2019-2020学年数学人教A版4-5检测：4.2 用数学归纳法证明不等式举例 .docx

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1、二用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明1+12+13+12n-11)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.12B.1+122C.1+12+132D.1+132解析当n=2时,左边=1+12+13,右边=2,所以应证1+12+13-1,x0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)31+3xB.(1+x)321+32xC.(1+x)-21-2xD.(1+x)13nn-12(nn0,且nN+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4解析当n=1时,左边=C11=1,右边=10=1,11,不成立;当n=2时,左边=C21+C22=2+1=3,右边=212=2,32,成

2、立;当n=3时,左边=C31+C32+C33=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立.所以n的最小值n0为2.答案B4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明n2+nn+1(nN+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然不等式是成立的;(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即k(k+1)k+1.当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2k2+4k+4=(k+1)+1,所以当n=k+1时不等式是正确的.由(1)(2)可知,对于nN+,不等式都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+

3、1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析证明(k+1)2+(k+1)(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设k(k+1)n2时,f(2k+1)比f(2k)多的项为.解析f(2k+1)-f(2k)=1+12+13+12k+1-1+12+13+12k=12k+1+12k+2+12k+1.答案12k+1+12k+2+12k+16.已知x0,观察下列几个不等式:x+1x2;x+4x23;x+27x34;x+256x45归纳猜想一般的不等式为.答案x+nnxnn+1(n为正整数)7.用数学归纳法证明an+bn2a+b2n(a,b是非负实数,nN+)时,假设当n=k时不等式ak+b

4、k2a+b2k(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘a+b2即可.答案a+b28.用数学归纳法证明1+12+13+1n2n(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即1+12+13+1k2k.当n=k+1时,1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2kk+1+1k+1a24对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.解取n=1,则有12+13+14a24成立,所以2624a24,因此a2524对一切正整数n都成立.(1)当n

5、=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即1k+1+1k+2+1k+3+13k+12524,当n=k+1时,1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+13(k+1)+1=1k+1+1k+2+1k+3+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+12524+13k+2+13k+4-23(k+1).因为13k+2+13k+4=6(k+1)9k2+18k+86(k+1)9k2+18k+9=6(k+1)9(k+1)2=23(k+1),所以13k+2+13k+4-23(k+1)0,于是1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+13(k+1)+12524

6、,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有1n+1+1n+2+1n+3+13n+12524,且正整数a的最大值等于25.10.导学号26394069已知数列an满足:a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n2,nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2an2n!恒成立.(1)解将条件变为1-nan=131-n-1an-1,因此数列1-nan为一个等比数列,其首项为1-1a1=13,公比为13,从而1-nan=13n,因此得an=n3n3n-1(n1).(2)证明由得a1a2an=n!1-131-1321-13n.为证a

7、1a2an12.显然,左端每个因式皆为正数,先证明对nN+,有1-131-1321-13n1-13+132+13n.下面用数学归纳法证明式:当n=1时,显然式成立,假设当n=k(k1)时,式成立,即1-131-1321-13k1-13+132+13k.当n=k+1时,1-131-1321-13k1-13k+11-13+132+13k1-13k+1=1-13+132+13k-13k+1+13k+113+132+13k1-13+132+13k+13k+1.即当n=k+1时,式也成立.故对一切nN+,式都成立.利用,得1-131-1321-13n1-13+132+13n=1-131-13n1-13=1-121-13n=12+1213n12.故原不等式成立.