第006章-连续系统的振动ppt课件.ppt

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1、振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 第第6章章 连续系统的振动连续系统的振动6.1 一维波动方程一维波动方程6.2 梁的弯曲振动梁的弯曲振动6.3 假设模态法假设模态法6.4 模态法综合法模态法综合法6.5 有限元法有限元法6.6 梁弯曲振动的一些特殊影响因素梁弯曲振动的一些特殊影响因素振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第

2、6章 连续系统的振动可以用有限个自由度精确描述的系统称为集中参数系统或离散系统，前面几章学习的都是这种系统，其力学模型由一些具有单一力学特性的元件（集中参数元件）构成，如质点、刚性质量、纯弹性件和阻尼器等，有很多实际系统近似为集中参数系统。但大部分实际系统，理论上说不能用有限个自由度精确描述其力学行为，比如一根梁就是如此；其力学模型只能用一些场参数来描述，如几何形状、温度分布、质量分布、杨氏模量等，其力学行为也只能用一些场参数来描述，如位移场、速度场等，因此这类系统称为分布参数系统或连续系统。本章以一维分布参数系统为例，介绍振动分析的一些解析方法以及近似分析方法（即用一个集中参数系统来近似替代

3、）。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6.1 一维波动方程 1. 动力学方程（1）杆的纵向振动如图，如果杆中各质点的振动方向平行于杆的轴线，称杆作纵向振动纵向振动。只研究细长杆，可假设振动中杆横截面保持为平面。EaxuatuFdxxFFtuSdxxuESSESF,)()(Newton2222222控制微分方程：定律：截面内力：(6.1)设杆横截面的运动位移为u(x, t),取杆微元dx，分析如下：振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶

4、和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（2）直弦的横向振动（微振动） 研究张紧直弦的振动，设弦的横向挠度为y(x, t)，忽略振动中张力和长度变化。取如图6.2弦微元dx，分析如下：形如(6.1)的方程称为一维波动方程。FFdxqdxxqqxyO图6.2 弦的横向振动振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物llFaxyatyFdxxFFdxxFtydxyxyFqqqqqqq,)(sin)sin

5、()()(Newton2222222控制微分方程：向定律常值；张力、几何关系：(6.2)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（3）轴的扭转振动只有等截面圆轴的弹性扭转符合平面假设，可以推出精确的波动方程。设轴横截面的扭转角为q (x, t)，取如图圆轴单元dx，分析如下：(6.3)qqqqGaxatdxIdxRdxRRdmRTdxxTTtdmRxGITPP,222)()2(222224222222控制微分方程：而定轴转动微分方程：截面扭矩：轴单元的转动惯量图6

6、.3 轴的扭转振动TTdxxTxd xqx振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（4）杆的剪切振动设杆横截面的剪切运动位移为y (x, t)，取如图杆单元 dx，分析如下：GaxyatyFdxxFFtySdxxySGGSSFSSSS,)()(Newton2222222控制微分方程：定律：截面内力：(6.4)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边

7、有一个活的生物2. 波动方程的模态以上得到的一维波动方程，如方程（6.1），为二阶线性偏微分方程，可以用分离变量法求得解析解。令方程左边是时间的函数，而右边是空间坐标的函数，因此左右边只能都等于一个常数，设为l 这是两个单变量常微分方程，第一个方程的两个基本解为0)()()(, 0)()(0;)(, 0)(,)(222121 xaxtqtqtqetqetqttlllll 得，设必须如果2( )( )0,( )( )0q tq taxxll(6.5)( , )( ) ( )u x tx q t2( )( )( )( )q txaq tx代入（6.1），得振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了

