2019-2020学年数学人教A版4-1检测：1.4 直角三角形的射影定理 .docx

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1、四直角三角形的射影定理1.在RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,如图所示,NQ=3,则MN等于()A.3PNB.13PNC.3PND.9PN解析MNMP,MQPN,MN2=NQPN.又NQ=3,MN=NQPN=3PN.答案C2.在RtMNP中,MNMP,MQPN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于()A.1B.3C.9D.27解析由射影定理得MN2=NQNP,32=9NQ,NQ=1.答案A3.在RtABC中,C=90,CD是斜边AB上的高,AD=5,BD=8,则SCDASCDB等于()A.58B.2564C.2539D.2589解析由题意知CDABDC,SCDASCDB=ACCB2=AC

2、2CB2.根据射影定理,得AC2=ADAB,CB2=BDAB,SCDASCDB=ADABBDAB=ADBD=58.答案A4.导学号19110018在RtABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.若BC=m,B=,则AD的长为()A.msin2B.mcos2C.msin cos D.msin tan 解析由射影定理,得AB2=BDBC,AC2=CDBC,即m2cos2=BDm,m2sin2=CDm,即BD=mcos2,CD=msin2.AD2=BDDC=m2cos2sin2,AD=msin cos .答案C5.(2016云南昆明高二期中)在ABC中,ACB=90,CDAB于D,ADBD=23,

3、则ACD与CBD的相似比为()A.23B.49C.63D.不确定解析在RtACB中,CDAB,由射影定理得,CD2=ADBD,即CDAD=BDCD.ADC=BDC=90,ACDCBD.又ADBD=23,令AD=2x,BD=3x(x0),CD2=6x2,CD=6x.ACD与CBD的相似比为ADCD=2x6x=63,即相似比为63.答案C6.(2016河北邢台高二检测)在ABC中,ACBC,CDAB于点D,若AD=27,BD=3,则AC=,BC=,CD=.解析由射影定理,得CD2=ADBD,则CD=9.根据勾股定理,得AC=AD2+CD2=910,BC=BD2+CD2=310.答案91031097

4、.在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CD=6,AB=5,则AD=.解析ACB=90,CDAB,CD2=ADDB.CD=6,ADDB=6.又AB=5,DB=5-AD.AD(5-AD)=6,解得AD=2或3.答案2或38.(2016江西吉安高二检测)在RtABC中,C=90,a-b=1,tan A=32,其中a,b分别是A和B的对边,则斜边上的高h=.解析由tan A=ab=32和a-b=1,得a=3,b=2,故c=13(c为C的对边),h=abc=61313.答案613139.(2016湖南岳阳高二月考)如图,已知RtABC的周长为48,AD平分BAC,且与BC交于点D,BDDC=53

5、.(1)求RtABC的三边长;(2)求两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长.解(1)如图,设CD=3x,则BD=5x,BC=8x.过点D作DEAB于点E,易知RtADCRtADE,DE=3x,BE=4x,AE+AC+12x=48.又AE=AC,AC=24-6x,AB=24-2x,(24-6x)2+(8x)2=(24-2x)2,解得x1=0(舍去),x2=2,AB=20,AC=12,BC=16,RtABC的三边长分别为20,12,16.(2)过点C作CFAB于点F,则AC2=AFAB,AF=AC2AB=12220=365.同理得BF=BC2AB=16220=645.两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长分别为365,645.10.导学号19110019如图所示,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=14AD,N是AB的中点,NFCE于点F.求证:FN2=EFFC.证明如图所示,连接NE,NC.设正方形的边长为a.AE=14a,AN=12a,NE=a216+a24=5a4.BN=12a,BC=a,NC=a24+a2=5a2.DE=34a,DC=a,EC=9a216+a2=5a4.NE2=5a216,NC2=5a24,EC2=25a216.NE2+NC2=25a216.NE2+NC2=EC2.ENNC,ENC是直角三角形.又NFEC,NF2=EFFC.