2019秋高三数学上学期期末试题汇编：24.空间点、直线、平面的位置关系 1 .doc

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1、（山东省德州市2019届高三期末联考数学（文科）试题）8.已知直线表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题：若，则；若，则；若，且，则；若，则.其中正确的命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】由直线l，m表示不同的直线，表示不同的平面，知：在中，若1，ml，则m或m，故错误；在中，l，则l或l，故错误；在中，若l，且，则l或l，故错误；在中，若l，则由线面垂直的判定定理得l，故正确故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查

2、空间想象能力，是中档题（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）10.若四面体的三视图如图所示，则以下判断中，正确的是（ ）A. 该四面体的所有对棱都互相垂直B. 该四面体恰有三个面是直角三角形C. 该四面体中，棱与面互相垂直的恰有两对D. 该四面体中，面与面互相垂直的恰有四对【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，分析，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到：图中O-ABC即为原图，A选项错误，如AB和OC不垂直；B选项四个面都是直角三角形，错误；C选项棱和面互相垂直的有AO与平面OCB,BC和平面ABO，故正确；D选项面面垂直有2对，故错误。故选C

3、。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较小。（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】推导出ACBC1，ACB90，AC1AC1，CDC1D（0，1），AC1D90，CH平面ABC，从而AHAC11，当CD1时，B与D重合，AH，当CD1时，AH，由此能求出x的取值范围【详解】解：在等腰RtABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，ACBC1，ACB90，将ACD沿直AD折叠至AC1D的位置，使得

4、点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AHx，AC1AC1，CDC1D（0，1），AC1D90，CH平面ABC，AHAC11，故排除选项A和选项C；当CD1时，B与D重合，AH，当CD1时，AH，D为直角边BC上的一点，CD（0，1），x的取值范围是（，1）故选：B【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）16.如图，在四棱锥中，底面，若为棱上一点，满足，则_【答案】【解析】【分析】过

5、作，交于，连接，根据，可得平面，通过解三角形求得的值，也即求得的值.【详解】过作，交于，连接，根据，可得平面，故，由于，所以.由于，所以.在直角三角形中，所以，而，故.根据前面证得，可得.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）9.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线平面PBC；平面平面PAD其中正确的结论个数为A. 4个B. 3个C

6、. 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】把平面展开图还原回立体图形，根据异面直线的概念和线面关系的判定，依次判断各个选项，得到正确结论的个数。【详解】将平面展开图还原后可得立体图形如图所示：为中点，又四边形为矩形 四点共面直线与共面，不是异面直线，即错误平面，平面，平面直线与直线为异面直线，即正确，平面，平面平面，即正确假设平面平面，即平面平面又平面平面，作，垂足为，可得平面但实际无法证得平面，故假设不成立，即错误本题正确选项：【点睛】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系。关键在于熟悉异面直线的概念、线面平行和垂直关系的判定定理。（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题

7、）8.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,当且仅当平面的交线的时，命题才成立，即原命题不成立；对于选项B，若，则直线可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命题；对于选项C，由，可得平面内一定存在直线与直线平行，进而得出该直线垂直于平面，所以原命题为真命题；对于选项D，若，则平面与平面相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

8、E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）（A）直线AA1 （B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D考点：异面直线（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）10.如图所示，正方体中，点，分别为棱，的中点.则下列叙述中正确的是（ ）A. 直线平面B. 直线平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】B【解析】【分析】将平面扩展，可作出过的正方体的截面，易证得平面.【详解】过点的截面如图所示（分别为的中点），平面，平面平面本题正确选项：【点睛】

9、本题考察了直线与平面、平面与平面的平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）6.设，为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论.【详解】对于A项，平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行、相交、异面的，所以不正确；对于B项，分别位于两个互相平行的平面内的两条直线可以是平行、相交、异面的，所以不正确；对于C项，平行于同一条直线的两个平面可以是相交的，可以是平行的，所以不正确；对于D项，根据两个平

