函数的概念与表示法.doc

\ 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（ ） ① A={x x∈Z}，B={y y∈Z}，对应法则f：x→y=; ② A={x x>0,x∈R}, B={y y∈R}，对应法则f：x→=3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f：x→y=; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） y y y y O O O O X X X X ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y是x的函数的有（ ） ①=2 ② ③y= A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 变式3. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点 C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点 变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…(　　) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同 ③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x相同（ ） ①. y= ②. ③. ④.y=t ⑤.；⑥. 变式1.下列函数中哪个与函数相同（ ） A. B. C. D. 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. （x≠0） 与 （x≠0） D. ，x∈Z 与，x∈Z 变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ （1） （2） （3） 考点三：求函数的定义域 （1）当f（x）是整式时，定义域为R； （2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合； （3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合； （4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合； （5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合； 已学函数的定义域和值域 1．一次函数:定义域R, 值域R; 2．反比例函:定义域, 值域; 3．二次函数:定义域R 值域：当时，；当时， 例3. ①函数的定义域是（ ） A. B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) ②函数y＝＋的定义域是(用区间表示)________． 变式1. 求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3). (4) (5)y＝x＋；　 (6)y＝； (7)y＝＋(x－1)0. 求复合函数的定义域 例5. 已知函数f（）定义域为, 求f（x）的定义域 变式1. 已知函数f（）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域 变式2. 已经函数f（x）定义域为[ 0 , 4], 求f的定义域 考点四：求函数的值域 例6．求下列函数的值域 ① ， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 ) ② ，x∈ ( 配方法 ：形如 ) ② ( 换元法：形如 ) ④ ( 分离常数法：形如 ) ④ ( 判别式法：形如 ) 变式1. 求下列函数的值域 ① ② ② ④ ⑤ y = ⑥ 考点五：求函数的解析式 例7 . 已知f（x）= ，求f（）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ） 变式1. 已知f（x）= ， 求f（）的解析式 变式2. 已知f（x+1）= ，求f（x）的解析式 变式3. 已知，试求的解析式. 例8. 若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式 （ 待定系数法 ） 变式1. 已知f（x）是二次函数，且，求f（x）. 变式2.一次函数满足，求该函数的解析式. 变式3．已知多项式，，且.试求、的值. 变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式. 变式5．已知二次函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x）， 且f（0）＝3，求f（x）的解析式. 变式6.已知函数f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）. 例9. 已知f（x）2 f（x）= x ，求函数f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ） 变式1. 已知2 f（x） f（x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式 变式2. 已知2 f（x）f = 3x ，求函数f（x）的解析式 例10. 设对任意数x，y均有，求f（x）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法） 变式1. 已知对一切x，y∈R，都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式. 考点六：函数的求值 例11. 已经函数f（x）= ，求f（2）和f（a）+f (a)的值 变式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值 例12. 已知函数，求f（1）+f（）的值 变式1. 已知函数 ，求f [f（）]的值 变式2. 已知函数，求f（5）的值 例13 . 设函数，求满足f（x）=的x值 变式1. 已知函数，若f（x）=2，求x的值 考点七：映射 例1．判断下列对应是否是映射？ 变式1.下列各组映射是否是同一映射？ 变式2.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ （1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 （2）设，对应法则 （3），， （4）设 （5）， 考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法 例1某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像. 例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0＜x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像. 例3 画出函数y=|x|=的图象. 例4求下列函数的最大值、最小值与值域. ①； ③ ； ③； ④ 函数的单调性与最值 增函数与减函数 单调性与单调区间 例1 如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例2 证明函数在R上是增函数. 例3 证明函数在(0,+)上是减函数. 练习1．函数y=x2+x+2单调减区间是( ) A、 B、（-1，+∞） C、 　D、（-∞，+∞） 2．下面说法正确的选项 （　　　） A．