【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题.doc

《【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题.doc（54页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、解几综合题1.如图， 和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.OAPBxy（）求的值；（）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（）若直线l过点E（2，0）交（）中曲线C于M、N两点，且，求l的方程.2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点，轴，垂足为，点与点关于轴对称， （1）求动点的轨迹的方程（2）若点的坐标为，、为上的两个动点，且满足，点到直线的距离为，求的最大值3. 已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点. 设（为原点），求点的轨迹方程；oyxPQF 若直线的倾斜角为，求的值.4. 在双曲线的上半支有三点A，B，C，其中B是第一象限的点，F为双曲的

2、上焦点.若线段AC的中点D在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （）求点B的坐标； （）若直线l经过点D，且在l上任取一点P（不同于D点），都存在实数，使得 证明：直线l必过定点，并求出该定点的坐标。5. 如图，椭圆两焦点F1、F2与短轴两端B1、B2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为 （I）求椭圆的标准方程； （II）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设，求的取值范围. 6. 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足， （1）求此椭圆的方程； （2）设A、B是这个椭圆上的两点，并且满足时

3、，求直线AB的斜率的取值范围.7. 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），（）求点M的轨迹W的方程；（）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围8. 已知点A（1，0），B（1，1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图. （I）若POM的面积为，求向量与的夹角； （II）试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.9. 设不等式组表示的平面区域为D区域D内的动点P到直线xy0和直线xy0的距离之积为1记点P的轨迹为曲线C（）求

4、曲线C的方程；（）过点F(2，0)的直线与曲线C交于A，B两点若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长10. 如图，在中，（均为正常数），、是平面内的动点，且满足，向量与垂直。设动点的轨迹为曲线. 说明曲线是何种曲线，为什么？ 设， 若成等差数列，且的面积为，试建立适当的坐标系，求曲线的方程； 在的条件下，是否存在过点的直线，FEDCMNP使与曲线交于不同的两点，且.如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.11. 已知点D在定线段MN上，且|MN|3，|DN|1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P（）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；（）过点

5、M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若()( )0，且2，2，求直线l与直线MN夹角的取值范围12. 已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆的离心率是，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4(1)求椭圆标准方程；(2)设椭圆长轴的左端点为，是椭圆上且位于第一象限的任意一点，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：13. 已知抛物线：的焦点为，定点设为抛物线上的两动点，且总存在一个实数，使得=（）若，求抛物线的方程.（）在（）的条件下，若直线的倾斜角， 求的取值范围.14. 如图，DEx轴，垂足为D，点M满足当点E在圆上运动时， （1）求点M的轨迹方程； （2）过点F引（与两坐标轴都不平行

6、的）直线l与点M的轨迹交于A、B两点，试在y轴上求点P，使得PF是APB的角平分线.15. 如图，若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且四边形OMPF1为菱形. （I）若此双曲线过点，求双曲线的方程； （II）设（I）中双曲线的虚轴端点为B1、B2（B1在y轴的正半轴上），过B2作直线l与双曲线交于A、B两点，当时，求直线l的方程.16. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。(1) 求椭圆的离心率；(2) 设为椭圆上任意一点，且，证明为定值。17. 如图，线段AB过y轴负半轴上一点，A、B两点到y轴

7、距离的差为。()若AB所在的直线的斜率为，求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的抛物线的方程；()设()中所确定的抛物线为C,点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60，又点P在抛物线C上由A到B运动，试求PAB面积的最大值。18. 已知点H（3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足， .（1）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；PxOyHMQ（3）在（）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.19在直角坐标平面中，ABC的两个

8、顶点为 A（0，1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足 , = = （1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（, 0） ，已知 , 且= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.20如图，已知直线与抛物线相切于点P(2, 1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) . （I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围. 21. 已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，（）求椭圆

9、的方程；（）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由22. 设椭圆C：1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使ABP为等边三角形，求直线AB的方程23. 设O为坐标原点，A(，0)，点M在定直线xp（p0）上移动，点N在线段MO的延长线上，且满足（）求动点N的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？（）若|AN|的最大值，求p的取值范围24. (1) 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于两点, 为坐标原点, 求证: 为定值;(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物

10、线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.25. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足；O是以F1F2为直径的圆，一直线l: y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B. （I）求椭圆的标准方程； （II）当，且满足时，求AOB面积S的取值范围.26. 如图，已知圆O：与y轴正半轴交于点P，A（1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线。（）当点S在圆周上运动时，求证：抛物线的焦点Q始终在某一椭圆C上，并求出该 椭圆C的方程；（）设M、N是（）中椭

