2022年高中数学三角函数专题复习内附类型题以及历年高考真题... .pdf

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1、三角函数知识点与常见习题类型解法1.任意角的三角函数：（1）弧长公式：RalR为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。（2）扇形的面积公式：lRS21R为圆弧的半径，l为弧长。（3）同角三角函数关系式：倒数关系：1cottanaa商数关系：aaacossintan，aaasincoscot平方关系：1cossin22aa（4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限k/2+a所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性x函 数xsinxcosxtanxcotaasinacosatanacota2asinacosatanacota2acosasinacotatan2.两角和与差的三角函数：1两角和与差公式：sins

2、incoscos)cos(aasincoscossin)sin(aaatantan1tantan)(tanaaaa注：公式的逆用或者变形2二倍角公式：aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos1cos2aa，22cos1sin2aa3半角公式可由降幂公式推导出：2cos12sinaa，2cos12cosaa，aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan3.三角函数的图像和性质：其中zk三角函数xysinxycosxytan定义域- ， +- ， +2

3、kx值域-1,1 -1,1 - ， +最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页单调性22 ,22kk单调递增232 ,22kk单调递减2,) 12(kk单调递增) 12( ,2(kk单调递减)2,2(kk单调递增对称性2kx)0 ,(kkx)0 ,2(k)0 ,2(k零值点kx2kxkx最值点2kx1maxy2kx1minykx2，1maxy；)12( kx，1miny无4.函数)sin(xAy的图像与性质：本节知识考察一般能化成形如)sin(xAy图像及性质（1）函数)sin(xAy和)

4、cos( xAy的周期都是2T（2）函数)tan( xAy和)cot(xAy的周期都是T（3）五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取 0、2、23、2来求相应x的值以及对应的 y 值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。附上函数平移伸缩变换 : 函数的平移变换：)0)()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左右平移a个单位左加右减)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上下平移b个单位上加下减函数的伸缩变换：)0)()(wwxfyxfy将)(

5、xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍1w缩短，10w伸长)0)()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍1A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页伸长，10A缩短函数的对称变换：)()(xfyxfy) 将)(xfy图像绕y轴翻折 180整体翻折对三角函数来说：图像关于x轴对称)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折 180整体翻折对三角函数来说：图像关于y轴对称)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留， 并把右侧图像绕y轴翻折到左侧 偶函数局部翻折)()(xfyxf

6、y保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去局部翻动5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。1常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanx cotx=tan45 等。2项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角： =+，=22等。3降次与升次。 4化弦切法。4引入辅助角。asin +bcos=22basin( +) ，这里辅助角所在象限由a、b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。类题：1已知 tanx=2，求 sinx，cosx 的值解： 因为2cossintanxxx，又 s

7、in2xcos2x=1，联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值解： 原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页3假设, 2cossinc

8、ossinxxxx，求 sinxcosx 的值解： 法一：因为,2cossincossinxxxx所以 sinx cosx=2(sinxcosx)，得到 sinx=3cosx，又 sin2xcos2x=1，联立方程组，解得，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为, 2cossincossinxxxx所以 sinx cosx=2(sinxcosx)，所以 (sinx cosx)2=4(sinxcosx)2，所以 12sinxcosx=48sinxcosx，所以有103cossinxx4求证： tan2x sin2x=tan2xsi

9、n2x证明： 法一：右边tan2xsin2x=tan2x(tan2x cos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2x sin2x，问题得证法二：左边 =tan2x sin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2x cos2x=tan2xsin2x，问题得证5求函数)62sin(2xy在区间 0，2上的值域解： 因为 0 x2 ，所以,67626,20 xx由正弦函数的图象，得到,1,21)62sin(x所以 y1，26求以下函数的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)解： (1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(co

10、s2xcosx)3，令 t=cosx，则,413)21(413)21(3)(,1 , 1222ttttyt利用二次函数的图象得到.413, 1 y(2)y2sinxcosx (sinxcosx)=(sin xcosx)21(sinxcosx)，令 t=sinxcosx2，)4sin( x，则2,2t则，, 12tty利用二次函数的图象得到.21 ,45y7假设函数 y=Asin(x + )( 0， 0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与 x 轴交于 (6，0)，求这个函数的一个解析式解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 x 轴交点

11、的间隔是41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页个周期，这样求得44T，T=16，所以8又由)28sin(22，得到可以取).48sin(2.4xy8已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求 f(x)的最小正周期；()假设,2,0 x求 f(x)的最大值、最小值数xxycos3sin1的值域解： ()因为 f(x)=cos4x 2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x )42sin(2)24sin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxx

12、xxxx所以最小正周期为 ()假设2,0 x， 则43,4)42( x， 所以当 x=0 时， f(x)取最大值为; 1)4sin(2当83x时，f(x)取最小值为.21 已知2tan，求 1sincossincos； 222cos2cos.sinsin的值 . 解： 12232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos； (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222. 说明：利用齐次式的结构特点如果不具备，通过构造的方法得到，进行弦、切互化，就会使解题过程简

13、化。2 求函数21sincos(sincos )yxxxx的值域。解：设sincos2 sin()224txxx，则原函数可化为22131()24yttt，因为22t，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3324y，。3已知函数2( )4sin2sin 22fxxxxR，。1求( )fx的最小正周期、( )f x的最大值及此时x 的集合；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页2证明：函数( )f x的图像关于直线8x对称。解：22( )4sin2sin 222sin2(12sin)f

14、xxxxx2sin 22cos22 2 sin(2)4xxx(1)所以( )f x的最小正周期T，因为xR，所以，当2242xk，即38xk时，( )f x最大值为2 2；(2) 证 明 ： 欲 证 明 函 数( )f x的 图 像 关 于 直 线8x对 称 ， 只 要 证 明 对 任 意xR， 有()()88fxfx成立，因为()2 2 sin2()22 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，()2 2 sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数( )f x的图像关于直线8x对称。4 已知函数y=21cos2x+2

