圆的培优主题材料(含解答).doc

\ 圆的培优专题1——与圆有关的角度计算 一 运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若DAB＝，DAC＝， 则BDC＝ . （BDC＝BAC＝100） 2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若C＝，则BAD＝ . （） 3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CBD＝，BDC＝，则 第1题 第2题 第3题 BAD＝ . （BAD＝BAC＋CAD＝40＋60＝100） 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若D＝， 则AEC＝ . （AEC＝2B＝2D＝120） 5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，ABC＝ADC＝， 则DAO＋DCO＝ . （所求＝360－ADC－AOC＝150） 6、如图，四边形ABCD中，ACB＝ADB＝，ADC＝，则ABC＝ . 第4题 第5题 第6题 （ABC＝ADC＝25） 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，D为半圆上一点，则ADC＝ . 8、如图，AB为⊙O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则ABC＝ . 9、如图，AB为⊙O的直径，，则ABC＝ . 第7题 第8题 第9题 答案：7、45； 8、30； 9、22.5； 10、40； 11、150； 12、110 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BAC＝，则ADC＝ . 11、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则BOC＝ . 12、如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，若，P＝， 则BDC＝ . （设ADC＝，即可展开解决问题） 第10题 第11题 第12题 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算 1、如图，AB是⊙O的弦，ODAB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若BED ＝，⊙O的半径为4，则弦AB的长是 . 略解：∵ODAB，∴AB＝2AC，且ACO＝90， ∵BED＝30，∴AOC＝2BED＝60 ∴OAC＝30，OC＝OA＝2，则AC＝，因此AB＝. 2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝ . 略解：∵直径CD弦AB，∴AE＝BE＝AB=3 ∴OE＝，则CE＝5＋4＝9 第1题 第2题 第3题 ∴BC＝ 3、如图，⊙O的半径为，弦ABCD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝ . 略解：如图，过点O作OEAB，OFCD，连接OB，OD. 则BE＝AB＝4，DF＝CD＝3，且OB＝OD＝ OE＝，OF＝ 又ABCD，则四边形OEPF是矩形，则OP＝ 4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，A＝B＝，则⊙O的半径为 . 略解：如图，过点O作ODAB，连接OB，则AD＝AB＝4，因此，BD＝8，OD＝ ∴OB＝. 5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，DCA＝，CD＝10，则BC＝ 略解：如图，连接OC，OD，则ODC＝OCD ∵△ABC为等边三角形，则OCA＝OCE＝30，∴ODC＝OCD＝45 ∴△OCD是等腰三角形，则OC＝ 第4题 第5题 第6题 过点O作OEBC，则BC＝2CE＝ 6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为的中点，E为OB上一点，AEC＝，CE的延 长线交⊙O于点D，则CD＝ 略解：如图，连接OC，则OC＝2 ∵C为的中点，则OCAB，又AEC＝，∴OCE＝30 如图，过点O作OFCD，则OF＝OC＝1，CF＝，∴CD＝2CF＝ 7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处， 并以每小时千米的速度沿北偏东的BF方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？ 解：如图，过点A作ACBF交于点C， ∵ABF＝30，则AC＝AB＝150200，因此A地会受到这次台风影响； 如图，以A为圆心200千米为半径作⊙A交BF于D、E两点，连接AD， 则DE＝2CD＝2， 所以受影响的时间为（时） 圆的培优专题3——圆与全等三角形 1、如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长. 