10、面的法向量垂直时，两个平面是垂直的，可以得出若，则，所以是正确的；故选D.【点睛】该题考查的是有关空间关系的命题的正确性的判断问题，涉及到的知识点有线面平行、面面平行以及垂直的判定和性质定理，依次分析选项，可得答案.（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）7.设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A可能垂直也可能不垂直，平行都有可能；B；D可能垂直，不垂直，或是平行都有可能；C，那么，那么，故C正确考点：线线，线面，面面位置关系（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）18.如图，三棱台

11、的底面是正三角形，平面平面，.（）求证：；（）若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.【答案】（I）见证明；（II）【解析】【分析】（）取的中点为，连结，可证明四边形为平行四边形，得，由等腰三角形的性质得，可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得结果；（）由三棱台的底面是正三角形，且，可得，由此，.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，.，四边形为平行四边形，.，为的中点，.平面平面，且交线为，平面，平面，而平面，.（）三棱台的底面是正三角形，且，.由（）知，平面.正的面积等于，.直角梯形的面积等于，.【点睛】本题主要考查面面

12、垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）19.如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90（）若平面ABCD平面AEB

13、F，证明平面BCF平面ADF；（）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比【答案】（）见证明；（）见解析【解析】【分析】（）根据为矩形，结合面面垂直性质定理可得平面，即，结合，即可得平面，最后根据面面垂直判定定理可得结果；（）首先易得平面，再证平面，进而面面平行，延长到点，使得，可得是平行四边形，过点作的平行线，交于点，此即为所求，通过可得结果.【详解】（）ABCD为矩形，BCAB，又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面AEBF=AB，BC平面AEBF， 又AF平面AEBF，BCAF. AFB=90，

14、即AFBF，且BC、BF平面BCF，BCBF=B，AF平面BCF又AF平面ADF，平面ADF平面BCF. （2）BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF.和均为等腰直角三角形，且90，FAB=ABE=45，AFBE，又AF平面ADF，BE平面ADF，BCBE=B，平面BCE平面ADF.延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，HFABCD，HFDC是平行四边形，CHDF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BGCHDF，（DF平面CDF）BG平面CDF，即此点G为所求的G点.又BE=，EG=，又，故.【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，强调“线

15、线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，通过线线平行得到线面平行，等体积法求三棱锥的体积，考查了空间想象能力，属于中档题.（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱的中点（）证明：平面 平面；（）若，求点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明，则，所以；（2）利用，求得。试题解析：（1）在矩形ABCD中， 又 又 （2）在中，是棱的中点， 由（1）知平面，. 又，平面 , ,面,而面,所以，在中， 设点到平面的距离为所以点到平面的距离为 （河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）19

16、.在直角三角形中，的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）在直角三角形中，求得，再由题意得，利用线面垂直判定定理，即可求解；（2）利用等价法，把点到平面转化为三棱锥的高，即可求解.【详解】（1）直角三角形ABC中，ABBC2，D为AC的中点，BDCD，又PBCD，BDPBB，CD平面PBD，又因为PD平面PBD，PDCD （2）ADBD，PDBD又PDCD，BDCDD，PD平面BCD 在直角三角形ABC中，ABBC2，所以PDAD，PBPCBC2SABC2，SPBC，设A点到平面PBC的距离为d，由VP

17、-ABCVA-PBC得，SABCPDSPBCd，d即A点到平面PBC的距离为【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及利用等积法求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，E、F分别为和BC的中点求证：平面平面；求证：平面ABE【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】通过证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；取AC的中点G，连结G、FG，通过证明平面平

18、面EAB，利用平面与平面平行的性质定理证明平面ABE【详解】证明：平面ABC，平面ABC，又，平面而平面ABE，平面平面取AC的中点G，连结G、FG，为BC的中点，又E为的中点，且四边形为平行四边形，因为ABAE=A, =G,平面平面EAB，而平面，平面EAB【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的判定和性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）19.如图，在三棱锥中，面，BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.（1）若求证：为的中点；（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离【答

