和差定律公式及其倍角定律公式的运用.doc

\ 和差公式及倍角公式的运用 一、和差公式 二、倍角公式 三、应用类型 （题型一）-----给角求值 例1、求的值． 【解析】原式=． 或原式= 例2、计算的结果等于 （ ）． A． B． C． D． 【解析】． 答案：B 例3、已知，则的值为 （ ）． A． B． C． D． 【解析】． 答案：B 例4、已知为第三象限角，，则 ． 【解析】∵为第三象限角，， ∴， 于是 ， ∴． 例5、求的值． 【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式 解：∵，∴， ∴原式= ==． 法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式 解：原式== == ===． 或原式== =． 提示：∵，∴，因此 法三：构造对偶式，列方程求解 则 = == == ∵，∴，从而有=． 例6、求下列各式的值 （1）； （2） 【解析】（1）原式=； （2）原式=． 【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点： （1）对“二倍角”应该有广义的理解，如：是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等； （2）公式逆用：主要形式有， 【变式训练】 同步练习、求下列各式的值 ⑴ ； ⑵；⑶ （题型二）------给值求值 例1、已知 【点拨】 【解析】∵∴ 依题意，，∴ 又 ∴原式= 【题后感悟】 （1）从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． （2）当遇到这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． 类似这样的变换还有： 例2、已知求的值． 【解析】 又∵∴ 依题意，，∴ 而 （题型三）------化简 例、化简下列各式： ⑴ ⑵ 【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式 【解析】（1）原式= 提示：1、； 2、 【解析】（2）原式= 【题后感悟】 被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕． 【变式训练】 化简：⑴； ⑵． 【解析】⑴原式= ⑵法一：原式= 法二：原式= 四、万能公式（正、余弦的二倍角与正切的单角的关系） 1． 2． 说明：这两个公式叫做“万能公式”，在是否记忆上不做硬性要求，但记住了之间的关系，就会使解题过程更简捷． 五、活用公式 由于公式之间存在着紧密的联系，所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式． 主要形式有： ⑴、 ⑵、 ⑶、 六、错例分析 例、解不等式 【错解】∵两边平方，得 ∴∴ ∴因此， 即原不等式的解集为 【正解】∵两边平方，得 ∴必有且， 又∵，∴必为第一象限角， ∴ 即原不等式的解集为 【错因】错因1：忽略了为第一象限角（因为， 又∵所以必须且）； 错因2：上述方法引进了的增解，如果改用恒等变形，得即，可避免增解，也无需寻找隐含条件．