解：如图，连接AB，BD，在CB的延长线上截取BE＝AC，连接DE ∵ACD＝BCD，∴AD＝BD 又CAD＝EBD，AC＝BE ∴△CAD≌△EBD（SAS） ∴CD＝DE，ADC＝BDE ∵AB为⊙O的直径，则ACB＝ADB＝90 ∴BC＝；ADC＋CDB＝CDB＋BDE＝90，即CDE＝ ∴△CDE是等腰直角三角形且CE＝14，∴CD＝ 2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且 MA＝MD，若CM＝，求BD的长. 解：如图，连接AC，则AC＝BC，C＝90，即△ABC是等腰直角三角形 过点M作MN∥AD，则NMA＝MAD 则△CMN也是等腰直角三角形，则MN＝CM＝2 ∴ANC＝MBD＝135， 又MA＝MD，∴D＝NMA＝MAD ∴△AMN≌△BMD（AAS） ∴BD＝MN＝2 3、如图，AB为⊙O的直径，点N是半圆的中点，点C为上一点，NC＝. 求BC－AC的值. 解：如图，连接AN，BN，则△ABN是等腰直角三角形 在BC上截取BD＝AC，连接DN ∵AN＝BN，CAN＝DBN，AC＝BD ∴△ACN≌△BDN（SAS） ∴CN＝DN，CNA＝DNB， ∴CND＝CNA＋AND＝ADN＋DNB＝90，即△CND是等腰直角三角形 ∴CD＝NC＝， ∴BC－AC＝BC－BD＝CD＝ 4、如图，点A、B、C为⊙O上三点，，点M为上一点，CEAM于E， AE＝5，ME＝3，求BM的长. 解：如图，在AM上截取AN＝BM，连接CN，CM. ∵，∴AC＝BC，又A＝B ∴△ACN≌△BCM（SAS） ∴CN＝CM，又CEAM ∴NE＝ME＝3， ∴BM＝AN＝AE－NE＝2 5、如图，在⊙O中，P为的中点，PDCD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1， 求AB的长. 解：如图，连接BP、CP，则BP＝CP，B＝C 过点P作PEAB于点E，又PDCD ∴BEP＝CDP ∴△BEP≌△CDP（AAS） ∴BE＝CD＝3+1＝4，PE＝PD 连接AP，则Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），则AE＝AD＝1 ∴AB＝AE+BE＝5 6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB＝10，MN＝8. 求BF－AE的值. 解：∵AEMN，BFMN，则AE∥BF，∴A＝B 如图，延长EO交BF于点G， 则AOE＝BOG，AO＝BO ∴△AOE≌△BOG（AAS），则OE＝OG 过点O作OHMN，FG＝2OH，HN＝4 连接ON，则ON＝5，OH＝，则BG－AE＝FG＝6. 圆的培优专题4——圆与勾股定理 1、如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦ACBC，点N是的中点，BNC＝， 求 的值. 解：如图，连接AB，则AB为直径，∴BNA＝90 连接AN，则BN＝AN，则△ABN是等腰直角三角形 ∴BN＝AB；又BAC＝BNC＝， ∴BC＝AB， ∴＝ （方法2，过点B作BDCN，即可求解） 2、如图，⊙O的弦ACBD，且AC＝BD，若AD＝，求⊙O半径. 解：如图，作直径AE，连接DE，则ADE＝90 又ACBD，则ADB＋DAC＝ADB＋EDB＝90 ∴DAC＝EDB，则，∴， ∵ AC＝BD，∴，则 ∴AD＝DE，即△ADE是等腰直角三角形 ∴AE＝AD＝4，即⊙O的半径为2 3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且CAD＝， CEAB于点E，DFAB于点F. （1）求证：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC. （1）证：∵ AB为⊙O的直径，CAD＝， 则△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC 又CEAB，则CAE＝ECB 如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G 又CEAB，DFAB，则四边形CEFG是矩形，AEC＝DGC＝90 ∴EF＝CG，CE∥DG，则ECB＝CDG＝CAE ∴△ACE≌△DCG（AAS），则CE＝CG＝EF （2）略解：AC＝CD＝. 4、如图，AB为⊙O的直径，CDAB于点D，CD交AE于点F，. （1）求证：AF＝CF； （2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长 （1）证：如图，延长CD交⊙O于点G，连接AC ∵直径ABCG，则 ∴CAE＝ACG，则AF＝CF （2）解：如图，连接OC交AE于点H，则OCAE，EH＝AH＝AE=4 ∴ OH＝，则CH＝5－3＝2 设HF＝，则CF＝AF＝4－ 则，∴，即HF＝ ∴EF＝ 5、如图，在⊙O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD. （1）求证：AD＝AN； （2）若AB＝，ON＝1，求⊙O的半径. （1）证：∵CDAB，AMBC ∴C＋CNM＝C＋B＝90 ∴B＝CNM， 又B＝D，AND＝CNM ∴D＝AND，即AD＝AN （2） 解：∵直径CD弦AB，则AE＝ 又AN＝AD，则NE＝ED 如图，连接OA，设OE＝，则NE＝ED＝ ∴OA＝OD＝ ∴，则 ∴⊙O的半径OA＝3 圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题 1、在⊙O中，弦ABCD于E，求证：AOD＋BOC＝. 