高等代数试卷及答案.doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上高等代数一、填空题 (共10题,每题2分,共20 分)1只于自身合同的矩阵是 矩阵。2二次型的矩阵为_。3设是实对称矩阵,则当实数_,是正定矩阵。4正交变换在标准正交基下的矩阵为_。5标准正交基下的度量矩阵为_。6线性变换可对角化的充要条件为_。7在中定义线性变换为: ,写出在基下的矩阵_。8设、都是线性空间的子空间,且,若,则_。9叙述维数公式_。10向量在基(1)与基(2)下的坐标分别为、,且从基(1)到基(2)的过渡矩阵为,则与的关系为_。二、判断题 (共10 题,每题1分,共10分)1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。( )2设为维线性空间上的线性变换,则。(
2、 )3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实数域上的线性空间。( )4设与分别是齐次线性方程组与的解空间,则 ( )5为正定二次型。( )6数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。( )7把复数域看作复数域上的线性空间,令,则是线性变换。( )8若是正交变换,那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。( )9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。( )10若为 ()中的微分变换,则不可对角化。( )三、计算题 (共3题,每题10分,共30分)1设线性变换在基下的矩阵为,求的特征值与特征向量,并判断是否可对角化?2取什么值时,下列二次型是正定的?3设三维线性空
3、间上的线性变换在基下的矩阵为:,求在基,下的矩阵。四、证明题 (共4题,每题10分,共40分)1证明:与相似,其中是的一个排列。2证明:和是直和的充要条件为:。3设是级实对称矩阵,且,证明:存在正交矩阵,使得: 4证明: 与 合同,其中是的一个排列。答案一1零 2 3.充分大 4.正交矩阵 5. 6.有个线性无关的特征向量7. 8. 9. 10. 二1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三1.解: (3分) 所以,的特征值为(二重)和。把代入方程组得: 基础解系为 因此,属于得两个线性无关得特征向量为: 因而属于的全部特征向量就是 ,、取遍中不全为零的全部数对 (6分),再用代入得:基础解系,因此,属于5的全部特征向量是, 是中任意不等于零的数。 (9分) 因为有三个线性无关的特征向量,所以可能对角化。 (10分)2.解:的矩阵为: , , 。得:当时,是正定的。3解: (2.5分) (2.5分) (2.5分)在基下的矩阵为 (2.5分)四1.证:任意维向量空间,的基,则唯一使 (3分)即 在基下的矩阵为(6分)与相似(1分)2证:是直和 (3分) (2分)令 (3分),同理是直和。 (2分)3证:设是的任一特征值 ,使 , 或实对称矩阵正交矩阵,使4证:、对应的二次型分别为令 , 所以,与合同。云南大学专心-专注-专业
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