2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：2.2.1 直线的参数方程 .docx

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1、2直线和圆锥曲线的参数方程2.1直线的参数方程课后篇巩固探究A组1.曲线x=-2+5t,y=1-2t(t为参数)与坐标轴的交点是()A.0,25,12,0B.0,15,12,0C.(0,-4),(8,0)D.0,59,(8,0)答案:B2.过点(1,1),倾斜角为135的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为()A.225B.425C.22D.325解析:直线的参数方程为x=1-22t,y=1+22t(t为参数),代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-2,t2=2,故所求弦长为|t1-t2|=|-2-2|=22.答案:C3.直线2x-y+1=0的参数方程为()A.x=1+55t,y=3+255t

2、(t为参数)B.x=1+53t,y=3+53t(t为参数)C.x=2+t,y=3+2t(t为参数)D.x=1+5t,y=3+5t(t为参数)解析:根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为,则tan =2,sin =255,cos =55,所以直线的参数方程是x=1+55t,y=3+255t(t为参数).答案:A4.已知P1,P2是直线x=1+12t,y=-2+32t(t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,-2)的距离是()A.|t1|+|t2|2B.|t1+t2|2C.|t1-t2|2D.|t1|-|t2|2解析:由t的几何意义可知,P1

3、P2的中点对应的参数为t1+t22,点P对应的参数为t=0,故P1P2的中点到点P的距离为|t1+t2|2.答案:B5.直线x=3+at,y=-1+4t(t为参数)过定点.解析:由x=3+at,y=-1+4t(t为参数)得-(y+1)a+(4x-12)=0.若-(y+1)a+(4x-12)=0对于任意a都成立,则x=3,y=-1.答案:(3,-1)6.直线l:x=-1+3t,y=1+t(t为参数)上的点P(-4,1-3)到直线l与x轴交点间的距离是.解析:在直线l:x=-1+3t,y=1+t(t为参数)中,令y=0,得t=-1.故直线l与x轴的交点为Q(-1-3,0).故|PQ|=(-1-3+

4、4)2+(1-3)2=4(3-1)2=23-2.答案:23-27.直线过点A(1,3),且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点P(-2,-1)到此直线的距离.解(1)由题意知直线的点斜式方程为y-3=-42(x-1).设y-3=-42(x-1)=t,则x=1-t2,y=3+t(t为参数).所以该直线的参数方程为x=1-t2,y=3+t(t为参数).(2)(方法一)如图所示,在直线上任取一点M(x,y),则|PM|2=(x+2)2+(y+1)2=1-t2+22+(3+t+1)2=54t2+5t+25=54(t+2)2+20.当t=-2时,|PM|2取最小值,此时|PM|

5、等于点P与直线的距离,则|PM|=20=25.(方法二)由点P向直线作垂线,垂足记为P0,如上图所示,它对应参数t=-2,代入直线的参数方程,可得点P0的坐标为P0(2,1),显然有|PP0|=(2+2)2+(1+1)2=25.8.已知两点A(2,1),B(-1,2)和直线l:x+2y-5=0.求过点A,B的直线的参数方程,并求它与直线l的交点的坐标.解设直线AB上动点P(x,y),选取参数=APPB,则直线AB的参数方程为x=2-1+,y=1+21+(为参数).把代入x+2y-5=0得=-12.把=-12代入得x=5,y=0,即交点坐标为(5,0).9.导学号73144026已知直线x=2+

6、t,y=4-t(t为参数)与抛物线y2=4x交于两个不同的点P,Q,且A(2,4).(1)求AP+AQ的值;(2)求PQ的长.解已知直线的斜率为-1,故直线的倾斜角为135,故x=2-22t,y=4+22t(t为参数),代入y2=4x,得t2+122t+16=0,故有t1+t2=-122,t1t2=16.(1)AP+AQ=|t1|+|t2|=|t1+t2|=122.(2)PQ=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=414.B组1.已知直线x=1+t,y=-2+t(t为参数)与椭圆x2+2y2=8交于A,B两点,则|AB|等于()A.22B.433C.2D.63解析:把直线的参数方程代入

7、x2+2y2=8,得3t2-6t+1=0,解得t1=1+63,t2=1-63,得A2+63,-1+63,B2-63,-1-63.故|AB|=433.答案:B2.直线x=-2-2t,y=3+2t(t为参数)上与点P(-2,3)之间的距离等于2的点的坐标是()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析:设点Q与点P之间的距离等于2,Q(x0,y0),则x0=-2-2t,y0=3+2t(t为参数).由|PQ|=2 ,得(-2-2t+2)2+(3+2t-3)2=2,即t2=12,得t=22.当t=22时,Q(-3,4);当t=-22时,Q(-1,2)

8、.答案:C3.设直线的参数方程为x=-4+22t,y=22t(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)之间的距离为2,若该直线的参数方程改写成x=-4+t,y=t(t为参数),则点P对应的t值为.解析:由|PM0|=2知t=2,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1),再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.答案:14.导学号73144027一条直线的参数方程是x=1+12t,y=-5+32t(t为参数),另一条直线的方程是x-y-23=0,则这两条直线的交点与点(1,-5)之间的距离是.解析:把参数方程代入x-y-23=0,得1+12t+5-3

9、2t-23=0,解得t=43.故两条直线的交点为(1+23,1),则交点与点(1,-5)之间的距离为d=(1+23-1)2+(1+5)2=12+36=43.答案:435.已知直线l:x=-3+32t,y=2+12t(t为参数).(1)分别求t=0,2,-2时对应的点M(x,y);(2)求直线l的倾斜角.解(1)由直线l:x=-3+32t,y=2+12t(t为参数)知,当t=0,2,-2时,分别对应直线l上的点(-3,2),(0,3),(-23,1).(2)(方法一)化直线l:x=-3+32t,y=2+12t(t为参数)为普通方程为y-2=33(x+3),其中k=tan =33,0.故直线l的倾

10、斜角=6.(方法二)由于直线l:x=-3+tcos6,y=2+tsin6(t为参数),这是过点M0(-3,2),且倾斜角=6的直线,故6为所求.6.过点P102,0作倾斜角为的直线与曲线x2+2y2=1交于点A,B,求|PA|PB|的最小值及相应的值.解直线过点102,0,倾斜角为,直线的参数方程为x=102+tcos,y=tsin(t为参数).将其代入x2+2y2=1中,得102+tcos2+2(tsin )2=1,整理,得(1+sin2)t2+(10cos )t+32=0,t1+t2=-10cos1+sin2,t1t2=32(1+sin2),|PA|PB|=|t1t2|=32(1+sin2).又=(10cos )2-4(1+sin2)320,10cos2-6-6sin20.10(1-sin2)-6-6sin20.sin214.0,),当且仅当sin2=14,即sin =12,即=6或56时,|PA|PB|最小,其最小值为321+14=65,|PA|PB|min=65.