证：如图，连接AC， ∵ABCD，则CAB＋ACD＝90 又AOD＝2ACD，BOC＝2BAC ∴AOD＋BOC＝. 2、在⊙O中，弦ABCD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2. 证：∵ABCD，则CAB＋ACD＝90 如图，作直径AM，连接CM 则ACM＝ACD＋DCM＝90 ∴CAB＝DCM， ∴ ∴， ∴CM＝BD ∵AC2＋CM2＝AM2 ∴AC2＋BD2＝4R2. 3、在⊙O中，弦ABCD于点E，若点M为AC的中点，求证MEBD. 证：如图，连接ME，并延长交BD于点F ∵ABCD，且点M为AC的中点 ∴ME为Rt△AEC斜边上的中线 ∴AM＝ME ∴A＝AEM＝BEF 又B＝C，A＋C＝90 ∴BEF＋B＝90，即BFE＝90 ∴MEBD. 4、在⊙O中，弦ABCD于点E，若ONBD于N，求证：ON＝AC. 证：如图，作直径BF，连接DF， 则DFBD，又ONBD， ∴ON∥FD，又OB＝OF ∴ON＝DF 连接AF，则AFAB，又CDAB ∴AF∥CD ∴，则AC＝FD ∴ON＝AC 5、在⊙O中，弦ABCD于点E，若AC＝BD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求证：MEON； （2）求证：四边形OMEN为菱形. 证：（1）如图，延长ME交OD于点F ∵OMAC，则点M为AC的中点 ∵ ABCD，则ME为Rt△ACE的斜边上中线 ∴AM＝EM， ∴A＝AEM＝BEF 又B＝C，A＋C＝90 ∴B＋BEF＝90，则BFE＝90 ∴MFBD，又ONBD ∴MF∥ON （2）由（1）知MF∥ON，同理可证OM∥NE， ∴四边形OMEN是平行四边形 ∵AC＝BD，∴OM＝ON ∴四边形OMEN为菱形. 圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线 一 圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形 1、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝. 求证：CA＋CB＝CD. 证：如图，在CA的延长线上截取AE＝BC，连DE，AD，BD ∵CD平分ACB，∴AD＝BD 又DAE＝DBC，AE＝BC ∴△DAE≌△DBC（SAS） ∴CD＝DE，又ACD＝45 ∴△CDE是等腰直角三角形，则CA＋CB＝CE＝CD. 2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB＝，求的值. 解：如图，在CA的延长线上截取AE＝BC，连DE，AD，BD ∵CD平分ACB，∴AD＝BD 又DAE＝DBC，AE＝BC ∴△DAE≌△DBC（SAS） ∴CD＝DE，又ACD＝60 ∴△CDE是等边三角形 ∴CD＝CE＝CA＋BC，即＝1 3、如图，过O、M的动圆⊙交轴、轴于点A、B，求OA＋OB的值. 解：如图，过点M作ME轴，MF轴，连AM、BM 由M（1，1）知：四边形OFME是正方形 ∴OE＝OF＝4，EM＝FM，又MBF＝MAE， ∴△AEM≌△BFM（AAS），则AE＝BF ∴OA＋OB＝AE＋OE＋OF－BF＝8. 二 圆中的外角问题往往与线段的差有关 4、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝. 求证：（1）；（2）AC－BC＝PC. 证：（1）如图，连接AP，则PCQ＝PAB 又PCQ＝PCA，则PAB＝PCA ∴ （2）连接BP，由（1）得，PA＝PB 在AC上截取AD＝BC，连PD，又PAD＝PBC ∴△PAD≌△PBC（SAS），则PD＝PC 又PCD＝45，则∴PCD是等腰直角三角形，∴AC－BC＝CD＝PC. 5、如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝. 求的值. 解：如图，在BC上截取BD＝AC，连AP、BP、DP ∵PCB＝PCQ＝PBA ∴AP＝BP，又CAP＝DBP ∴△CAP≌△DBP（SAS），则CP＝DP 又ACB＝120，∴PCD＝30， ∴＝ ＝ 6、如图，A，B，⊙经过A、B、O三点，点 这P为上动点（异于O、A）. 求的值. 解：如图，在BP上截取BC＝AP ∵A，B，则OA＝OB＝4 又OAP＝OBC ∴△OAP≌△OBC（SAS） ∴OC＝OP，且COP＝AOB＝90，则＝ ＝. 圆的培优专题7——与切线有关的角度计算 一 切线与一个圆 答案：1、；2、；3、；4、；5、；6、 1、如图，AD切⊙O于A，BC为直径，若ACB＝，则CAD＝ . 