2022年高中数学必修4第二章-平面向量公式及定义 .pdf

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1、平面向量公式1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x,y+y). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a ；结合律： (a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量 , 那么 a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点 , 指向被减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 4、数乘向量实数和向量 a 的乘积是一个向量 , 记作 a, 且 a=?a. 当 0 时, a 与 a 同方向；当 0 时, a 与 a 反方向；当

2、=0时, a=0,方向任意 . 当 a=0时, 对于任意实数 , 都有 a=0. 注：按定义知 , 如果 a=0,那么 =0或 a=0. 实数叫做向量a 的系数 , 乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页当 1 时, 表示向量 a 的有向线段在原方向0或反方向 0上伸长为原来的倍；当 1 时, 表示向量 a 的有向线段在原方向0或反方向 0上缩短为原来的倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： (a)?b=(a?b)=(a ?b). 向量对于数的分配

3、律第一分配律 ：( +)a=a+a. 数对于向量的分配律第二分配律 ：(a+b)= a+b. 数乘向量的消去律：如果实数 0 且a=b, 那么 a=b. 如果 a0 且a=a, 那么 =. 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b. 作 OA=a,OB=b, 则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角, 记作 a,b 并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积内积、点积是一个数量, 记作 a?b. 假设 a、b 不共线, 则 a?b=|a| ?|b| ?cosa,b ；假设 a、b 共线, 则 a?b=+-ab. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x+y ?y. 向量的数量积的运算律

4、a?b=b?a交换律；( a) ?b=(a?b)( 关于数乘法的结合律 )；a+b)?c=a?c+b?c分配律；向量的数量积的性质a?a=|a| 的平方 . ab =a?b=0. |a ?b| |a| ?|b|. 向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律, 即：(a ?b) ?ca?(b?c) ；例如： (a?b)2 a2?b2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页2、向量的数量积不满足消去律, 即：由 a ?b=a?c (a 0), 推不出 b=c. 3、|a ?b| |a| ?|b| 4、由

5、 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b. 4、向量的向量积定义：两个向量 a 和 b 的向量积外积、叉积是一个向量, 记作 ab. 假设 a、b 不共线 , 则 ab的模是： ab=|a| ?|b| ?sin a,b ；ab 的方向是：垂直于 a 和 b, 且 a、b和 ab 按这个次序构成右手系 . 假设 a、b 共线, 则 ab=0. 向量的向量积性质：ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积 . aa=0. ab=ab=0. 向量的向量积运算律ab=-ba；ab=ab=a b ；a+bc=ac+bc. 注：向量没有除法 , “向量 AB/向量 CD ”是没有意义的 . 向量的

6、三角形不等式1、 a- b a+b a+b； 当且仅当 a、b 反向时 , 左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时 , 右边取等号 . 2、 a- b a-b a+b. 当且仅当 a、b 同向时 , 左边取等号； 当且仅当 a、b 反向时 , 右边取等号 . 定比分点定比分点公式向量P1P= ?向量 PP2 设 P1、P2是直线上的两点 ,P 是 l 上不同于 P1、P2的任意一点 . 则存在一个实数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页, 使 向量 P1P= ?向量 PP2,叫做点 P分有向线段 P1P2所成的比 .

7、假设 P1x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+ OP2)(1+)； 定比分点向量公式x=(x1+x2)/(1+ ), y=(y1+y2)/(1+ ). 定比分点坐标公式我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理假设 OC= OA +OB ,且+=1 , 则 A、B、C三点共线三角形重心判断式在ABC 中, 假设 GA +GB +GC=O, 则 G为ABC 的重心向量共线的重要条件假设 b0, 则 a/b 的重要条件是存在唯一实数, 使 a=b. a/b 的重要条件是 xy-xy=0. 零向量 0 平行于任何向量 . 向量垂直的充要条件ab 的

8、充要条件是 a ?b=0. ab 的充要条件是 xx+yy=0. 零向量 0 垂直于任何向量 . 1、线性运算a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ( a)=( )a. ( +)a=a+a. (a b)= ab a,b 共线 b=a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页2、坐标运算 , 其中 ax1,y1 , b(x2,y2) a+b=( x1+x2,y1+y2) a-b=( x1-x2,y1-y2) a=( x1,y1) 点 A(a,b) ， 点 B(c,d), 则向量 AB=c-a,b-d 点 A(a,b

9、) ，点 B(c,d),则向量 BA= a-c,b-d 3、数量积运算a*b=a*b*cosa*b=b*a (交换律 ) (*a)*b= *(a*b) =a* (*b)结合律，注意向量间无结合律(ab)*c=a*c b*c分配律假设 a*(b-c)=0,则 b=c 或a 垂直于 b-c (ab)2=a22a*b+b2 (a+b)*(a-b)=a2-b2 ax1,y1 , b(x2,y2),则 a*b=x1x2+y1y2, a2 =x2+y2, a=x2+y2 a 垂直于 bx1x2+y1y2=0；一般地， a 与 b 夹角满足如 下 条 件 ：cos =a*b/ a * b =(x1x2+y1y2)/(x12+y12)*( x22+y22) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页