2019秋高三数学上学期期末试题汇编：23.简单的几何体结构、表面积和体积 球 1 .doc

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1、（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式，解得，所以半径因而表面积【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 主视图 左视图 俯视图A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】

2、结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积，故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）8.已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，构造直角三角形ONC，结合勾股定理，建立关于球半径方程，计算，得到表面积，即可。【详解】底面为正六边形，度数为，故每个角为，所以，所以底面面积所以体积，解得结合题意可知，设球半径为R，则，对于三角形OC

3、N，结合勾股定理，得到，所以面积为,故选A。【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体所以：v，故选：A【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，

4、属于基础题型（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）10.已知四面体，则该四面体外接球的半径为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取直角三角形的斜边中点，点即的外心，球心在其正上方，作出球心后，利用余弦定理以及诱导公式列方程组，解方程求得外接球半径.【详解】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得.在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以.联立可

5、得.故选B.【点睛】本小题主要考查空间几何体的外接球半径的求法，考查利用余弦定理和勾股定理解三角形，属于中档题.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）15.三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是_【答案】【解析】由题意可得，所以取AB中点O,则O是三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为1.所以S=填。【点睛】由于AB正好是两个直角三角形的公共斜边，而斜边上的中线到三个顶点的距离相等，所以外接球的球心正好是斜边AB的中点。所以在做立体几何时，需要注意应用平面几何的知识，特别是直角三角形，等边三

6、角形，等腰三角形的相关性质。（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）6.如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A光线从左向右照射得到B故选D点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）7.已知底面半

7、径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为的球面上，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由题意圆锥底面半径为，球的半径为 如图设 ，则 ，圆锥的高 或 所以，圆锥的体积为 或.故选D（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）5.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，则三棱锥的表面积为 .故选A.（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）16.正四棱柱中，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形

8、ABCD的边长，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径长为_【答案】【解析】【分析】由题意，点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧，求出，利用弧长公式，即可得出结论【详解】解：由题意，点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧正四棱柱中，四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，四棱柱的外接球的半径为，所在大圆，所对的弧长为，点M经过的路径长为故答案为：【点睛】本题考查弧长公式，考查学生的计算能力，确定点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧是关键（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）7.

9、如图, 网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某四棱锥的三视图, 则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体为正方体的一部分，可在正方体中，得到该几何体，如图所示，几何体，则该几何体的体积为，故选B考点：几何体的三视图及几何体的体积的计算（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）8.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对

10、应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，故，故选B。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）16.在三棱锥中，底面，则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】 【解析】【分析】由题意，在三棱锥中，可得，进而求得三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解。【详解】由题意，在三棱锥中，底面，可得，故三棱锥的外接球的半径，则其表面积为

11、.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径。（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，由体积公式，即可求解。【详解】由题意，根据给定的几何

12、体的三视图可知，该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其体积为，故选D。【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及组合体的体积的计算问题，其中解答中根据几何体的三视图还原得到该组合体的结构特征是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力。（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）16.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_【答案】6【解析】【分析】先设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆

13、半径为r,由勾股定理表示出，再由，即可求出r，从而可得结果.【详解】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为，又，.这两个圆的半径之和为6.【点睛】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）6.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体为圆柱体的一半，结合表面积公式可得结果.【详解】该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积.【

14、点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的表面、体积问题，属于基础题型.（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）7.我国古代九章算术将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图是一个鳖臑的三视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖臑的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【详解】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥；扩展为长方体，使其外接于球，它的对角线的长为球的直径：

15、长方体对角线的长为：该三棱锥的外接球的表面积为：。故选：B【点睛】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）6.我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A. B. 72 C. D. 32【答案】A【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【详解】三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：，几何体的表面积为， 故选：A【点睛】本题考查三视图求解几何体

16、的表面积，判断几何体的形状是解题的关键（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）9.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可.【详解】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半,由正视图是斜边长为的等腰直角三角形可知底面圆的半径为1,圆柱的高为2，所求几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查圆柱的体积公式，其中由三视图推出几何体的形状是关键.（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）5.