19、案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.【详解】（1）取中点，连接， 面，又为的中点，为的中点（2）设点到平面的距离为， 为的中点，又， 又，AM=，可得边上的高为，由 h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）19.如图，多面体中，底面是菱形，四边形是正方形且平面.（1）求证：平面；（2）若，求多面体的体积.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理先证明平面平面，进而可得平面；（2）将多面体拆成两个

20、四棱锥，由四棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】（1）证明：是菱形，.又平面，平面，平面.又是正方形，.平面，平面，平面.平面，平面 平面平面，平面.（2）解：连接，记.是菱形，且.由平面，平面，.平面，平面，平面于，即为四棱锥的高.由是菱形，则为等边三角形，由，则， ，【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及几何体的体积，证明线面垂直，有时需要先证面面垂直，熟记判定定理以及体积公式即可，属于常考题型.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）19.如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，分别沿将和折起，使得平面平面（点在平面的同侧），连接，如图2所示（1）求证：；（2）

21、当，且平面平面时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）由已知可得CBF为等边三角形，连接EF，由已知可得BEF为等边三角形取BF的中点O，连接OC，OE，可得COBF，EOBF从而得到BF平面COE，则BFCE；（2）由（1）知，COBF，结合条件可证OEBF，求得，利用锥体体积公式求解即可.【详解】（1）四边形为平行四边形，点是的中点，又，为等边三角形，连接，由，得为等边三角形取的中点，连接，则平面，则；（2）由（1）知，又平面平面，则平面，又，三棱锥的体积【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想象能力与思维能力，是中档题（山东省菏

22、泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）18.如图，在四棱柱中，底面，四边形是边长为4的菱形，分别是线段的两个三等分点.（1）求证：平面；（2）求四棱柱的表面积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1) 连接与交于点，则为的中点，连接，由比例关系可得，由线面平行的判定定理即可得到证明；（2）分别求出四棱柱各个面的面积求和即可.【详解】（1）证明：连接与交于点，则为的中点，连接，因为分别是线段的两个三等分点，所以是线段的中点，又因为是线段的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为四边形是边长为4的菱形，且底面，所以侧面为四个全等的矩形，所以四个侧面的面积为因

23、为平面，连接，所以四边形是矩形，又，所以四边形是正方形，所以，所以所以所以四棱柱的表面积为【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查柱体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）18.如图，在四边形ABED中，AB/DE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE. （1）求证：平面PBC 平面DEBC；（2）求三棱锥P-EBC的体积.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PCCD，根据平几知识得BE/CD，即得PCBE，再

24、利用线面垂直判定定理得EB平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.【详解】（1）证明：ABBE，ABCD，BE/CD，ACCD，PCCD，PCBE， 又BCBE，PCBC=C，EB平面PBC， 又EB平面DEBC，平面PBC 平面DEBC；（2）解法1：AB/DE，结合CD/EB 得BE=CD=2，由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE得,PBC为等边三角形， , . 解法2：AB/DE，结合CD/EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE，得, PBC为等边三角形，取BC的中点O，

25、连结OP，则,POBC，PO平面EBCD， .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）18.如图，直三棱柱中，是中点证明：平面；线段上是否存在点，使三棱锥的体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）为的中点.【解析】【分析】连接，与交于点O，连接OD，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定可得平面；连接，假设线段上存在点N，使得三棱锥的体积

