数学物理方程公式小结.doc

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1、无限长弦的一般强迫振动定解问题解三维空间的自由振动的波动方程定解问题在球坐标变换 (r=at)无界三维空间自由振动的泊松公式 二维空间的自由振动的波动方程定解问题傅立叶变换 基本性质线性性质 微分性质 若则 拉普拉斯变换 基本性质 三个格林公式高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，则：或第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：第三格林公式设M0，M是V中的点，v(M)=1/r

2、MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有： 定理1：泊松方程洛平问题 的解为： 推论1：拉氏方程洛平问题 的解为： 调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在具有二阶连续偏导数；(2) 称u为V上的调和函数。 2、调和函数的性质。 性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）有解的充分必要条件是：性质2 设u(x,y,z) 是区域V上的调和函数，则有 :性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即: 其中SR是以M0为球心,R为半径的球面 三维

3、空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为：其中：如果G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解为： 其中G(M,M0)满足： 推论：拉氏方程狄氏解为：平面中的三个格林公式首先证明一个定理： 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：(1) 第一格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向。 (2) 第二格林公式(3) 第三格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令： 定理：平面泊松

4、方程洛平问题 的解为：推论：平面拉氏方程洛平问题 的解为：定理：平面泊松方程狄氏问题的解为： 推论：平面拉氏方程狄氏解为：平面狄氏格林函数 特殊区域上狄氏问题格林函数1球形域内狄氏问题格林函数 格林函数为： 其中： 球域内狄式问题的解 其中：球域上狄氏问题的解的球坐标表达式所以：2上半空间狄氏问题的Green函数 所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为： 上半空间拉氏方程狄氏问题的解为： 3上半平面狄氏问题的Green函数 ，上半平面上泊松方程狄氏解上半平面上拉氏方程狄氏解4圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN函数 ，圆域上泊松与拉氏方程狄氏解5第一象限上狄氏问题的Green函数三种典型方程的基

5、本解问题1 泊松方程的基本解方程的解称为泊松方程的基本解。三维空间泊松方程的基本解平面泊松方程基本解为： 特解应该为基本解与函数f的卷积2热传导方程柯西问题基本解定解问题：的解，称为定解问题的基本解。基本解为： 定解为基本解与初始函数的卷积3热传导方程混合问题基本解定解问题的解称为定解问题的基本解定解与基本解的关系为4波动方程柯西问题基本解定解问题的解称为定解问题的基本解基本解为：定解与基本解的关系为：贝塞尔函数 正、负n阶第一类贝塞尔函数 第二类Bessel函数Bessel函数的母函数当x为实数时可得，Bessel函数的积分表达式 当n为整数时：贝塞尔函数的递推公式 n 阶整数阶贝塞尔函数有

6、： 贝塞尔函数的正交性 贝塞尔函数系 定义：定积分：称为贝塞尔函数的模。 2、贝塞尔级数展开定理：设在区间0,R上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值 其中 勒让德方程 考虑球域内拉氏方程定解问题在球坐标系下勒让德方程 令， 取m=0时得 勒让德多项式当n为正偶数时当n为正奇数时n次第一类勒让德多项式 勒让德多项式的罗得利克公式 勒让德多项式的积分表达式 勒让德多项式的母函数 勒让德多项式的递推公式(重点) （n=1,2,3. ） 勒让德多项式正交性定理 勒让德多项式展开定理：若 且：f (x)在-1,1上分段连续，则在-1,1上可以展开为绝对且一致收敛的级数： 其中 牛顿二项式展开式泰勒级数