2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：1.1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换 .docx

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1、1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课后篇巩固探究A组1.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的6倍,则圆x2+y2=36进行伸缩变换后的图形是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:B2.已知一椭圆的方程为x216+y24=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,那么该椭圆的形状为()解析:如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的12,那么该椭圆的形状为选项D中所示.答案:D3.在平面直角坐标系中,如果x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的12倍,那么一条线段经过变换后的图形是()A.直线B.射线C.与原来长度相同的线段D.比原来长度短的线段答案:

2、D4.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=13cos 2x经过伸缩变换x=2x,y=3y后为()A.y=cos xB.y=3cos12xC.y=2cos13xD.y=12cos 3x解析:由x=2x,y=3y,得x=x2,y=y3.代入y=13cos 2x,得y3=13cos x.y=cos x,即曲线y=cos x.答案:A5.导学号73144005若点P(-2 016,2 017)经过伸缩变换x=12 017x,y=12 016y后所得的点在曲线y=kx上,则k=()A.1B.-1C.2 016D.-2 016解析:P(-2 016,2 017),x=-2 016,y=2 017,x=-2

3、0162 017,y=2 0172 016,代入y=kx,得k=xy=-1.答案:B6.将圆x2+y2=1经过伸缩变换x=4x,y=3y后所得的曲线方程为.解析:由x=4x,y=3y,得x=x4,y=y3.代入x2+y2=1中,得x216+y29=1.所以变换后所得的曲线方程为x216+y29=1.答案:x216+y29=17.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,以原点为圆心,4为半径的圆的图形变为.解析:如果x轴的单位长度不变,y轴的单位长度缩小为原来的12,圆x2+y2=16的图形变为中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆.答案:椭圆8.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变

4、换x=2x,y=14y后,曲线C变为曲线x216+4y2=1,求曲线C的方程并画出图像.解把x=2x,y=14y代入x216+4y2=1中,得4x216+4116y2=1,即x2+y2=4.其图像如图所示.9.求4x2-9y2=1经过伸缩变换x=2x,y=3y后的图形所对应的方程.解由伸缩变换x=2x,y=3y,得x=12x,y=13y,将其代入4x2-9y2=1,得412x2-913y2=1.整理得x2-y2=1.故经过伸缩变换后图形所对应的方程为x2-y2=1.B组1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是()A.正方形B.矩形C.菱形D.正方形、菱形或矩形解析:正方形在

5、平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标轴上的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则是菱形或正方形;若顶点在象限内,则是矩形或正方形.答案:D2.将一个圆作伸缩变换后,所得图形不可能是()A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析:将圆作伸缩变换,若保持一轴不变,另一轴压缩或伸长,则都会出现椭圆的形状,故选项A正确;当两轴同时放大或缩小时,会得到比原来大或小的圆,故选项B,C正确.故选D.答案:D3.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的13,得到的曲线方程为()A.Fx2,3y=0B.F2x,y3=0C.F3x,y2=0D.Fx3

6、,2y=0解析:设变换后得到的曲线上任一点为P(x,y),原曲线上的对应点为P(x,y),由题意知x=2x,y=13y,即x=x2,y=3y,代入F(x,y)=0,得Fx2,3y=0,即Fx2,3y=0.答案:A4.如图,在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,ABC的三个顶点分别为A(0,8),B(-16,0),C(-8,0),则ABC的面积为.答案:325.在平面直角坐标系中,在伸缩变换:x=x(0,1),y=y(0,1)的作用下仍是其本身的点为.解析:设点P(x,y)在伸缩变换:x=x(0,1),y=y(0,1)的作用下得到点P(x,y),依题意得x=x,y=y,其中

7、0,0,1,1,故x=y=0,即P(0,0)为所求.答案:(0,0)6.圆C:x2+y2=4沿着y轴均匀压缩,压缩系数为12.(1)求压缩后的曲线方程.(2)将过圆C上一点P(2,2)的切线压缩后得到的直线与压缩后的曲线有何关系?解设圆上一点P(x,y),压缩后的点为P(x,y),则x=x,y=12y,即x=x,y=2y.(1)由x2+y2=4,得x2+4y2=4,则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.(2)点P(2,2)满足(2)2+(2)2=4,点P在圆上.故过点P的切线方程为2x+2y=4,压缩后变为2x+22y=4,即x+2y=22,即压缩后的方程为x+2y=22.故x+2y=22,x

8、2+4y2=4,联立得x2-22x+2=0,则=8-42=0,故直线x+2y=22与曲线x2+4y2=4相切.7.导学号73144006在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.(1)曲线y=2sinx4变换为正弦曲线y=sin x;(2)圆x2+y2=1变换为椭圆x29+y24=1.解(1)将变换后的曲线的方程y=sin x改写成y=sin x,设伸缩变换为x=x(0),y=y(0),代入y=sin x得y=sin x,即y=1sin x,与原曲线方程比较系数得=14,1=2,所以=14,=12,所以伸缩变换为x=14x,y=12y.即先使曲线y=2s

9、inx4的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14,得到曲线y=2sin14(4x)=2sin x,再将其纵坐标缩短到原来的12,得到正弦曲线y=sin x.(2)将变换后的椭圆方程x29+y24=1改写为x29+y24=1,设伸缩变换为x=x(0),y=y(0).代入上式得2x29+2y24=1,即32x2+22y2=1.与x2+y2=1比较系数得32=1,22=1,所以=3,=2,所以伸缩变换为x=3x,y=2y.即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆x29+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,得到椭圆x29+y24=1.