11、圆C上除短轴端点外的不同两点，且， 问：MON的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。27. 长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）。（）求点的轨迹方程；（）当时，过点作两条互相垂直的直线和，和分别与曲线相交于点和（都异于点），试问：能不能是等腰三角形？若能，这样的三角形有几个；若不能，请说明理由。yxOACB28. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线x轴与点C， ，,动点到直线的距离是它到点D的距离的2倍。（I）求点的轨迹方程（II）设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于两点（与点K不重合）,且满足.动点满足,

12、求直线的斜率的取值范围.RyxOQFBA29. 如图，是抛物线的焦点，是准线与轴的交点，直线经过点。（1） 直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；（2） 直线与抛物线交于A，B两点，（）记的斜率分别为，求的值；（）若点在线段上，且满足，求点的轨迹方程。30. 已知为椭圆上的一个动点，直线、分别过焦点、与椭圆交于点、，当AC垂直于x轴时，恰好有 （）求该椭圆的离心率； （）当变动时，设.求证： 31. 已知，点P满足，记点P的轨迹为E。（1）求轨迹E的方程；（2）若直线过点且与轨迹E交于P、Q两点。（）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值。（）过P、Q作直线的垂线PA、QB

13、，垂足分别为A、B，记，求的取值范围。32. 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （1）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.33. 已知双曲线的中心在原点，以两条坐标轴为对称轴，离心率是，两准线间的距离大于，且双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1。（）求证：该双曲线的焦点不在y轴上； （）求双曲线的方程；（）如果斜率为k的直线L过点M（0，3），与该双曲线交于A、B两点，若，试用l表示k2,并求当时，k的取值范围34. 如图，与抛物线x=-4y相

14、切于点A(-4，-4)的直线l分别交x 轴、y轴于点F、E，过点E作y轴的垂线l.()若以l为一条准线，中心在坐标原点的椭圆恰好过点F，求椭圆的方程；()若直线l与双曲线6x-y=8的两个交点M、N，且点A为线段MN的中点，又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点，记在x轴正方向上的投影为p，且()P=m，m，求直线PQ的斜率的取值范围.ABOPQxyF/F35. 如图，分别为椭圆和双曲线的右焦点，A、B为椭圆和双曲线的公共顶点.P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的第一象限内的点，且满足=,.求出椭圆和双曲线的离心率；（2）设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别是,.求证：.36.

15、 已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线。 （）求椭圆的方程； （）若点P在椭圆上，设，试用m表示； （）在（）的条件下，求的最大值和最小值。37. 已知直线与椭圆相交于A、B两点. （）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长； （）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值.解几综合题答案1.解：（）由已知得 4分 （）设P点坐标为（x，y）（x0），由得 5分 消去m，n可得 ，又因 8分 P点的轨迹方程为 它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支 9分（）设直线l的方

16、程为，将其代入C的方程得 即 易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意） 又 设，则 l与C的两个交点在轴的右侧 ，即 又由 同理可得 11分 由得 由得 由得 消去得 解之得： ，满足 13分故所求直线l存在，其方程为：或2. （I）由已知， 2分则，即 4分（II）设，如图，由可得 5分若直线轴，则，此时，则，解之得，或但是若，则直线过点，不可能有所以，此时点到直线的距离为4 7分若直线斜率存在，设直线的方程为，则则，即又， 9分 则，可得或若，则直线的方程为，此直线过点，这与矛盾，舍若，则直线的方程为，即 12分此时若，则直线的方程为，显然与矛盾，故 13分由可得， 14分

17、3. 解： 设.1 由，易得右焦点 .2当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知.3当直线的斜率存在时，可设直线的方程为代入E有.5于是 消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是.8设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得.10同理，在，设，则也由余弦定理得.12于是.144. 解：（I）设B(x0，y0)，A(x1，y1)，C(x2，y2)双曲线的离心率为，F对应的准线方程为,由双曲线的定义得（12分）又A在双曲线的上半支，y1，|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，2|BF|=|AF|+|CF|，点B的坐标为.（6分） （II）在l上任取一点P（不同于D点），都存在实数，使得，在AP

18、C的角平分线上，（7分）线段AC的中点为D点，APC是等腰三角形，PD是线段AC的垂直平分线，（8分）设直线l的方程为（11分）故直线l恒过点（0，）.（12分）5. 解：（I）设椭圆的标准方程为，因B1F1B2F2是正方形，所以b=c，又a2 = b2 + c2，所以，由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以，由知，椭圆的标准方程为： （II）当直线的斜率存在，设直线MN的方程为解方程组消去设，则 又因M在DN之间，所以，即，于是，将代入得，整理得 8分又 10分当直线的斜率不存在时，直线MN的方程为， 11分综上所述，的取值范围是 12分6. 解：（1）由于， 解得，从而所求

