2019-2020学年数学北师大版选修4-4检测：2.3 参数方程化成普通方程 .docx

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1、3参数方程化成普通方程课后篇巩固探究A组1.曲线x=2cos-1,y=2sin+2(为参数)的一条对称轴的方程为()A.y=0B.x+y=0C.x-y=0D.2x+y=0解析:曲线x=2cos-1,y=2sin+2(为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),过圆心的直线都是圆的对称轴,故选D.答案:D2.下列各点在方程x=sin,y=cos2(为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,7)B.13,23C.12,12D.(1,0)解析:当x=12时,=6,2=3,y=cos 2=cos 3=12,故选C.答案:C3.若已知曲线x=1+cos2,y=sin2(为参数)

2、,则点(x,y)的轨迹是()A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:x=1+cos 2=1+(1-2sin2)=2-2y,x+2y-2=0.又x=1+cos 20,2,y=sin20,1.点(x,y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:D4.参数方程x=sin 2+cos 2,y=2+sin(为参数)的普通方程为()A.y2-x2=1B.x2-y2=1C.y2-x2=1(|x|2)D.x2-y2=1(|x|2)解析:x2=sin 2+cos 22=1+sin ,y2=2+sin ,y2-x2=

3、1.又x=sin 2+cos 2=2sin2+4-2,2 ,即|x|2.故应选C.答案:C5.导学号73144037若P(x,y)是曲线x=-2+cos,y=sin(02,是参数)上的动点,则yx的取值范围是()A.-33,0B.-33,33C.0,33D.-,-33解析:曲线C:x=-2+cos,y=sin是以(-2,0)为圆心,1为半径的圆,即(x+2)2+y2=1.设yx=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取得最小值与最大值.|-2k|k2+1=1,解得k2=13.故yx的取值范围是-33,33.答案:B6.参数方程x=cos,y=1+sin(为参数)化成普通方程为.解析:x=

4、cos,y=1+sin(为参数),cos2+sin2=1,x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=17.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=t+3,y=3-t(参数tR),圆C的参数方程为x=2cos,y=2sin+2(参数0,2),则圆C的圆心坐标为,圆心到直线l的距离为.解析:消参数得到圆的方程为x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为(0,2).消参数后直线方程为x+y=6,则圆心到直线的距离为|0+2-6|2=22.答案:(0,2)228.已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:x=-1+2cos,y=2+2sin(为参数),则它们的公共点个数为.解析:圆的方程可

5、化为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为C(-1,2),半径为2.由于圆心到直线l的距离d=|3(-1)+42-12|32+42=752,故直线l与圆C的公共点个数为2.答案:29.把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.(1)x=1-t,y=1+2t(t为参数);(2)x=-4t2,y=t+1(t0,t为参数).解(1)由x=1-t1,得t=1-x,代入y=1+2t,得到y=3-2x.又因为x1,所以参数方程等价于普通方程y=3-2x(x1).这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点).(2)x=-4t2,y=t+1,由得t=y-1,代入中,得x=-4(y-1)2(y1)

6、,即(y-1)2=-14x(y1).方程表示的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴,开口向左的抛物线的一部分.10.导学号73144038在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为4,2,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解(1)把极坐标系下的点P4,2化为直角坐标,得点(0,4).因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上

7、.(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(3cos ,sin ),从而点Q到直线l的距离为d=|3cos-sin+4|2=2cos+6+42=2cos+6+22,当cos+6=-1时,d取得最小值,且最小值为2.B组1.椭圆x=5cos,y=3sin(为参数)的焦点坐标为()A.(-2,0),(2,0)B.(0,-2),(0,2)C.(0,-4),(0,4)D.(-4,0),(4,0)解析:利用平方关系化为普通方程x225+y29=1,c2=16,c=4,焦点在x轴上,所以焦点为(-4,0),(4,0),故选D.答案:D2.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,

8、两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是=4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B.214C.2D.22解析:由题意得直线l的普通方程为x-y-4=0,圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,则圆心到直线l的距离d=2,故弦长=2r2-d2=22.答案:D3.参数方程x=cos2+sin2,y=12(1+sin)(为参数,且02)表示()A.抛物线的一部分,这部分过点1,12B.双曲线的一支,这支过点1,12C.双曲线的一支,这支过点-1,12D.抛物线的一部分,这部分过点-1,12解析:由参数方程得x2=cos

9、2+sin22=cos22+sin22+2cos2sin2=1+sin ,故y=12x2,且2x0,表示抛物线的一部分.答案:A4.方程为x=cos,y=1+sin(为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin =1,则直线l与圆C交点的直角坐标为.解析:圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,直线l的直角坐标方程为y=1.x2+(y-1)2=1,y=1x=-1,y=1或x=1,y=1.所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).答案:(-1,1),(1,1)5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为:C1:x=t,y=

10、t(t为参数)和C2:x=2cos,y=2sin(为参数),它们的交点坐标为.解析:曲线C1化为普通方程是x=y2(y0),曲线C2化为普通方程是x2+y2=2,由x=y2(y0),x2+y2=2,得x=1,y=1,因此两曲线的交点坐标为(1,1).答案:(1,1)6.两动直线3x+2y=6t与3tx-2ty=6相交于点P,若取t为参数,则点P轨迹的参数方程为.解析:两方程联立得3x+2y=6t,3tx-2ty=6,t+得x=t2+1t,t-得y=3(t2-1)2t.故所求点P的轨迹的参数方程为x=t2+1t,y=3(t2-1)2t(t为参数,t0).答案:x=t2+1t,y=3(t2-1)2

11、t(t为参数,t0)7.已知曲线C1为x=-4+cost,y=3+sint(t为参数),C2为x=8cos,y=3sin(为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.(2)若C1上的点P对应的参数为t=2,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:x=3+2t,y=-2+t(t为参数)距离的最小值.解(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x264+y29=1.C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t=2时,P(-4,4),Q(8cos ,3sin ),故M-2+4cos,2

12、+32sin.C3为直线x-2y-7=0,点M到C3的距离d=55|4cos -3sin -13|.从而当cos =45,sin =-35时,d取得最小值855.8.导学号73144039如图,设矩形ABCD的顶点C为(4,4),点A在圆x2+y2=9(x0,y0)上移动,且AB,AD两边分别平行于x轴、y轴,求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标.解根据圆的参数方程,可设A(3cos ,3sin )(090),则|AB|=4-3cos ,|AD|=4-3sin .S矩形ABCD=|AB|AD|=(4-3cos )(4-3sin )=16-12(cos +sin )+9cos sin .令t=cos +sin (1t2),则2cos sin =t2-1.S矩形ABCD=16-12t+92(t2-1)=92t2-12t+232=92t-432+72.故t=43时,S矩形ABCD取得最小值72.此时cos+sin=43,cossin=718,解得cos=4+26,sin=4-26或cos=4-26,sin=4+26.故A2+22,2-22或A2-22,2+22.