26、为，设N到平面的距离为h，由三棱锥的体积为求得h，进一步求得N为的中点得结论【详解】证明：如图，连接，与交于点O，连接OD，在中，O和D分别是和CB的中点，则，又平面，平面；解：连接，假设线段上存在点N，使得三棱锥的体积为，设N到平面的距离为h，由题意可知，为等边三角形，又D为BC的中点，又三棱柱为直三棱柱，故AD平面，为直角三角形，的面积为，由三棱锥的体积公式可知，又平面，平面平面，故点N到平面的距离与点N到直线的距离相等，又为等腰直角三角形，点C到直线的距离为又点B与点C到到平面的距离相等，故点B到直线的距离也为，当N为的中点时，点N到平面的距离为，三棱锥的体积为【点睛】本题考查直线与平面

27、平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）19.如图所示：在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，ADDE1，ADE90，ADCDCB120（）求证：平面ABCD平面EDCF；（）求三棱锥ABDF的体积【答案】（1）见解析：（2）【解析】【分析】（1）推导出ADDE，CDDE，从而DE平面ABCD，由此能证明平面ABCD平面EDCF，（2）三棱锥ABDF的体积VABDFVFABD，由此能求出结果【详解】（1）证明：在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，ADE90，ADDE，C

28、DDE，ADCDD，DE平面ABCD，DE平面EDCF，平面ABCD平面EDCF（2） 由()知DE平面，所以平面. 等腰三角形又DCEF，平面ABFE，平面ABFE，所以DC平面ABFE.又平面ABCD平面ABFE=AB，故ABCD.所以四边形为等腰梯形.又AD=DE，所以AD=CD，由,在等腰中由余弦定理得，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）19.如图所示，在边长为2的菱形中，现将沿边折到的

29、位置（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为即可求出.【详解】（1）如图所示，取的中点为，连接，易得， ,又 面 （2）由（1）知 ， = ,当时，的最大值为1.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）19.如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）. （）证明：平面；（）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，

30、求三棱锥的体积.【答案】（）详见解析（）3【解析】【分析】（）利用点在平面内的射影恰好在上，过P作AD的垂线段PO，由此证得，再计算出，从而证得，命题得证。（）求出点到底面的距离，利用计算，问题得解。【详解】解：（）过点作，垂足为.由于点在平面内的射影恰好在上，平面.四边形为矩形，.又，平面，.又由，可得，同理.又，且，平面.（）设点到底面的距离为，则.由，可知，.又，.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）19.如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为三棱柱

31、，且AA1平面ABC， AA1=AC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD=4，ADC=60.（）求证：；（）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）推导出AC1A1C，ACAB，AA1AB，从而AB平面ACC1A1，进而A1B1AC1，由此能证明AC1平面A1B1CD（2）由CD2，得AD4，ACAA12，三棱谁C1A1CD的体积：，由此能求出结果【详解】(1)为三棱柱，且平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，是正方形，设，则，平面，平面解：(2)，三棱谁的体积：，【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

32、基础知识，考查运算求解能力，是中档题（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）18.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,E,F分别为CC1,BB1上的的点,且EC=3FB=3,点M是线段AC上的动点(1)试确定点M的位置,使BM/平面AEF,并说明理由(2)若M为满足(1)中条件的点,求三棱锥M一AEF的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）在AE上找一点N,及AC上点M，使得BFNM是平行四边形，即满足条件，即在平面AEF中找一条直线FN/BM.(2).,平面,所以。试题解析：（1）当点是线段靠近点的三等分点时，平面. 事实上，在上取点,

33、使,于是,所以且.由题意知，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）连接.因为三棱柱是正三棱柱，所以平面.所以.取的中点，连接，则.因为三棱柱是正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为，所以平面. 所以为三棱锥的高.又在正三角形中，. .【点睛】存在性问题寻找，常用性质定理寻找存在的那个条件。再用判定定理证明。高中两个图形求体积常用换底转化方法，一个是三棱锥，另一个是平行六面体。同时要注意割补法做复杂图形的体积问题。（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）19.如图，直角梯形与等腰直角三角形所

