初中知识归纳干货思维导图 初中全科知识干货合集 初中数学知识干货集合.pdf

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1、Learning materials? 1 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类考点一、实数的概念及分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1相反数 实数与它的相反数是一对数 （只有符号不同的两个数叫做互为相反数， 零的相反数是零） ， 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=-b，反之亦成立 2绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，也可看成

2、它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小 3倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1零没有倒数 考点三、平方根、算数平方根和立方根考点三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根） 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根正数 a 的平方根记做“” 2算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“” 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根

3、是零 3立方根 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 考点四、科学记数法和近似数考点四、科学记数法和近似数 1有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字 2科学记数法 把一个数写做的形式，其中，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法 aa0a33aa-=-na 10101-,0baba=-baba-0;1;1;1bababababab

4、ababababa22abba+=+)()(cbacba+=+baab =)()(bcacab=acabcba+=+ )(ba2314-ba2313-cba235-Learning materials? 3 注意：注意： （1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧， “整体”代入 2同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项几个常数项也是同类项 3去括号法则 （1）括号前是“+” ，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号 （2）括号前是“” ，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里

5、各项都变号 4整式的运算法则 整式的加减法：整式的加减法：（1）去括号； （2）合并同类项 整式的乘法：整式的乘法： 整式的除法：整式的除法： 注意：注意： （1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同 （3）计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式 （6） （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的 考点

6、三、因式分解考点三、因式分解 1因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式 2因式分解的常用方法 （1）提公因式法： （2）运用公式法： 平方差公式： 完全平方和公式： 完全平方差公式： ),(都是正整数nmaaanmnm+=),(都是正整数）（nmaamnnm=)()(都是正整数nbaabnnn=22)(bababa-=-+2222)(bababa+=+2222)(bababa+-=-)0,(=-anmaaanmnm都是正整数), 0(1);0( 10为正整数paaaaapp=-)(cbaacab+=+)(22bababa-+=-2

7、22)(2bababa+=+222)(2bababa-=+-Learning materials? 4 3因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式； （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止 考点四、分式考点四、分式 1分式的概念 一般地，用 A、B 表示两个整式，AB 就可以表示成的形式，如果 B 中含有字母，式子就叫做分式其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母分式和整式通称为有理式 2分式的性

8、质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变 3分式的运算法则 考点五、二次根式考点五、二次根式 1二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“” ；被开方数 a 必须是非负数 2最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，

9、然后利用分母有理化进行化简 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来 3同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 4二次根式的性质 （1） BABA;bcadcdbadcbabdacdcba=);()(为整数nbabannn=;cbacbca=bdbcaddcba=)0( aa)0()(2=aaaLearning materials? 5 （2） （3） （4） 5二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 第三

10、章 方程（组） 考点一、一元一次方程的概念考点一、一元一次方程的概念 1方程 含有未知数的等式叫做方程 2方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 3等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式 4一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ax+b=0（x为未知数，a0）叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项 考点二、一元二次方程考点二、一元二次方程 1一元二次方程 含有一个未知数，并且

11、未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2一元二次方程的一般形式 ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项 考点三、一元二次方程的解法考点三、一元二次方程的解法 1直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法直接开平方法适用于解形如的一元二次方程 根据平方根的定义可知，是b的平方根， 当时，当 b0 时，方程没有实数根 )0( aa= aa2)0( yx0, 0yx0, 0yx0, 0yx0= y0= xLearning ma

12、terials? 11 点 P 与点 P关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 P关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 P关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6点到坐标轴及原点的距离 点 P（x，y）到坐标轴及原点的距离： （1）点 P（x，y）到 x 轴的距离等于 （2）点 P（x，y）到 y 轴的距离等于 （3）点 P（x，y）到原点的距离等于 考点三、函数及其相关概念考点三、函数及其相关概念 1变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y， 如果对于 x 的每一个

13、值， y 都有唯一确定的值与它对应， 那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数 2函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围 考点四、正比例函数和一次函数考点四、正比例函数和一次函数 1正比例函数和一次函数的概念 一般地， 如果（k， b 是常数， k0） ， 那么 y 叫做 x 的一次函数 特别地， 当一次函数中的 b 为 0 时，（k 为常数，k0） 。这时，y 叫做 x 的正比例函数 2一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线 3一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线