15、3sinx cosx+1 xR, 1当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；2该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解： 1 y=21cos2x+23sinx cosx+1=41 (2cos2x 1)+ 41+432sinx cosx +1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x sin6+sin2x cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时，只需2x+6=2+2k, kZ ，即 x=6+k , kZ 。所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,k Z 2将函数y=sinx 依次进行如下变换：

16、i 把函数y=sinx 的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6) 的图像；ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变 ，得到函数 y=sin(2x+6) 的图像；iii把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍横坐标不变 ，得到函数y=21sin(2x+6) 的图像；iv 把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。历年高考综合题一，选择题1. 08 全国一 6

17、2(sincos )1yxx是A最小正周期为2的偶函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数2. 08 全国一 9为得到函数cos3yx的图象，只需将函数sinyx的图像A向左平移6个长度单位B向右平移6个长度单位C向左平移56个长度单位D向右平移56个长度单位3.(08全国二 1) 假设sin0且tan0是，则是A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角4. 08 全国二 10 函数xxxfcossin)(的最大值为A1 B2 C3 D2 5. 08 安徽卷 8函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是A6xB12xC6xD12x6. 08 福建卷

18、 7函数y=cosx(x R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x) 的图象，则g(x) 的解析式为 ( ) A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7. 08 广东卷 5已知函数2( )(1cos2 )sin,f xxx xR，则( )f x是A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数8. 08 海南卷 11函数( )cos22sinf xxx的最小值和最大值分别为A. 3， 1 B. 2，2 C. 3，32D. 2，329. 08 湖北卷 7将函数sin()yx的图象F向右平移3个单位长度得到图象F，假

19、设F的一条对称轴是直线,1x则的一个可能取值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页 A.512 B.512 C.1112 D.111210. 08 江西卷 6函数sin( )sin2sin2xf xxx是A以4为周期的偶函数 B以2为周期的奇函数C以2为周期的偶函数 D以4为周期的奇函数11. 假设动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为A1 B2C3D2 12. 08 山东卷 10已知4cossin365，则7sin6的值是A2 35B2 35 C45D4

20、513. 08 陕西卷 1sin330等于A32 B12 C12 D3214. 08 四川卷 42tancotcosxxx ( ) .tanx.sin x.cosx .cot x15.08 天津卷 6把函数sin()yx xR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度， 再把所得图象上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的12倍 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 的 图 象 所 表 示 的 函 数 是 A sin 23yxxR， B sin26xyxR，Csin 23yxxR， D sin 23yxxR，16. 08 天津卷 9设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则AabcB

21、acbCbcaDbac17. 08 浙江卷 2函数2(sincos )1yxx的最小正周期是 A.2 B. C.32 D.2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页18. 08 浙江卷7在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是A.0 B.1 C.2 D.4 二，填空题19. 08 北京卷 9假设角的终边经过点(12)P ，则tan2的值为20. 08 江苏卷 1cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则= 21. 08 辽宁卷 16设02x，则函数22sin1sin 2x

22、yx的最小值为22. 08 浙江卷 12假设3sin()25，则cos2_。23. 08 上海卷 6函数f(x) 3sin x +sin(2+x) 的最大值是三，解答题24.08 四川卷 17求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。25. 08 北京卷 15 已知函数2( )sin3sinsin2f xxxx0 的最小正周期为求的值；求函数( )f x在区间203，上的取值范围26. 08 天津卷 17已知函数22s(incoss1)2cof xxxx,0 xR的最小值正周期是2 求的值；求函数( )f x的最大值，并且求使( )f x取得最大值的x的集合27.

23、08 安徽卷 17已知函数( )cos(2)2sin()sin()344fxxxx求函数( )f x的最小正周期和图象的对称轴方程求函数( )f x在区间,122上的值域28. 08 陕西卷 17已知函数2( )2sincos2 3 sin3444xxxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页求函数( )f x的最小正周期及最值；令( )3g xfx，判断函数( )g x的奇偶性，并说明理由1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.

24、C 16.D 17.B 18.C 19.34 20. 10 21.3 22. 257 23.2 24.解：2474sincos4cos4cosyxxxx2272sin 24cos1cosxxx2272sin 24cossinxxx272sin 2sin 2xx21sin 26x由于函数216zu在11 ，中的最大值为2max1 1610z最小值为2min1166z故当sin21x时y取得最大值10，当sin21x时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25.解

25、： 1cos23( )sin 222xf xx311sin 2cos2222xx1sin 262x因为函数( )f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1由得1( )sin 262f xx因为203x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页所以72666x，所以1sin 2126x，因此130sin2622x，即( )f x的取值范围为302，26.解：242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数xf的最小正周期是2，可得222，所以2由

26、知，244sin2xxf当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值1，所以函数xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|27. 解： 1( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx13cos2sin2(sincos )(sincos )22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期25,2,12 2636xx因为( )sin(2)6f xx在区间,123上单调递增，在区间,32上单调递减，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

27、- -第 11 页，共 12 页所以当3x时，( )fx取最大值 1 又31()()12222ff，当12x时，( )f x取最小值32所以函数( )f x在区间,122上的值域为3,1228.解： ( )f xsin3 cos22xx2sin23x( )f x的最小正周期2412T当sin123x时，( )fx取得最小值2；当sin123x时，( )f x取得最大值2由知( )2sin23xf x又( )3g xfx1( )2sin233g xx2sin22x2cos2x()2cos2cos( )22xxgxg x函数( )g x是偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页