2、如图，AP切⊙O于P，PB过圆心，B在⊙O上，若ABP＝，则APB＝ . 3、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为上一点，若BCA＝，则APB＝ . 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 4、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为上一点， 若BCA＝，则APB＝ . 5、如图，点O是△ABC的内切圆的的圆心，若 BAC＝，则BOC＝ . 6、如图，PA切⊙O于A，若PA＝AB，PD平分 第6题 APB交AB于D，则ADP＝ . （设元，列方程） 二 切线与两个圆 7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC 分别切小圆于D、E，小圆的的度数为， 第7题 第8题 第9题 则大圆的的度数为 . 8、如图，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，若D＝，则C＝ 9、如图，⊙O1和⊙O2外切于D，AB过点D，若AO2D＝，C为优弧上任一点， 则DCB＝ . 答案：7、；8、40；9、（过点D作两圆的切线） 圆的培优专题8——与切线有关的长度计算 1、如图，在⊙O的内接△ACB中，ABC＝，AC的延长线与过点D的切线BD交于 点D，若⊙O的半径为1，BDOC，则CD＝ . （CD＝） 2、如图△ABC内接于⊙O，AB＝BC，过点A的切线与OC的延长线交于D，BAC＝， CD＝，则AD＝ . （AD＝3） 3、如图，⊙O为△BCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A，ACB＝， 第1题 第2题 第3题 第4题 ABC＝，则 的值为 . （＝） 4、如图，AB为⊙O的直径，弦DC交AB于E，过C作⊙O的切线交DB的延长线于M， 若AB＝4，ADC＝，M＝，则CD＝ . （CD＝） 5、如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，ADBD于D，AD交⊙O于E，⊙O 的半径为1，则AE＝ . （AE＝1） 6、如图，△ABC中，C＝，BC＝5，⊙O与ABC的三边相切于D、E、F，若⊙O的 半径为2，则△ABC的周长为 . （C＝30） 7、如图，△ABC中，C＝，AC＝12，BC＝16，点O在AB上，⊙O与BC相切于D， 连接AD，则BD＝ . （示：过D作DEAB，设CD＝DE＝，BD＝10） 第5题 第6题 第7题 解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程. 圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理 1、如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，CDBE于D. （1）判断DC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DC＝3，⊙O的半径为5，求DE的长. 解：（1）DC是⊙O的切线，理由如下： 如图，连接OC，BC，则ABC＝CBD＝OCB ∴OC∥BD，又CDBE ∴OCCD，又OC为⊙O的半径 ∴DC是⊙O的切线 （2）如图，过O作OFBD，则四边形OFDC是矩形，且BE＝EF ∴OF＝CD＝3，DF＝OC＝5， ∴EF＝BF＝，∴DE＝DF－EF＝1 2、如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，⊙O的切线 BF交AD的延长线于点F. （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE＝3，⊙O的半径为5，求DF的长. （1）证：显然，CAD＝OAD＝ODA ∴OD∥AE，又DEAC， ∴ODDE，又OD为⊙O半径 ∴DE为⊙O的切线 （2）解：如图，过点O作OGAC，则OGDE是矩形，即OG＝DE＝3，DE＝OD＝5 ∴AG＝，则AE＝5＋4＝9，∴ 连接BD，则BDAD，∴BD＝ 设DF＝，则＝BF＝，∴DF＝. 3、 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD于E，DA平分BDE. