世纪金榜理科数学广东版37.pptx
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1、【知识梳理】1.正弦定理与余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容(R(R是是ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) ) 在在ABCABC中中, ,有有a a2 2=_;=_;b b2 2=_;=_;c c2 2=_=_a_2R sin Absin Bcsin Cb2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC第1页/共65页定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理变形变形公式公式a=_,a=_,b=_,c=_b=_,c=_;sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C=_=_;cos A=_;cos A=_;cos B=_;cos
2、 B=_;cos C=_cos C=_2Rsin A2Rsin B2Rsin Ca b casin A,sin B_,2Rb2Rc2Rsin C_;abcsin Asin Bsin Cabcsin Asin Bsin C222bca2bc222acb2ac222abc2ab第2页/共65页定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决的解决的问题问题已知两角和任一边已知两角和任一边, ,求其求其他边和角他边和角已知两边和其中一边的对已知两边和其中一边的对角角, ,求其他边和角求其他边和角已知三边已知三边, ,求各角求各角已知两边和它们已知两边和它们的夹角的夹角, ,求第三边和求第三边和其他角其他
3、角第3页/共65页A A为锐角为锐角A A为钝角或直为钝角或直角角图形图形关系式关系式a=bsinAa=bsinAbsinAabbsinAabababab解的解的个数个数_2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况一解两解一解一解无解第4页/共65页【考点自测】1.(思考)给出下列命题:三角形中三边之比等于相应的三个内角之比;在ABC中,若sinAsinB,则AB;在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素;正弦定理对钝角三角形不成立;余弦定理对任意三角形均成立.其中正确的是()A. B. C. D.第5页/共65页【解析】选C. 错误. 由正弦定理知abcsin Asin Bsin
4、C.正确.由正弦定理知 由sin Asin B得ab,即AB.错误.当已知三个角时不能求三边.错误.正弦定理对任意三角形都成立.正确.由余弦定理的推导过程可知对任意三角形均成立. absin Asin B2R2R,第6页/共65页2.已知ABC的三个内角之比为A B C=3 2 1,那么对应的三边之比a b c=( )【解析】选D.由ABC=321及A+B+C=180,可解得A=90,B=60,C=30,所以abc=sin Asin Bsin C= 即abc=A.321 B. 3 21 C. 321 D.231 3 11,22 231. 第7页/共65页3.(2014珠海模拟)已知a,b,c分
5、别为ABC的三个内角A,B,C所对的边,若 A+C=2B,则sin A=( )【解析】选A.因为在ABC中,A+C=2B,所以B=60,由正弦定理得所以a1,b3,1123A. B. C. D.2222ab13sin Asin Bsin Asin 60,即,1sin A.2第8页/共65页4(2014长春模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 则ABC一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选A.因为a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 可化为sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0.又因为-A-
6、Bb,所以B60,故B45,所以有一个解.方法二:结合草图,因为A60,a=6,b=2所以ab,故三角形有一个解.bsin A2sin 602sin B ,a26第15页/共65页(2)过点A作AEBC,垂足为E,则在RtABE中, 故B=30.在ABD中,ADB=180-ADC=180-75=105.由正弦定理得答案:1BCBE32cos B,ABAB2AB sin B2 sin 301AD62.sin ADBsin 1056244g62第16页/共65页(3)由正弦定理得 又A=2B,所以所以答案:asin A5bsin B2,sin Asin 2B2sin B cos B52cos B,
7、sin Bsin Bsin B2g5cos B.454第17页/共65页【互动探究】把本例(3)条件改为“在锐角ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,A=2B”,试求 的取值范围.【解析】由正弦定理得因为ABC是锐角三角形,所以 且所以 且即 所以所以即 的取值范围是abasin Asin 2B2cos B,bsin Bsin BA(0,)B(0,)22,AB2,2B(0,),23B2,B64,23cos B22cos B322,a23b,ab2, 3 .第18页/共65页【易错警示】注意角的范围的确定本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时,要注意应保证三个内角都
8、是锐角,否则易出现范围过大的情况.第19页/共65页【规律方法】1.正弦定理的应用技巧(1)求边:利用公式或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式 或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边:即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.bsin Aasin Basin Cab,csin Bsin Asin A,asin Bsin A,bbsin Acsin Asin B,sin Caaasin A bsin Bcsin C, , ,bsin B csin Casin A第20页/共65页2.判断解的个数的两种方法(1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内
9、角和公式、正弦函数的值域等判断.(2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.提醒:利用正弦定理解三角形时,要注意解的个数的判断.第21页/共65页【变式训练】1.已知在ABC中,a=x,b=2,B=45,若三角形有两解,则x的取值范围是( )【解析】选C.由题设条件可知x2且xsin 450),则c为最大边,角C为三角形中最大内角,由余弦定理,得所以C=120.222abc1cos C2ab2 ,第32页/共65页【加固训练】1.在ABC中,若a=c=2,B=120,则边b=( )【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B= 所以A. 3 3 B. 2 3
10、 C. 2 2 D. 31144222 ()122 ,b2 3.第33页/共65页2.在ABC中,C=60,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则 =_.abbcca第34页/共65页【解析】因为C=60,所以a2+b2-c2=ab,所以a2+b2=ab+c2,等式两边都加上ac+bc,整理得(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c),所以答案:1 22acabbcbcacab1.bccabccabcca第35页/共65页考点3 正、余弦定理的综合应用【考情】正、余弦定理的应用很广泛,也比较灵活.在高考中三种题型都有可能出现,主要考查边角的计算、三角形形状的判断等问题. 高频考点通关
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