19、椭圆的方程为（4分） （2）三点共线，而点N的坐标为（2，0）.设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k0.由消去x得，即根据条件可知 解得（6分）设，则根据韦达定理，得又由 从而 消去（8分）令，则 （10分）上的减函数，从而，即， ，解得因此直线AB的斜率的取值范围是（12分）7. 解：（）， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， ， ， 4分 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为（）6分（）设 ， 8分由点P、Q均在椭圆W上， 10分消去并整理，得，由及，解得 14分8. 解：（I）设点、M、A三点共线，（2分）（3分）设POM=，则

20、由此可得tan=1.（5分）又（6分） （II）设点、B、Q三点共线，即（10分）即（12分）由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，4）.故存在定一点E（1，4），使（14分）9. （）解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示 设动点P(x，y)，则1，即|x2y2|24分PDxy0，xy0，即x2y20x2y22(x0)即曲线C的方程为1(x0)6分（）解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，以线段AB为直径的圆的圆心Q(，)，以线段AB为直径的圆与y轴相切，半径r|AB|即|AB|x1x28分曲线C的方程为1(x0)，F(2，0)为其焦点，相应的准线方程为x1，离心率e

21、根据双曲线的定义可得，|AB|AF|BF|(x11)(x21)(x1x2)212分由，可得，x1x2(x1x2)2由此可得x1x242线段AB的长为4214分（）解法二：曲线C的方程为1(x0)，F(2，0)为其焦点，相应的准线为l：x1，离心率e分别过A，B作AAl，BBl，垂足分别为A，B设AB中点Q，过Q点作QQy轴，垂足为Q由双曲线的定义可得，|AF|AA|，|BF|BB|10分|AB|AF|BF|(|AA|BB|)根据梯形中位线性质可得|AA|BB|2(|QQ|1)|AB|2(|QQ|1)12分以线段AB为直径的圆与y轴相切，|QQ|AB|把代入得|AB|2(|AB|1)，解得|AB

22、|4214分（）解法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线AB过点F(2，0)，当ABx轴时，|AB|2，以线段AB为直径的圆与y轴相离，不合题意设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程x2y22得，x2k2(x2)22，即(1k2)x24k2x(4k22)0，直线与双曲线交于A，B两点，k1x1x2，x1x2|AB|9分以线段AB为直径的圆与y轴相切，圆的半径|AB|与圆心到y轴的距离(x1x2)相等即(x1x2)12分化简得k42k210，解得k21（k21不合，舍去）经检验，当k21时，直线与曲线C有两个不同的交点。|AB|x1x24214分10. 解：（1）由及知 点E的轨迹

23、是过S点且与OF垂直的直线L，且PEL 2分 又由 得：，为大于1的常数。 据双曲线定义知：曲线M是以F为焦点，L为相应准线的双曲线。 5分 （2）设L交OF于D，则由得， 以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系， 则，L的方程为： 曲线M的方程为 .8分 由 解得： 故所求曲线M的方程为： .10分 （3）假设存在满足条件的直线m，设 m的方程为： ， （斜率不存在时，直线m与曲线M不相交）代入，得： 点A是线段BC的中点 13分 而方程的判别式 当时， 不存在满足条件的直线m. 14分11. 解：（）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy1分PMPN(PEEM

24、)(PFFN)MDND2或PMPN(PEEM)(PFFN)MDND23分点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为（y0）5分（）()( )0，且2，2，6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x12，y1)，(x22，y2)设AB：myx2，代入得，3(my2)2y230，即(3m21)y212my907分当时，y1y2，8分得，9分4，6，即46解得，m23，故tan210分当时y1y2，11分得，即2，2，2，42，0，即20即，故tan21113分由、得tan2或tan211则夹角(0，arctan，)，14分tan不存在时，直线l符合条件，故时，

25、符合题意(0，arctan，)15分12解：（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：(分)则离心率，由椭圆定义，得(分)解得， (分)所以椭圆标准方程为： (分)（2）由题意得，设，其中，点和点都在椭圆上，则有，（）（）(5分)由，有，即，（）(分)由可知直线方程为： 把代入，得(分)所以有，可得：（）(分) （）(分)由（），（），（）得： （）(分)由（），（）得：（）(分)由（），（）得：（）(分)由（），（）得：（）(分)由（），（）可证得：(分)13. 解:（1）= 、三点共线 又 当轴垂直时，由，关于轴对称得代入得 抛物线的方程是 2分当轴不垂直时，设直线的方程为 由得 4分设 则有