函数的单调区间可以是函数的定义域 B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 3．函数f(x)=2x2－mx+3,当x∈时,增函数,当x∈时,是减函数, 则f（1）等于（　　） A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的其它常数 4.如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（　　　） A．a≥－3　　　　B．a≤－3 C．a≤5　　　　　D．a≥3 5. 函数在实数集上是增函数，则 （ 　） A． B． C． 　　　D． ６. 已知函数 求: (1) 当时， 函数的最值;　 (2) 当时， 函数的最值． 函数的奇偶性 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 偶函数： 奇函数： 例1．判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） 例2．判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 例3．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明：在（－∞，0）上也是增函数． 练习1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由． ① ② 2．设＞0时，，试问：当＜0时，的表达式是什么？ 学案（6）反函数（一）（选讲） 复习 观图回答： A B a b A B b a 的意义是什么？ 新课 1．试求函数的值域. (提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法) 2．反函数的定义： 试利用定义填写下表： 函数 反函数 定义域 A 值 域 B 3.试讨论原函数与其反函数的图象关系： 4．试求(1)y=2x+1 (2)y=2x+1的反函数,并对比有何不同. 5．求解反函数的步骤: 例 求下列函数的反函数 (1) (2) (3) (4) 练习 1.已知函数，那么它的反函数为( ) A、 B、 C、 D、 2.函数的反函数是( ) A、 B、 C、 D、 3.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ） A、 B、 C、 D、 4.若函数，则的值为（ ） A、 B、 C、15 D、 5.函数的反函数为，求,b,c的值 6.已知，求f(x) 学案（7）反函数（二）（选讲） 目标： 1．了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明； 2．会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 复习： 1．反函数的定义： 2．互为反函数的两个函数与间的关系： 函数 反函数 定义域 A B 值 域 B A 3．反函数的求法：一反解、二互换、三标明； 4. 原函数与其反函数的图象关于y=x 对称. 新课： 例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象. 例2．求函数的值域. 例3 已知= (x＜-1)，求 . 例4若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求,b的值. 例5若，试求反函数. 练习： 1．求下列函数的反函数： （1）； （2）y=-6x+12(x≤3); （3）y=(x≤-2). 2. 已知函数y=x+2的反函数是y=3x+b，求,b的值. 3.函数f(x)是否有反函数？ ；当时，反函数为 ，定义域为 ；当时，反函数为 ，定义域为 。 4.设f(x)的反函数为，，则 ，f(3)= 5.若点(1,2)既在函数的图象上，又在函数f(x)的反函数的图象上，则= ,b= 6. f(x)在上为递增函数，则与的大小关系是 解答题 7.函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x) 学案（8）函数图象变换 目标 根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）. 新课 1.根据所给定义域，画出函数的图象,并确定其最值. （1） （2） （ 3 ）且xZ 2.函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的. 练习 1．已知二次函数y＝x2＋4x＋1，不求值比较f（－3）和f（5）的大小关系． 2．方程x2－2x＋4＝0的两根均大于1，求实数的取值范围． 3．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋(＞0)，若f(m)＜0，则f(m＋1)的值是（　　） 　 （A）正数　 （B）负数　　（C）零　　（D）符号与有关 4．不等式（－2）x2＋2（－2）x－4＜0对xR恒成立，则的取值范围是________． 5．已知二次函数y＝x2＋（3＋6）x＋2是偶函数，则的取值范围是_______． 6．二次函数y＝x2＋bx＋c满足f（4）＝f（1），那么　（　　） 　　　（A）f（2）＞f（3） 　（B）f（2）＜f（3） 　　　（C）f（2）＝f（3）　 （D）f（2）与f（3）的大小关系不能确定 7．已知二次函数y＝2x2＋4（－3）x＋5在区间（－∞，3）上是减函数，则的取值范围是_______． 8．若二次函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[，－4]，则m的取值范围是（　　） 　 （A）[0，4]　（B）[，4]　（C）[，3]　　（D）[，＋∞] 9．设二次函数y＝x2＋bx＋c，对任意的实数t都有f（2＋t）＝f（2—t）成立，在函数值f（2）、f（1）、f（－1）、f（5）中，最小的一个不可能是（　　） 　　（A）f（2） 　（B）f（1）　　（C）f（－1）　　（D）f（5） 10．已知函数y＝x＋b和y＝x2＋bx＋c，那么它们的图象是（　　） （A） 　（B）　 　（C）　 　（D） 函数的应用 例1如图，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点.若点P运动的路程为x，点P到顶点A的距离为y.求A、P 两点间的距离y与点P的路程式 x之间的函数关系式. P B A D P C P A B C N M D Q P 例2在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ。 设矩形的面积为S，MN=x ，写出S与此同时x之间的 函数关系式，并求其定义域和值域。 例3 某房地产公司要在荒地ABCD（如图）上划出一块长方形的地面修建一座公寓楼。问如何设计才能使公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积。 G 100m 60m B A N E D C 70m 80m M 练习 1．有一块梯形木板，上、下底长分别为2m、3m，高为2.5m，应当如何安排与底边平行的锯线,才能使锯下的矩形木条的面积最大？这个最大面积是多少？ 2.已知等腰梯形的周长是60cm，腰与下底的夹角为60，一腰长为x，写出梯形面积y与x的函数关系，并求当x取何值时，梯形面积最大，最大值为多少？ 3．某旅行社组织到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿、门票等费用共需3200元，如果把每人的收费标准定为4600元，只有20人参加旅游团.高于4600元，没有人参加。如果每人收费标准从4600元每降低100元，参加旅游团人数就增加10人。试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获利润最大？此时参加旅游团的人数是多少？