2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：模块综合测评 .docx

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1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若abc,则1b-c-1a-c的值()A.大于0B.小于0C.小于或等于0D.大于或等于0解析:因为abc,所以a-cb-c0,所以1a-c0,故选A.答案:A2.不等式|x+3|+|x-2|5的解集是()A.x|-3x2B.RC.D.x|x2解析:令f(x)=|x+3|+|x-2|=-2x-1,x-3,5,-3x2,2x+1,x2,则f(x)的图像如图,由图可知,f(x)0,y0,z0),则P与3的大小关系是()A.P3B.P3解析:因为1+x0,1+y0,1+z0,所以x1+x+y1+y+

2、z1+z1+x1+x+1+y1+y+1+z1+z=3,即Pa的解集为M,且2M,则a的取值范围为()A.14,+B.14,+C.0,12D.0,12解析:由已知2M,可得2RM,于是有2a-12a,即-a2a-12a,解得a14,故应选B.答案:B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析:设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n29=23=6,当

3、且仅当n=9n,即n=3时取等号.答案:C6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|a2-2a-1在R上的解集为,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(3,+)B.(-,0)(3,+)C.(-1,3)D.-1,3解析:|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,故它的最小值为2,原不等式解集为,a2-2a-12,即a2-2a-30,解得-1a3,故选C.答案:C7.设a,b,c为正数,且a+b+4c=1,则a+b+2c的最大值是()A.102B.52C.52D.5解析:由柯西不等式得(a+b+2c)212+12+222(a)2+(b)2+(4c)2=52

4、1,所以a+b+2c521=102,当且仅当a=25,b=25,c=120时等号成立,故a+b+2c的最大值是102.答案:A8.设正实数a1,a2,a10的任意一个排列为b1,b2,b10,则a1b1+a2b2+a10b10的最小值是()A.1B.10C.10D.100解析:不妨设0a1a2a10,则0|b-c|,则有()A.adbcB.adbcD.adbc解析:由|a-d|b-c|可得(a-d)2(b-c)2,即a2+d2-2adb2+c2-2bc,又因为a+d=b+c,所以a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4ad-4bc,于是ad0.因此y=cosx4sin2x40,于是y2

5、=cos2x4sin4x4=122cos2x4sin2x4sin2x4122cos2x4+sin2x4+sin2x433=427,当且仅当tanx4=2时,等号成立,所以y239,故所求最大值为239.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知关于x的不等式2x+2x-a7在x(a,+)内恒成立,则实数a的最小值为.解析:2x+2x-a=2(x-a)+2x-a+2a22(x-a)2x-a+2a=2a+47,故a32,即实数a的最小值为32.答案:3214.不等式|x-4|+|x-3|a有实数解的充要条件是.解析:不等式a|x-4|+|x-3|有解a(|x-4|+|x-

6、3|)min=1.答案:a115.设x,y,zR,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析:由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2=(2x+2y+z-1)2=81,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时等号成立,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)29.答案:916.对于任意实数a(a0)和b,不等式|a+b|+|a-b|a|x-1|恒成立,则实数x的取值范围是.解析:依题意只需不等式的左边的最小值|a|x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-b|(a+b)+(a

7、-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解2|a|a|x-1|即可,解得-1x3.答案:-1,3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且xy,求证:2x+1x2-2xy+y22y+3.证明因为x0,y0,x-y0,所以2x+1x2-2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+1(x-y)233(x-y)21(x-y)2=3,当且仅当x-y=1时,等号成立.所以2x+1x2-2xy+y22y+3.18.(本小题满分12分)已知m1,且关于x的不等式m-|x-2|1的解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且

8、满足a+b=m,求a2+b2的最小值.解(1)m1,不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集为0,4,3-m=0,m+1=4,解得m=3.(2)由(1)知a+b=3,(方法一:利用平均值不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292,当且仅当a=b=32时,等号成立,a2+b2的最小值为92.(方法二:利用柯西不等式)(a2+b2)(12+12)(a1+b1)2=(a+b)2=9,a2+b292,当且仅当a=b=32时,等号成立,a2+b2的最小值为92.(方法三:消元法求二次函数的最值

9、)a+b=3,b=3-a.a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+9292.a2+b2的最小值为92.19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:n+12nn!(n1,nN+).证明(1)当n=2时,2+122=322=942!=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k2,且kN+)时不等式成立,即k+12kk!,则当n=k+1时,(k+1)+12k+1=k+12+12k+1=Ck+10k+12k+1+Ck+11k+12k12+Ck+1k+112k+1k+12k+1+12(k+1)k+12k=(k+1)k+12k(k+1)k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.

10、由(1)(2)可知,对n1的一切正整数,不等式成立.20.导学号35664053(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.解(1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9,当且仅当p=q=r=1时等号成立,即p2+q2+r23.21.导学号35664054(本小题满分12分)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)2的解集;(2)若对于xR,f(x)t2-72t恒成立,求实数t的取值范围.解(1)f(x)=-x-4,x-1,3x,-1x2,x+4,x2.当x2,x-6,x-6;当-1x2,x23,23x2,x-2,x2.综上所述,不等式f(x)2的解集为xx23或x0,1a2+4b2+9c2=2m-10,m5,即实数m的取值范围是5,+).