26、6分又 8分 此时抛物线的方程为 综上所述抛物线的方程为 也可以不用讨论，按步给分。注：若设直线方程为也可以不用讨论，按步给分（2）直线的倾斜角可设直线的方程为：其中由（1）可知得 10分 12分设 又13 当时 有最小值，当时 有最小值的取值范围是 14分14. 解：（1）设点，点，轴，,2分又点E在圆上，有，3分就是点M的轨迹方程. 5分（2）设点直线l的方程为 6分代入中得7分设则8分PF是APB的角平分线，即 即9分又 代入得10分，解得12分即所求P坐标为（0，）.（2）另解：过点P作平行于x轴的直线L，记点A到直线L的距离为DA，点B到直线L的距离为DB .PF是APB的角平分线，

27、APA1=BPB1，RtAPA1RtBPB1，有，点F（0，）是的下焦点，即直线l过下焦点F，设其相应的准线，记点A到直线的距离为dA，点B到直线的距离为dB，平行直线L与之间的距 离为d，即，则椭圆的离心率，即，得，直线l与x轴不平行，即准线与直线L重合，所以点P是准线与y轴的交点，对于椭圆，准线的方程为，所以点P坐标为（0，）.15. 解（）四边形PF1OM是菱形，设半焦距为c，则有|OF1|=|PF1|=|PM|=c，|PF2|=|PF1|+2a=c+2a。由双曲线第二定义得 即 2分又 设双曲线方程为 4分双曲线过点N（2，），得 a2=3 所求双曲线的方程为 6分（）由题意知B1（0

28、，3）、B2（0，3），设直线l的方程为则由 消去y得 7分双曲线的渐近线为 ，时，直线l与双曲线只有一个交点，即 9分又，而，即 11分直线l的方程为 12分16. 解：（1）设椭圆方程为，则直线的方程为，联立方程组消得，.设、，则又，且与共线所以得：又，所以 即 也就是，所以 ，。 故离心率(2) 证明：由(1)知，所以椭圆可化为设，则由得： 又在椭圆上，所以 即 也就是 由(1)得 ， 联立、得：故为定值，定值为1. 17. () 解：依题意设所求的抛物线方程为，-1分直线AB的斜率为且过点直线AB的方程为由得 -3分设（）则是方程的两个实根 ， 若则， -5分若则 与矛盾-6分该抛物线

29、的方程为-7分()解法1：抛物线的焦点为（）即M点坐标为（）直线AB的斜率直线AB的方程为，-8分解方程组得 即点A，B-10分设点P(m，n)，依题意知，且则点P到直线AB的距离当时，-13分这时。-14分解法2：抛物线的焦点为（）即M点坐标为（）直线AB的斜率直线AB的方程为，由得，以下同上。18解：（1）设且 2分 3分 4分动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.5分（2）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有； 6分BADFxOyHGEl当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，则A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得. 7

30、分设直线AE和BE的斜率分别为，则 9分，.综合（1）、（2）可知. 10分BADFxOyHGE解法二：依题意，设直线的方程为，则A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得 7分设直线AE和BE的斜率分别为，则9分，.10分（3）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为.12分令，得此时，当，即时，（定值）当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在. 14分19. 20. 解：（1）设C ( x , y )， ,由知,G为 ABC的重心 ， G(,) （2分）由知M是ABC的外心，M在x轴上 由知M（，0）

31、，由 得 化简整理得：（x0 ） (6分) （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k，则直线PQ的方程为y = k ( x )由设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1x2 = （8分） -7-则| PQ | = = = RNPQ,把k换成得 | RN | = （ 10分) S =| PQ | | RN | = =) 2 ， 16 S 2 ， (当 k = 1时取等号) （12分）又当k不存在或k = 0时S = 2综上可得 S 2 Smax = 2 ， Smin = （14分）20. 解：（I）由得， . 直线的斜率为，故的方程为， 点A

32、的坐标为（1，0）.设 ，则（1，0），由得，整理，得. 动点的轨迹C为以原点为中心，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆.(II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 ，将代入，整理，得，由得设、，则 令， 则，由此可得 ，且.由知 ，. , 即 ， ，解得 又， ，OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）.21. 解：（）设椭圆的方程为：，则1分当垂直于轴时，两点坐标分别是和，则，即 3分由，消去，得或（舍去）当时，因此，椭圆的方程为 5分（）设存在满足条件的直线(1)当直线垂直于轴时，由（）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足因此，当直线垂直于轴时不满足条件 7分（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为由，设两点的坐标分别为和，则，