2019-2020学年数学北师大版必修5检测：1.2.2.2 an与Sn的关系及裂项求和法 .docx

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1、第2课时an与Sn的关系及裂项求和法课后篇巩固探究A组1.已知数列an的前n项和Sn=1n,则a5的值等于()A.120B.-120C.130D.-130解析:a5=S5-S4=15-14=-120.答案:B2.已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列1anan+1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100解析:S5=5(a1+a5)2=5(a1+5)2=15,a1=1,d=a5-a15-1=5-15-1=1,an=1+(n-1)1=n,1anan+1=1n(n+1).设1anan+1的前n项和为Tn,则T100=112+123+11

2、00101=1-12+12-13+1100-1101=1-1101=100101.答案:A3.设an(nN+)是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5D.S6和S7均为Sn的最大值解析:由S5S6得a1+a2+a50.又S6=S7,a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7,a7=0,故B正确;同理由S7S8,得a80,又d=a7-a6S5,即a6+a7+a8+a90,可得2(a7+a8)0.而由a7=0,a80不可能成立,故C错误;S5S8,S6与S7均为Sn的最大值,故D正确.故选C.答案:C4.数列1(n+1)2-1的前n项和Sn为()A.n+12(n+2

3、)B.34-n+12(n+2)C.34-121n+1+1n+2D.32-1n+1-1n+2解析:1(n+1)2-1=1n2+2n=121n-1n+2,于是Sn=121-13+12-14+13-15+1n-1n+2=34-121n+1+1n+2.答案:C5.设函数f(x)满足f(n+1)=2f(n)+n2(nN+),且f(1)=2,则f(20)为()A.95B.97C.105D.192解析:f(n+1)=f(n)+n2,f(n+1)-f(n)=n2.f(2)-f(1)=12,f(3)-f(2)=22,f(20)-f(19)=192,f(20)-f(1)=1+2+192=(1+19)1922=95

4、.又f(1)=2,f(20)=97.答案:B6.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k=.解析:an=Sn-Sn-1=(n2-9n)-(n-1)2-9(n-1)=2n-10(n2),又a1=S1=-8符合上式,所以an=2n-10.令52k-108,解得152k0;当n3时,an=2n-76),则数列的项数n为.解析:由题意可知a1+a2+a6=36,an+an-1+an-5=324-144,由+,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=216,6(a1+an)=216,a1+an=36.Sn=n(a1+an)2=18n=324,n=18.答案:18

5、7.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1)(nN+).(1)求证:数列an为等差数列,并求an与Sn;(2)是否存在自然数n,使得S1+S22+S33+Snn-(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.(1)证明由an=Snn+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+).当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,故数列an是以1为首项,4为公差的等差数列.于是,an=4n-3,Sn=(a1+an)n2=2n2-n.(2)解存在自然数n使得S1+S22+S33+Snn-(n-1)

6、2=2 019成立.理由如下:由(1),得Snn=2n-1(nN+),所以S1+S22+S33+Snn-(n-1)2=1+3+5+7+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2 019,得n=1 010,所以存在满足条件的自然数n为1 010.8.导学号33194016数列an的前n项和Sn=100n-n2(nN+).(1)求证an是等差数列;(2)设bn=|an|,求数列bn的前n项和.(1)证明an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-100(n-1)-(n-1)2=101-2n(n2).a1=S1=1001-12=99=101-21,数列an的通项公式为an

7、=101-2n(nN+).又an+1-an=-2为常数,数列an是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.(2)解令an=101-2n0,得n50.5.nN+,n50(nN+).当1n50时an0,此时bn=|an|=an,bn的前n项和Sn=100n-n2;当n51时an0,此时bn=|an|=-an,由b51+b52+bn=-(a51+a52+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn,得数列bn的前n项和为Sn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=22 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.由得数列bn的前n项和为Sn=100n-n2(1n50,且nN+),5 000-100n+n2(n51,且nN+).