函数单调性奇偶性周期性与对称性.doc

\ 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性 一． 主要内容： 函数单调性、奇偶性、周期性与对称性 二． 重点难点： 1. 在定义域内讨论函数单调性，并会求单调区间。 2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。 3. 求周期函数周期，利用函数周期性、对称性，求某一点处函数值，求函数解析式或讨论函数其它性质。 三． 具体知识： (一) .单调性： 1. 在定义域范围内，单调区间可开可闭。 2. 单调区间是定义域的子区间。 3. 一个函数的两个区间都是增区间（或都是减区间），不能将它们写成并集，要画图考虑。 4. 证明一个函数的单调性，在大题中，只能用定义法和倒数法。 （但在小题中可以用“增+增=增；减+减=减”） 5. 只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。（开根号等不影响其单调性） 6. 复合函数： 内外层函数：同增异减 函数相加：增+增=增；减+减=减 “同增异减法则”： 对于复合函数y=f[g(x)]，若t=g(x)在区间（a,b）上是单调增（减）函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))（或者g(b)，g(a)）上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间（a,b）上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域。 例： 7. 利用奇偶性求单调性：奇函数在对称区间上，单调性相同。 偶函数在对称区间上，单调性相反。 例： 【典型例题】 例1. 增函数还是减函数，并加以证明。 例2. 例3. (二) 奇偶性： 奇*奇=偶 奇+奇=奇 偶*偶=偶 偶+偶=偶 奇*偶=奇 奇+偶=非奇非偶 奇函数： 偶函数： 【典型例题】 例1. 判断下列函数的奇偶性： (三) 周期性： 关于函数的周期性，下面结论是成立的： （1）若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是f(x)的周期（k为非零整数），这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个。在所有的周期中，如果存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做函数的最小正周期。 期，其中ω≠0。据此，我们经常通过一些基本初等函数的周期，求出相应的复合型函数的周期。 例1 （1）求证：f(x)是周期函数，并确定其周期。 （2）求当1≤x≤2，求f(x)的解析式。 (四) 对称性： 关于对称性，这里只讨论一类函数图象的轴对称问题：设a，b均为常数，若函数f(x) 特殊的，当a=b时，函数f(x)的图象关于直线x=a对称，这是比较常见的情形。 更特殊的，当a=b=0时，f(x)满足f(-x)=f(x)恒成立，其图象关于直线x=0（即纵轴）对称，这正是偶函数的重要性质。 【模拟试题】 1. 在区间上不是增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是x的增函数，则a的取值范围是（ ） A. （0，2） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，） 3. 已知函数在区间上是具有单调性，且，则方程在区间上（ ） A. 至少有一个实根 B. 至多有一个实根 C. 没有实根 D. 必有惟一的实根 4. 设是定义在R上的任意一个增函数，，那么必为（ ） A. 增函数且是奇函数 B. 增函数且是偶函数 C. 减函数且是奇函数 D. 减函数且是偶函数 5. 函数当时，则此函数的单调区间是（ ） A. B. C. D. 6. 如果奇函数在区间［3，7］上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ） A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 7. 设是R上的奇函数，且当时，，那么当时，（ ） A. B. C. D. 8. 若在上是奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 设是上的奇函数，即：，当时，，则等于（ ） A. 0.5 B. C. 1.5 D. 10. 设函数在（0，2）上是增函数，函数是偶函数，则、的大小关系是_____________。 11. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是_____________。 12. 设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，则时，_____________。 13. 已知偶函数在［0，2］内单调递减，若，，则a、b、c之间的大小关系是_____________。 14. 设，试讨论的增减性。 15. 已知单调函数满足且，定义域为R。 （1）求证：为奇函数； （2）若满足对任意实数x，恒成立，求k取值范围。