圆锥曲线综合练习提高及其答案解析.doc

圆锥曲线综合练习例1、椭圆内有一点P（1，1），一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2的方程。 （2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。 2.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆与直线交于A、B两点，且，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为，求该椭圆的方程。（）变式2、斜率为1的直线与双曲线相交于A、B两点，又AB中点的横坐标为1。（1） 求直线的方程（2）求线段AB的长 （1）y=x+1 (2)AB=变式3、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C相交于A、B两点。（1）若（2）求|AB|的最小值变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B. （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围。例2、已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.()求椭圆的方程; ()当AMN得面积为时,求的值.解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为. (2)由得. 设点M,N的坐标分别为,则,. 所以|MN|=. 由因为点A(2,0)到直线的距离, 所以AMN的面积为. 由,解得. 变式1、已知分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的上顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.()求椭圆的离心率; ()已知面积为40,求 的值【解析】(I) ()设;则 在中, 来源:学|科|网Z|X|X|K面积变式2、已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由解、（）如图，设，把代入得，xAy112MNBO由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知轴，又 ，解得即存在，使例3、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。 (1) 求双曲线C的方程； (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为例4、已知椭圆,点在椭圆上.(I)求椭圆的离心率.(II)设为椭圆的右顶点,为坐标原点,若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值. 解:因为点在椭圆上,故,于是,所以椭圆的离心率 (2)设直线的斜率为,则其方程为,设点的坐标为 变式1、已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,求直线的方程. 变式2、在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.()求椭圆的方程;()设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.解析:()由左焦点可知,点在上,所以,即,所以,于是椭圆的方程为. ()显然直线的斜率存在,假设其方程为. 联立,消去,可得,由可得.联立,消去,可得,由可得.由,解得或,所以直线方程为或. 变式3、设点的轨迹为曲线，直线与曲线交于、两点.（1） 求出的方程；（2）若=1，求的面积；（3）若，求实数的值。解（1） （2）由故 （3）设由又 代入得： 例5、如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. （1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时, 求PAB面积的最大值. 解(1) 解方程组 得 或 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24).点P到直线OQ的距离d=,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 当x=8时, OPQ的面积取到最大值30变式1、已知直线L与抛物线=x相交于A（）、B（）两点，若yy=-1(1) 求证：直线L过定点M，并求点M的坐标。（0，-1）（2）求证：OAOB。（3）求AoB的面积的最小值.变式2、已知抛物线y=2px(p0).过动点M（a,0)且斜率为1直线L与该抛物线交于A、B两点，又iABi2P.(1)求a的取值范围。（-，（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。（2p) 解析：（）直线的方程为，将，得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 又， ， 解得 （）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得， 又 为等腰直角三角形， ， 即面积最大值为变式3、如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A、B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求p,t的值。（2）求ABP面积的最大值。解（1）由题意得，得.（2）设，线段AB的中点坐标为由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.由，得，得所以直线的方程为，即.由，整理得，所以，.从而得，设点P到直线AB的距离为d，则，设ABP的面积为S，则.由，得.令，则.设，则.由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.变式4、已知三点,曲线上任意一点满足。(1)求曲线的方程;(2)点是曲线上动点,曲线在点处的切线为,点的坐标是与分别交于点,求与的面积之比。【解析】(1), 代入式子可得整理得 例6、如图，已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点，过椭圆外一点 且倾斜角为的直线交椭圆于两点（I）求椭圆的方程；（）若求的值解析：如图，已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点，过椭圆外一点 且倾斜角为的直线交椭圆于两点（I）求椭圆的方程；（若求的值来源:Zx解：（I）圆经过点F，B，F（2,0），B（0）， 故椭圆的方程为 5分（）由题意得直线的方程为由由解得又 8分设则来源:学科网ZXXK 10分 解得变式1、已知直线L：xmy1过椭圆C：1(ab0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线L交y轴于点M，且1，2，当m变化时，求12的值解析：(1)易知b，得b23.又F(1,0)，c1，a2b2c24，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)0，于是.(*)L与y轴交于点M，又由1，1(1x1，y1)，11.同理21.从而1222.即12.例7、设G、M分别为ABC的重心与外心，A(0，1)，B(0,1)，且(R)(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|，试求k的取值范围解析：(1)设C(x，y)，则G.，(R)，GMAB.点M是三角形的外心，M点在x轴上，即M.又|， ，整理，得y21，(x0)，即为曲线C的方程(2)当k0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|.当k0时，可设l的方程为ykxm，联立方程组消去y，整理，得(13k2)x26kmx3(m21)0.(*)直线l和椭圆C交于不同两点，(6km)24(13k2)(m21)0，即13k2m20.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，于是有x1x2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0，y0kx0m，即N，又|，kkANk1，m.将m代入(*)式，得13k220(k0)，即k21，得k(1,0)(0,1)综合得，k的取值范围是(1,1)综上所述，的取值范围是94，94变式1、已知动点P与双曲线x21的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|的最大值为9.来源:Zxxk.Com(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，2)满足，求实数的取值范围解析：(1)双曲线x21的两焦点F1(2,0)、F2(2,0)设已知定值为2a，则|2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆设椭圆方程为1(ab0)|2a2，当且仅当|时等号成立，a29，b2a2c25，动点P的轨迹E的方程是1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由， 得且M、A、B三点共线，设直线为l，当直线l的斜率存在时，设l：ykx2，由得(59k2)x236kx90，(36k)24(59k2)(9)0恒成立由韦达定理，得将x1x2代入，消去x2得.当k0时，得1；当k0时，由k20，得016，得9494，且1.当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时94.例8、如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上.(1)求抛物线的方程;(2)设动直线与抛物线相切于点,与直线相较于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.方法2：由得，由 Q(,-1) 设M(0,),=0 -+=0,又,联立解得=1 故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1) 变式1、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1） 求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.解：（1）原点到直线AB：的距离 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则故所求k=.变式2、已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得， 2分所以，4分故，所以椭圆的方程为 6分（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即， 8分又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即，也就是， 11分令，可得或2，故圆必过定点和 13分（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）（3）将代入，得（*）记，PQ为直径的圆过，则，即，又，得14分解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件16分例9、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，交E于A，B两点，交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N。1）求椭圆E的方程； （2）求k的取值范围；（3）求证直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为 由是直角三角形且,故,从而,即,结合,所以椭圆的离心率,在中, 故,由题设条件,从而,因此所求椭圆的标准方程为. (2)由(1)可知,由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线,代入椭圆的方程可得(*) 设 则 是上面方程的两根,因此 又,所以 由 ,知 ,即 ,解得 当 时,方程(*)化为: 故 , 的面积 当 时,同理可得(或由对称性可得) 的面积 综上所述, 的面积为 . 变式1、已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形（I）求椭圆的方程；（）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于不同两点P、Q，若在轴上存在定点E（，0），使恒为定值，求的值解：（I）由题意知 = ，（2分） ， =1椭圆的方程为=1 （II）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为 消去得 设则由韦达定理得 则= 要使上式为定值须，解得 为定值变式2、已知点是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹对应的方程；（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.【解】（1）设 ）