17、已知三棱锥的各顶点都在以为球心的球面上，球的表面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知，又，故三棱锥的外接球和以，为长宽高的长方体的外接球相同，求解即可。【详解】因为，所以，又，故三棱锥的外接球和以，为长宽高的长方体的外接球相同，故外接球直径为，又因为外接球的表面积为，则，故.故答案为C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于基础题。（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）10.在长方体中，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直角三角形的外心即斜边中点为

18、，连接，通过证明三角形为直角三角形，由此证得到的距离相等，即球心，从而求得球的半径并计算出球的表面积.【详解】设直角三角形的外心即斜边中点为，连接，.由于,，故，所以，所以，即是球的球心，且半径为，所以球的表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球的表面积有关问题，属于基础题.有关球的内接、外切的问题，解题关键在于找到球的球心并计算出球的半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，如等边三角形的外心，直角三角形的外心.本题中有两个有公共斜边的直角三角形，外心即是斜边的中点处，这个点也即是球心.（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）5.已知圆锥的底面半径是，且它

19、的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面积.【详解】设圆锥母线长为，由于侧面展开图是半圆，故，故侧面积为，底面积为，所以表面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基础题.（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）4.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，由此

20、计算几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，正方体的体积为，圆锥的体积为，故所求几何体的体积为.故选B.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查正方体的体积公式，考查圆锥的体积公式，属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）11.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为

21、圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S

22、侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）15.九章算术将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为_【答案】【解析】【分析】根据三视图画出原几何体，再根据三视图中的数据，即可求解最长的棱的长度，得到答案.【详解】由题意，根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，（如图所示）其中侧棱底面，底面为长方形，在该“阳马”点最长的

23、棱长为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的结构特征的应用，其中解答中根据空间几何体的三视图得到该几何体的直观图，以及相应的线面位置关系是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）15.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为2，侧棱长为的正三棱柱，得底面正三角形的外接圆的半径为，根据球的性质，求得球的半径，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为2，侧棱长为的正

24、三棱柱，则底面正三角形的外接圆的半径为，设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.【点睛】本题考查了几何体的三视图及球的表面积的计算，其中解答中，对于求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）11.已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，点在底面圆周上，当四棱锥体积最大时，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆锥的高为，相交于点，求得的最大值，以及根据锥体的体

25、积公式，求得 ，令，令导数求解函数的单调性与最值，进而可求解答案.【详解】设圆锥的高为，相交于点，则，当且仅当，时，取得最大值，则 令，则，令，解得所以在上单调递减，在上单调递增所以，则四棱锥的体积的最大值为，所以当四棱锥体积最大时，.【点睛】本题主要考查了组合体的性质，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，其中解答中根据结合体的结构特征，求得几何体的体积，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答本题的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，若球的表面积为，

26、则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4R2=29，得4R2=29又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25三棱锥A-BCD的侧面积：S=SABD+SACD+SABC=由x2+y22xy，得xy当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y22（x2+y2），得x+y5,当且仅当x=y=时取等号，S5+=当且仅当x=y=时取等号. 三棱锥A-BCD的侧面积

27、的最大值为.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）3.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi no）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6 B. 12 C. 18 D. 27【答案】D【解析】【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果【详解】根据几何体的三视图得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高

28、为3的四面体构成，所以：S= ,故选D.【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】本道题设,用x表示球半径，然后结合函数的单调性，判断球表面最小值，即可。【详解】设,结合体积为1时,故所以,所以,结合,建立方程,得到,令,结合二次函数的性质可知在递减,递增令,结合复合函数的单调性可知,在递增,在递减,而始终

29、递减,故在递减,在递增,故当,取到最小值为38所以面积最小值为【点睛】本道题考查了函数的性质计算最值，难度较大。（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（bi no）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A. 6 B. 21 C. 27 D. 54【答案】C【解析】【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.【详解】结合三视图,还原直观图为已知,则该四面体,故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文

30、科）试题）14.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，侧视图是半径为的半圆，则该几何体的体积是_【答案】【解析】【分析】该几何体是两个同底的半圆锥，底面半圆的半径为，高为，求出体积即可。【详解】由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，底面半圆的半径为，高为，所以该几何体的体积是.【点睛】本题考查了组合体的三视图，考查了圆锥的体积求法，属于基础题。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）11.在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中点，连结与，在上取点

31、I使得，在上取点使得，则点是三角形的外接圆圆心，点是三角形的外接圆圆心，分别过点、作平面和的垂线和交于点，则点是三棱锥的外接球球心，外接球半径为，进而可以得到答案。【详解】取的中点，连结与，则，且，在上取点I使得，在上取点使得，则点是三角形的外接圆圆心，点是三角形的外接圆圆心，则，分别过点、作平面和的垂线和交于点，则点是三棱锥的外接球球心，故外接球半径为，则三棱锥外接球的表面积4.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了球的表面积，属于中档题。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）15.我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两