34、在的平面互相垂直. .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）存在点，且时，有平面【解析】【分析】（1）设是中点，连接，通过证明及，证得平面，由此证得.（2）通过证明平面，证得，而，故平面，由此证得平面平面.（3）连交于，由比例得，故只需，即时，,即有平面.【详解】解：（1）证明：取中点，连结.由等腰直角三角形可得，四边形为直角梯形，四边形为正方形，所以，平面，.（2）平面平面，平面平面，且，平面，又，平面，平面，平面平面；（3）解：存在点，且时，有平面，连交于，四边形为直角梯形，又，平

35、面平面，平面.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查空间两个平面垂直的证明，考查线面平行的存在性问题.要证明空间两条直线垂直，主要方法是通过线面垂直来证明，也即通过证明直线垂直于另一条直线所在的平面，来证明线线垂直.要证明面面垂直，则是通过证明线面垂直来证明.（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）18.如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（）证明：平面；（）若线段上的点满足，求棱锥的体积.【答案】（）详见解析（）【解析】【分析】解法一：（I）证明BC分别垂直平面PAC的两条直线，结合直线与平面垂直的判定，即可。（II）结合直线与平面垂直判定，计算得到MG垂

36、直平面ABC，进而计算面积，利用，即可。解法二：（I）同解法一（II）结合直线与平面垂直判定，得到平面，利用【详解】解法一：（）在中，.连接为的中点，.又平面平面，平面平面，平面.平面，.又，平面.（）在中，.过作于，则.平面，平面.，.由（）得平面， .解法二：（）同解法一（）由（）得平面，平面.又为的中点，三棱锥的高.，. .【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）18.如图，四棱锥中，底面是平行四边

37、形，底面.（1）求证：平面平面；（2）若，求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)分别证明AD垂直EC,AC,然后结合平面与平面判定,即可.(2)法一,利用,即可.法二,证明得到为三棱锥的高,即可.【详解】证明：（1）因为在平行四边形中，由余弦定理可得：，所以，所以，故，又因为底面，所以，又因为，所以平面，所以平面平面.（2）因为，所以，又因为，所以，所以.（法一）设三棱锥的高为，由可得：， 解得，所以三棱锥的高为.（法二）在内，作，垂足为，由（1）知平面平面，又平面平面，所以平面，所以为三棱锥的高，故在中，即，解得，所以三棱锥的高为.【点睛】本道题考查了平面与平面垂直判

38、定以及性质,难度中等.（山东省德州市2019届高三期末联考数学（文科）试题）19.如图，四棱锥中，平面平面，为线段上一点，是线段的中点.（1）证明：平面；（2）若，求四面体的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）取AP中点H，连结HN，HB，推导出BMNH为平行四边形，从而MNBH,利用线面平行的判定定理即可得到证明；（2）取AB中点O，连结OM，过O作OEBM，推导PO面ABCD，由体积公式计算即可求得结果.【详解】（1）证明：由已知得：，取中点，连接，由为中点知，又，所以，且，即为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面（2）取中点，连接，过作，又平面平面，平面，平面又，

39、且，平面，中，中，由，到的距离为，【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）12.设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算与OE的距离，计算，即可。【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。【点

40、睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大。（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由得为异面直线与所成角，求解即可.【详解】在正方体中，连、，则，所以为异面直线与所成角，点与重合，最大，且最大为，当点与无限接近时，趋近于零，故异面直线与所成角的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角，求异面直线所成角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解.（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）5.设，表示不同直

41、线，表示不同平面，下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】对于,由平行公理4,可知正确；对于，若a，显然结论不成立，故错误；对于，若a，b，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故错误；对于，a，a，b，a与b平行或异面，故错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）10.如图，在各棱长都相等的直三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面的交线为，则与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】延长NM交BC于Q点，连接AQ，则平面与平面的交线为AQ，AQB即为所求.【详解】延长NM交BC于Q点，连接AQ，则平面与平面的交线为AQ，又AQB即为所求，在AQB中，ABQ=120，设AB=2，则BQ=1AQ=cosAQB=故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线