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AE＝2，DE＝1，求CD的长. （1）证：如图，连接OA，则ADE＝ADO＝OAD ∴OA∥CD，又AECD ∴OAAE，又OA为⊙O的半径 ∴AE是⊙O的切线 （2）解：如图，过点O作OFCD，则CD＝2DF，且四边形OFEA是矩形 ∴EF＝OA＝OD，OF＝AE＝2 设DF＝，则OD＝EF＝ ∴，∴ ∴CD＝2CF＝ 4、如图，AE是⊙O的直径，DF切⊙O于B，ADDF于D，EFDF于F. （1）求证：EF＋AD＝AE； （2）若EF＝1，DF＝4，求四边形ADFE的周长. （1）证：如图，连接CE，则四边形CDFE是矩形 连接OB交CE于点G， ∵DF是⊙O的切线 ∴OBDF，OBCE ∴BG＝CD＝EF，OG∥AC，又AO＝OE ∴AC＝2OG ∴EF＋AD＝AC＋CD＋EF＝2OG＋2BG＝2OB＝AE. （2）解：显然CE＝DF＝4，CD＝EF＝1 设AC＝，则AD＝，AE＝ ∴，则，则AC＝3，AD＝4，AE＝5 ∴四边形CDFE的周长为14. 圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理 1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC， AC＝OB. （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若ACD＝，OC＝2，求弦CD的长. （1）证：∵OC＝OB， ∴AC为OAB的OB边上的中线，又AC＝OB ∴△OAB是直角三角形，且OAB＝90，又OA为⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线 （2）解：显然，OA＝OC＝AC，即△OAC是等边三角形 ∴AOC＝60，∴D＝30 如图，过点A作AECD于点E， ∵ACD＝45，∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AE＝CE＝AC＝OC＝，DE＝AE＝ ∴CD＝ 2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP于N. （1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O的半径，PA＝9，求OM的长. （1）证：如图，连接OA，∵PA为⊙O的切线， ∴OAAP，又MNAP ∴OA∥MN，又OMAP， ∴四边形OANM是矩形，即OM＝AN （2）解：如图，连接OB，∵PB、PA为⊙O的切线 ∴OBM＝MNP＝90，PB＝PA＝9 ∵OMAP，∴OMB＝P，又OB＝OA＝MN，∴△OBM≌△MNP（AAS） ∴OM＝PM，则32＋OM2＝（9－OM）2，∴OM＝5 3、如图，AB为⊙O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线， E为切点，连接CE交AB于F. （1）求证：DE＝DF；（2）连接AE，若OF＝1，BF＝3，求DE的长. （1）证：如图，连接OE ∵PE为⊙O的切线， ∴OEDE，又OCAB ∴C＋CFO＝OEF＋DEF＝90 又C＝OCF，CFO＝DFE ∴DEF＝DFE，∴DE＝DF （2）解：显然，OE＝OB＝OF＋BF＝4 设BD＝，则DE＝DF＝，OD＝ ∴，∴ ∴DE＝7.5 4、如图，正方形ABCO的顶点分别在轴、轴上，以AB为弦的⊙M与轴相切于F， 已知A，求圆心M的坐标. 解：如图，连接FM交延长交AB于点E ∵⊙M与轴相切，即OC是⊙M的切线 ∴EFOC， 又四边形ABCO是正方形 ∴EFAB， 又A（0，8）即AB＝EM＝OA＝8 ∴ AE＝4 设MF＝AM＝，则EM＝8－ ∴，∴，即MF＝5 ∴点M的坐标为（－4，5） 圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形 1、如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC 的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长. （1）证：如图，连接AB ∵BD为⊙O的直径，DF为⊙O的切线 ∴BAD＝BDF＝90 ∴ABC＋AEB＝ADB＋FDE＝90 又ABC＝ADB，AEB＝DEF ∴DFE＝DEF，∴DE＝EF （2）解：如图，过点F作FGED，则EG＝GD＝2＝AE， 又BAE＝FGE＝90，AEB＝GEF， ∴△ABE≌△GFE（ASA）， ∴BE＝EF，即DE为R△BDF的斜边上中线 ∴DF＝EF＝DE＝4，BF＝8，则BD＝ 2、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O的一点，OCAD，CFDB于F. （1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若BF＝1，DB＝3，求⊙O的半径. （1）证：∵AB为⊙O的直径 ∴DFAD，又OCAD ∴OC∥DF，又CFDB ∴OCCF，又OC为⊙O的半径 ∴CF为⊙O的切线 （2）解：如图，过点C作CEBD于点E， 则BE＝DE＝1.5，EF＝2.5 又OCCF，CFEF ∴四边形OCFE是矩形 ∴⊙O有半径OC＝EF＝2.5 3、如图，以⊙O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC＝OD； （2）过D作DM切⊙O于M，若AB＝2，DM＝，求⊙O的半径. （1）证：如图，连接OA、OB，则OA＝OB ∴OAB＝OBA ∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝BC，DAB＝CBA＝90 ∴OAD＝OBC ∴△OAD≌△OBC（SAS） ∴OC＝OD （2）解：如图，连接OM、BD，则OMDM，且BD＝AB＝＝DM 又OM＝OB，OD＝OD，△ODM≌△ODB（SSS） ∴OBBD，又ABD＝45 ∴OAB＝45，即△OAB是等腰直角三角形 ∴OA＝AB＝ 4、如图，在△ABC中，AC＝BC，ACB＝，以BC为直径的⊙O交AB于D. （1）求证：AD＝BD；（2）弦CE交BD于M，若，求 . （1）略证：连接CD，则CDAB 又AC＝BC，ACB＝，∴AD＝BD （2）解：如图，连接BE，过A作ANCE于N， ∵，∴ ∴AN＝2BE ∵CAN＝BCE，AC＝BC，ANC＝CEB ∴△ANC≌△CEB（AAS） ∴BE＝CN，CE＝AN 设CN＝BE＝，则CE＝AN＝BE＝， ∴BC＝，∴AB＝BC＝，即BD＝ ∴ ＝. 圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形 1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D，与边AC交于E， 过D作DFAC于F. （1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE＝，AB＝5，求AE的长. （1）证：如图，连接AD，OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴ADBC，又AB＝AC，OA＝OB ∴EAD＝DAB＝ADO ∴OD∥AC，又DFAC ∴ODDF，又OD为⊙O的直径 ∴DF为⊙O的切线 （2）解：∵EAD＝DAB，∴BD＝DE＝，又AB＝5，∴AD＝ ∵DFAC＝ADCD，∴DF＝2，CF＝EF＝，∴AE＝5－2＝3 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于D，过D作DEAE. （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OC，若CAB＝，求 的值. （1）证：如图，连接AD，OD，则ADBC 又AB＝AC，∴CD＝BD，又AO＝OB ∴OD∥AC，又DEAE ∴ODDF，∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，过点O作OFBD于F，则BD＝2BF ∵AB＝AC，CAB＝，∴B＝30 设OF＝，则BF＝，OB＝， ∴AC＝AB＝，CD＝BD＝，则CF＝ 由勾股定理，得OC＝，由面积法，得DE＝，∴＝. 3、如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别交BC于D、AB于E，DFAC. （1）证：DF为⊙O的切线；（2）若AC切⊙O于G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC. （1）证：如图，连接OD，∵ AB＝AC，OB＝OD ∴B＝C＝ODB ∴OD∥AC，又DFAC ∴ODDF，又OD为⊙O的半径 ∴DF为⊙O的切线 （2）解：如图，连接OG，∵AC为⊙O的切线 ∴OGAC，又ODDF，DFAC，OG＝OD ∴四边形ODFG是正方形，即OB＝OG＝GF＝3 设AG＝，则AB＝AC＝，则AO＝ ∴，∴，则AC＝8 4、如图，CD是⊙O的弦，A为的中点，E为CD延长线上一点，EG切⊙O于G. （1）求证：KG＝GE；（2）若ACEG，＝ ，AK＝，求⊙O的半径. （1）证：如图，连接OG，OA交CD于点F ∵A为的中点，EG是⊙O的切线 ∴OACD，OGGE ∴OAG＋AKF＝OGA＋EGK 又OAG＝OGA，AKF＝EKG ∴EGK＝EKG ∴KG＝GE （2）解：∵AC∥EG，∴CAK＝EGK，又EGK＝EKG＝CKA ∴CAK＝CKA，∴CA＝CK 设CK＝CA＝，则DK＝，∴CD＝，CF＝，EG＝ ∴AF＝ 在Rt△AFK中，，∴ ∴CE＝8，AE＝6， 设⊙O的半径为R，则R2＝82＋（R－6）2，∴R＝ 圆的培优专题13——圆与三角形的内心 1、如图，AB是⊙O的直径，，点M为BC上一点，且CM＝AC. （1）求证：M为△ABE的内心；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求△BEM的面积. （1）证：如图，连接CE，则AC＝CE＝CM ∴CME＝CEM，CEA＝CBE ∴CBE＋BEM＝CEA＋AEM ∴AEM＝BEM，又ABC＝CBE ∴点M为△ABE的内心. （2）解：如图，过点M作MNBE于点N，则MN为△ABE的内切圆的半径. ∵AB＝10，AE＝8，则BE＝ ∴MN＝， ★★ MN＝＝＝2 ∴BME的面积为62＝6. 2、如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分BAC点M是△ABC的内心. （1）求证：BC＝DM；（2）若DM＝，AB＝8，求OM的长. （1）证：如图，连接BD，CD， ∵BC为直径，AD平分BAC ∴BD＝CD，BDC＝90， ∴BC＝CD 连接CM，则ACM＝BCM，DAC＝BCD ∴DMC＝ACM＋DAC＝BCM＋BCD＝DCM， ∴DM＝CD，即BC＝DM （2） 解：显然，BC＝DM＝