14、；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线 yx22yx +bkxy+=bkxy+=kxy =bkxy+=kxy =Learning materials? 12 一次函数图像及性质一次函数图像及性质 4正比例函数的性质 （1）当 k0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 b0 图像经过一、二、三象限 y 随 x 的增大而增大 b 0 图像经过一、三、四象限 y 随 x 的增大而增大 k 0 图像经过一、二、四象限 y 随 x 的增大而减小 b 0 k0 时， 函数图像的两个分支分别在第一、三象限 在每个象限内，y

15、 随 x 的增大而减小 x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0 a 0 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x=， 顶点坐标（，） （3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增； （4） 抛物线有最低点， 当 y=时， y 有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是 x=， 顶点坐标（，） （3）在对称轴的左侧，即当 x时， y 随 x 的增大而减小， 简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最大值， 2二次函数中，的含义： 表示开口方向：0 时，抛物线开

16、口向上 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点 第八章 图形的初步认识 考点一、直线、射线和线段考点一、直线、射线和线段 1几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形 2点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线 面：包围着体的是面，分为平面和曲面 体：几何体也简称体 （2）点动成线，线动成面，

17、面动成体 3直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的 4射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线这个点叫做射线的端点 5线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段这两个点叫做线段的端点 6点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形 一个点可以用一个大写字母表示 一条直线可以用一个小写字母表示 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示 注意：注意： （1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段 （2）直线和射线无长度，线段有长度 （3）直线无端点，射线有一个

18、端点，线段有两个端点 （4）点和直线的位置关系有线面两种： 点在直线上，或者说直线经过这个点 点在直线外，或者说直线不经过这个点 7直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线 （2）过一点的直线有无数条 ac4b2-=DDDDLearning materials? 17 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小 （4）直线上有无穷多个点 （5）两条不同的直线至多有一个公共点 8线段的性质 （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短也可简单说成：两点之间线段最短 （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离

19、 （3）线段的中点到两端点的距离相等 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的 9线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 考点二、角考点二、角 1角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边 当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角 如果两个角的和是一个直角，那么

20、这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角 2角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法： 用数字表示单独的角，如1，2，3 等 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等 用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C 等 用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE 等 注意：注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧 3角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是

21、 1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1” ，n 度记作“n” 把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1” 把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1” 1=60=60” 4角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算 5角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 角的平分线有下面的性质定理： （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 （2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 考点三、相交线考点三、相交线

22、 1相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边Learning materials? 18 的两个角叫做对顶角我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角 邻补角互补，对顶角相等 直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截） ，构成八个角其中1与5 这两个角分别在 AB，CD 的上方，并且在 EF 的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；3 与5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；3 与6 在直线AB，CD

23、 之间，并侧在 EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角 2垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD” （或“CDAB”)，读作“AB 垂直于 CD” （或“CD 垂直于AB” ） 垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简称：垂线段最短 考点四、平行线考点四、平行线 1平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线平行用符号“”表示，如“ABCD” ，读作“AB平行于

24、CD” 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行 注意：注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交 （2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行 2平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行 平行线的两条判定定理： （1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行简称：内错角相等，两直线平行 （2）两条直线被第三条直线所截，如

25、果同旁内角互补，那么两直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行 （2）垂直于同一条直线的两直线平行 Learning materials? 19 （3）平行线的定义 4平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 考点五、命题、定理、证明考点五、命题、定理、证明 1命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题 假命题

26、（错误的命题） 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题 3公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理 4定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理 5证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明 6证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 考点六、投影与视图考点六、投影与视图 1投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成

27、的投影称为平行投影 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影 2视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图 Learning materials? 20 第九章 三角形 考点一、三角形考点一、三角形 1三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做

28、三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角 2三角形中的主要线段 （1） 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 3三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状 4三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上

29、 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC” ，读作“三角形 ABC” 5三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形它是两条直角边相等的直角三角形 6三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边 推论：三角形的两

30、边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： 判断三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时，可确定第三边的范围。 证明线段不等关系。 7三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180 推论： 直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 DDLearning materials? 21 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 注意注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角； 8三角形的面积 三角形的面积=底高 考点二、全等三角形考点二、全等三角形 1全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的

31、两个三角形叫做全等三角形两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角 2全等三角形的表示和性质 全等用符号 “” 表示， 读作 “全等于” 如ABCDEF， 读作 “三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 注意：注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS” ） 。 （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可

32、简写成“边角边”或“SAS” ） （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ） （4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS” ） （5）HL 定理：对于直角三角形，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 4全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转

