱坐标系第1页/共31页2022-7-242 ,YrRru1 sin1sinsin112222llYYYYdrdRrdrdR112lldrdRrdrdR分离变量分离变量欧勒型方程欧勒型方程012 2RllrRRr1)(llBrArrR第2页/共31页2022-7-24301sin1sinsin1222YllYY球函数方程球函数方程进一步分离变量：进一步分离变量： ,Y2222 1sin1sinsinmddlldddd第3页/共31页2022-7-2440 222mdd01sinsinsin122llmdddd 2 , 2, 1,

2、0 ,meim第4页/共31页2022-7-24501sinsinsinsinsin122llmdxddxd xyx ,cosdxddxdddxddsin0111222xmlldxdxdxd缔合勒让德方程缔合勒让德方程第5页/共31页2022-7-246 lmlmllmmlxdxdlxxP1!2122/2lml, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 0本征函数即为缔合勒让德函数：本征函数即为缔合勒让德函数：如果问题具有轴对称，可选如果问题具有轴对称，可选z z轴为对称轴为对称轴，则问题与轴，则问题与 无关，本征函数简化为无关，本征函数简化为勒让德函数：勒让德函数： lllllxdxdlxP1!

3、212l=0,1,2,第6页/共31页2022-7-247二、球函数二、球函数 immllmePCYcos ,Clm可任取，可任取，一般一般取其满足：取其满足：2,1lmYdlml, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 0第7页/共31页2022-7-2482002,sin1lmYdd022cossin21mllmPdC! ! 12412mlmllClm! ! 412mlmllClm第8页/共31页2022-7-249immllmePmlmllYcos! ! 412,lml, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 0第9页/共31页2022-7-2410 的正交归一关系及cosmlmP202mm

4、imimdee 110! ! 122 sincoscosllmlmlmlmlmlmllxPxPdPP缔合勒让德函数正缔合勒让德函数正交归一关系交归一关系200*,sinmmllmllmYYdd第10页/共31页2022-7-2411前几个球函数：前几个球函数：4100Ycos4310YieYsin831, 11cos31650, 2YieYsincos8151, 2ieY222, 2sin3215第11页/共31页2022-7-2412z轴对称轴对称: :m=0lmmlllmllmlmmlllmllmmPrDrCmPrBrArusincos coscos,11llllllPrBrArucos,

5、1球对称球对称: :l= =m=0=0 rBAru三、拉普拉斯方程的通解三、拉普拉斯方程的通解第12页/共31页2022-7-2413四、球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量四、球坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量0sin1sinsin1122222222ukururrurrr012 222RllrkrRRr krBnkrAjrRlllmmlllmllmlmmlllmllmmPkrjDkrjCmPkrjBkrjArusincos coscos,类似于拉普拉斯方程的分离变量类似于拉普拉斯方程的分离变量球贝塞尔函数球贝塞尔函数诺诶函数诺诶函数第13页/共31页2022-7-2414例例 1 1 在均匀外电

6、场在均匀外电场E0 0中置入半径为中置入半径为 r0 0的导体的导体球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球与地保持电势差为使球与地保持电势差为u0 0，求球内、外的电势。，求球内、外的电势。设导体球置入前坐标原点的电势为零设导体球置入前坐标原点的电势为零五、球形域上的定解问题五、球形域上的定解问题第14页/共31页2022-7-2415u1u2u0E0除球面上有自由电荷分布外，除球面上有自由电荷分布外，球内、外均无自由电荷分布，球内、外均无自由电荷分布，故故u1 1与与u2 2均满足拉普拉斯方程均满足拉普拉斯方程如图选取坐标系，原点在球心、如图选取

7、坐标系，原点在球心、极轴沿极轴沿E0 0方向的球坐标系方向的球坐标系解：解：xyzrO球坐标系球坐标系第15页/共31页2022-7-2416012 , 0rru022 , 0rrucos02limrEur 00102ururu1 1、定解问题、定解问题第16页/共31页2022-7-241701uu cos12llllllPrBrAu2 2、根据对称性得通解形式、根据对称性得通解形式第17页/共31页2022-7-2418coscos0rEPrAllll3 3、根据边界条件求系数、根据边界条件求系数1 0 ,01lAEAlcoscos102llllPrBrEucos02limrEur第18页

8、/共31页2022-7-2419 00102ururu01000coscosuPrBrEllll1 , 0 0 , ,3001000lBrEBruBl23000002coscosrrErrurEu外场外场电池电池感应感应第19页/共31页2022-7-2420 例例2 2 半球的球面保持一定温度半球的球面保持一定温度u0cos ，半，半球底面保持零度，试求这个半球的稳定温度球底面保持零度，试求这个半球的稳定温度分布，设球半径为分布，设球半径为r0 0如图选取坐标系，如图选取坐标系，原点在球心原点在球心解：解：xyzrO球坐标系球坐标系u0c o s 第20页/共31页2022-7-242120

9、 , , 002rru1 1、定解问题、定解问题cos,00uru02,ru第21页/共31页2022-7-24222 2、将、将u作奇延拓，将半球问题转化为全球问题作奇延拓，将半球问题转化为全球问题0 , , 002rrucos,00uru有限, 0u因因为为Pl(x)定义在区间定义在区间-1,1,即即 在区间在区间0, 。目前的。目前的 区间为区间为0, /2，所以要作，所以要作奇延拓。奇延拓。以以 = /2为对称为对称点，点，cos 正好是奇延拓正好是奇延拓u0cos第22页/共31页2022-7-2423xyzrO球坐标系球坐标系cos 关于点关于点 = /2为为点对称点对称，故故co

10、s 正好是从正好是从0, /2到到0, 0, 的的奇延拓奇延拓第23页/共31页2022-7-2424cos12llllllPrBrAu2 2、根据对称性得通解形式、根据对称性得通解形式3 3、根据边界条件求系数、根据边界条件求系数有限, 0u0lB第24页/共31页2022-7-2425coscos100PuPrAllll1 0 ,001lAruAl20 ,cos,00rruru第25页/共31页2022-7-2426例例3 3 在上例中，若半球底面绝热，求在上例中，若半球底面绝热，求这个半球里的稳定温度分布。这个半球里的稳定温度分布。20 , , 002rrucos,00uru02,ru1

11、 1、定解问题、定解问题第26页/共31页2022-7-24272 2、将、将u作偶延拓，将半球问题作偶延拓，将半球问题转化为全球问题转化为全球问题0 , , 002rrucos,00uru有限, 0u因导数为零，应以因导数为零，应以 = /2作偶延拓。以作偶延拓。以 /2为对称为对称点，点，|cos |为偶延拓为偶延拓u0cos第27页/共31页2022-7-2428xyzrO球坐标系球坐标系|cos |关于点关于点 = /2为为轴对称轴对称，故故|cos |正好是从正好是从0, /2到到0, 0, 的的偶延拓偶延拓第28页/共31页2022-7-2429cos12llllllPrBrAu2 2、根据对称性得通解形式、根据对称性得通解形式3 3、根据边界条件求系数、根据边界条件求系数有限, 0u0lB第29页/共31页2022-7-2430 cosPrr!n!nnu cosPruu, runn!n2200220002232141852 利用勒让德函数的正交归一性，递利用勒让德函数的正交归一性，递推公式，最后得解推公式，最后得解第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页