32、个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离处的平面截这两个几何体，可横截得到及两截面.可以证明总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_【答案】【解析】【分析】由已知条件推导出椭球体的体积公式，然后代入求出结果【详解】总成立则半椭球体的体积为：椭球体的体积椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即椭球体的体积故答案为【点睛】本题考查了求椭球体体积，通过已知条件得到椭球体体积公式是解题关键，然后再代入相关数值求出

33、结果。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）9.在四面体中，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取中点，连接，由已知条件求得为等腰直角三角形，为等边三角形，确定四面体外接球的球心位置，然后计算出外接球的表面积【详解】取AC中点D，连接SD,BD，为等腰直角三角形，则，则为等边三角形，为AC的中点，,取外心O，连接 则有平面平面，且相交于边AC，且，由面面垂直的性质可得中故O点即为四面体S-ABC外接球球心，半径为，则外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查了四面体外接球表面积问题，解题关键是确定外接球球心的位

34、置，然后计算出半径，需要一定的空间想象能力，属于中档题（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图均由三角形和半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，然后再求出几何体体积【详解】由三视图可得几何体是由半球体和四棱锥组成，则几何体的体积为故选A【点睛】本题考查了还原几何体并求几何体体积，由三视图还原几何体是关键，并能熟练运用体积公式计算出结果（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）16.已知三棱锥，且均为等边三角形，二面角的平面角为

35、60，则三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】取的中点为，连接，可知，在线段上取点，使得，则底面三角形的外接圆圆心为，在线段上取中点，连结，过点作的垂线交于点，则外接球的球心为点，利用，可以求出外接球的半径，进而得到答案。【详解】取的中点为，连接，由于均为等边三角形，可知，则为正三角形，边长，且所求外接球球心在平面上，在线段上取点，使得，则底面三角形的外接圆圆心为，在线段上取中点，连结，过点作的垂线交于点，则外接球的球心为点，在三角形中，则外接球的半径，三棱锥外接球的表面积是.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题。（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（

36、理）试题）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是高为4的三棱锥，由俯视图的特征及余弦定理可以求出底面三角形的边长，从而求出三棱锥的底面积，进而可以求出三棱锥的体积。【详解】由题意知该几何体是高为4的三棱锥，底面三角形三条边分别为6，14和，则，解得，则底面三角形的面积为，故三棱锥的体积为.故答案为B.【点睛】本题考查了三视图问题，三棱锥的体积，及解三角形知识，属于中档题。（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）15.已知，是半径为2的球表面上三点，若，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】分析：由题

37、中条件可得为直角三角形，取BC中点为D，则D为的外心，由面，求解即可.详解：如图所示：中，由正弦定理可得：，解得，由，所以，有.所以为直角三角形.取BC中点为D，则D为的外心.为球心，则有面.三棱锥的体积为.故答案为：.点睛：本题主要考查了球的内接三角形的性质，即球心和内心连线与三点所成的截面垂直，属于中档题.（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由三视图可知该组合体为个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可.详解：由三视图易知，该组合体为：上面是个球，下面是半个圆柱.表面积为：.故选B

38、.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）9.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由三视图可知还几何体是以

39、ABCD为底面的四棱锥 ，由此可求其外接球的半径，进而得到它的外接球的表面积.详解：由三视图可知还几何体是以 为底面的四棱锥，过作，垂足为， 易证面，设其外接球半径为，底面ABCD是正方形外接圆，设圆心与球心的距离为，则由此可得，故其外接球的表面积 故选B.点睛：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）10.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的

40、轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）

41、试题）7.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168 B. 98 C. 108 D. 88【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，腰长为5，底面三角形的周长为5+5+616，几何体的表面积S264+（5+5+6）424+6488故选：D【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解

42、答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）15.已知长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB3cm，BC2cm，AA12cm，E为CC1的中点，则一质点自点A出发，沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为_cm【答案】【解析】【分析】首先将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开，使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE或将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开,使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内，连接AE,或将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开，使面ABCD和面BCC1B1在同一个

43、平面内，连接AE, 利用勾股定理求AE的长，比较即可求得需要爬行的最短路程【详解】将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开，使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE,如图在RtACE中，AC5，CE1,由勾股定理，得AE2AC2+CE226,则AE将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开,使面使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内，连接AE,如图,在RtABE中，AB3，BE3, 由勾股定理，得AE2AB2+BE232+32将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开，使面ABCD和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE, 在RtAB1E中，AB15，B1E1, 由勾股定理，得AE2AB12+B1E252+12，则AE故沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为cm故答案为：【点睛】此题考查最短路径问题解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解（湖南师范大学附属中学2019届高三