33、一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换 考点三、等腰三角形考点三、等腰三角形 1等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1： 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60 （2）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角） ，但顶角可为钝角（或直角） 等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则a 等腰三角形的三角关系：设顶角

34、为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C= 2等腰三角形的判定 212b2180A-Learning materials? 22 等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 1等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分

35、顶角； 2等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等 1两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角） ， 那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等 1如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边） ，那么这个三角形是等腰三角形； 2三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 高线 1等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等 1如果一个三角形一边

36、上的高平分这条边（平分这条边的对角） ， 那么这个三角形是等腰三角形； 2有两条高相等的三角形是等腰三角形 角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半腰长周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 4三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形 （2）要会区别三角形中线与中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行 数量关系：可以证明线段的倍分关系 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长

37、为原三角形周长的一半 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 Learning materials? 23 第十章 四边形 考点一、四边形的相关概念考点一、四边形的相关概念 1四边形 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形 2凸四边形 把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形 3对角线 在四边形中，连接不相邻两个顶点的线

38、段叫做四边形的对角线 4四边形的不稳定性 三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用 5四边形的内角和定理及外角和定理 四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360 推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于180； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360 6多边形的对角线条数的计算公式：设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数为 考点二、平行四边形考点二、平行四边形 1平行四边形的概念 两组对边分别

39、平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号 “ABCD” 表示， 如平行四边形 ABCD 记作 “ABCD” ， 读作 “平行四边形 ABCD” 2平行四边形的性质 （1）平行四边形的邻角互补，对角相等 （2）平行四边形的对边平行且相等 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等 （3）平行四边形的对角线互相平分 （4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积 3平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理 2：两组对边分别相

40、等的四边形是平行四边形 （4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离 平行线间的距离处处相等 5平行四边形的面积 S平行四边形=底边长高=ah - )2(n2)3( -nnLearning materials? 24 考点三、矩形考点三、矩形 1矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形 3矩形的判定 （1）定

41、义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 4矩形的面积 S矩形=长宽=ab 考点四、菱形考点四、菱形 1菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4菱形的面积 S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半 考

42、点五、正方形考点五、正方形 1正方形的概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2正方形的性质 （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3正方形的判定 （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有

43、一组邻边相等 先证它是菱形，再证有一个角是直角 （2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： Learning materials? 25 先证明它是平行四边形； 再证明它是菱形（或矩形） ； 最后证明它是矩形（或菱形） 4正方形的面积 设正方形边长为 a，对角线长为 b S正方形= 第十一章 解直角三角形 考点一、直角三角形的性质考点一、直角三角形的性质 1直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：C=90A+B=90 2在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 可表示如下： BC=AB C=90 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表示如下： CD=AB

44、=BD=AD D 为 AB 的中点 4勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 5射影定理 在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CDAB 6常用关系式 由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC 考点二、直角三角形的判定考点二、直角三角形的判定 1有一个角是直角的三角形是直角三角形 2如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 3勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角三角形 考点三、锐角三角函数的概念考点三、锐角

45、三角函数的概念 222ba =2121222cba=+BDADCD=2ABADAC=2ABBDBC=2222cba=+Learning materials? 26 1如图，在ABC 中，C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA， 即 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA， 即 锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为 tanA， 即 2锐角三角函数的概念 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数 3一些特殊角的三角函数值 三角函数 30 45 60 sin cos tan 1 4锐角三角函数的增减性 当角度在 090之间变化时，

46、（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 考点四、解直角三角形考点四、解直角三角形 1解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形 2解直角三角形的理论依据 在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）三边之间的关系：（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90 （3）边角之间的关系： casin=斜边的对边AAcbcos=斜边的邻边

47、AAbatan=的邻边的对边AAA212223232221333222cba=+,tan,cos,sin; ,tan,cos,sinabBcaBcbBbaAcbAcaA=Learning materials? 27 第十二章 圆 考点一、圆的相关概念考点一、圆的相关概念 1圆的定义 在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径 2圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作“O” ，读作“圆 O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1） 弦 连接圆上任意两点的线段叫

48、做弦。 （如图中的 AB） （2） 直径 经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 CD）直径等于半径的 2 倍。 （3） 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的

49、两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性考点四、圆的对称性 1圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 2圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 2弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距 3

50、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，ABLearning materials? 28 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 考点六、圆周角定理及其推论考点六、圆周角定理及其推论 1圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 2圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对