8、一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物得两个方程的通解为1212( )sincossin()( )sincosq tBtBtAtxxxDDaaq所以，波动方程度通解为(6.6)12( , )(sincos)sin()xxu x tCCtaaq其中D1， D2 和 A 这三个积分常数已经合并成两个常数C1， C2 。下面来讨论 (6.6) 式中的积分常数的确定问题。式中有4个积分常数，它们为这些积分常数需要用初始条件和边界条件来确定。为此，我们重新考察波动方程12,CCq振动力学讲义 第6章 连续系统的振

9、动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物22222uuatx这个方程，关于时间变量 t 和空间变量 x 的导数均为二阶，因此，对时间变量积分，会出现两个积分常数，对空间变量积分也会出现两个积分常数。进而，确定这4 个积分常数，分别需要用两个初始条件和两个边界条件。 我们先来应用边界条件。比如两端简支梁，其边界条件为(0, )0,( , )0utu l t由 (6.6) 式，得120100sincosCllCaa (6.7a)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西

10、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方程（6.7a）称为系统的频率方程或特征方程。以上方程必须有非零解，否则， C1 = C2 = 0，振动恒为零，讨论就没有意义了。因此，方程左边的矩阵行列式必须为零，得频率方程为sin0la由此可以确定参数 。将任一个确定的 值代入方程（6.7a） 后，可知参数C1 、 C2 中只能确定一个，另一个可以取任何非零值（即待定）。 因此，应用边界条件后，通解（6.6）中还有两个待定常数，需要由初始条件来确定。(6.7b) 由以上讨论可知，我们也可以将时间函数 q ( t ) 和空间函数 (x) 写为1

11、2( )sin(),( , )sincosxxq ttx tCCaaq振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 我们顺便讨论一下无限长杆中的纵向波。由于杆为无限长，没有边界条件，因此，杆中形成的初始振动将随时间和空间无耗散地不断变化。波动方程在无限长杆中的一个解可以写为如下形式图6.5t1t2t3( )cos()cos();xu tAtAxtaa这样，我们可以将关于u ( x，t ) 的边界条件转换为关于空间函数 (x) 的边界条件。振动力学讲义 第6章 连续系统

12、的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物21212(0)( )0(0)( )00sincos0( )00sin0uu llCllCCaaxlCCa要使上式满足，并使，应有为不等于零的任意常数，举例：如图，设纵振动杆两端固定，则边界条件为l两端固定的杆,1,2,.ili aiial由此可确定 ：其波形如图6.5，变化过程是整个空间波形以速度a向右移动，因此参数a称为波的传播速度（波速）或相速度。因此，前面的几种物理模型中，。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东

13、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )sin,1,2,.( , )sinsin(),1,2,.siniiiiiiixxilixu x tAtilixlq进而而上式的含义为整个杆以的形状作同步简谐振动，振动频率为。显然，这种振动是系统固有的，与外界无关，因此就是两端固支杆纵向振动的固有频率和振型函数（模态），而且有无穷多个。与集中参数系统一样，模态在连续系统的振动分析中也有中心的地位，所起的作用也类似。siniixl和振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢

14、？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由于横振弦、纵振杆和扭振轴有相同的波动方程，它们的运动具有相同的规律，常见边界条件下的模态如下表：边界条件两端固支两端自由一端固定一端自由固有频率振型函数0)()0(l0)()0(l0)()0(l,.2 , 1ilaii,.2 , 1ilaii,.2 , 1212ilaiilxiicos)212sin(lxiilxiisin振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例6.1 一端固定、自由端有集中质量 m

15、 。求杆纵振动的固有频率和模态函数。lOESmx例6.1图 解：固定端的边界条件是显然的，为(0, )0ut 为了写出自由端的边界条件，参见图a。由集中质量的力平衡，可得右端边界条件为图(a) 集中质量和杆端的受力( , )mu l t( , )u l tESxl( , )u l t( , )mu l t( , )u l tESx振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( , )( , )( , )0( , )u l tu l tESmu l tESmu l tx

16、x 以上第一个边界条件是由杆端的几何约束给出的，称为几何边界条件，第二个边界条件是由杆端的力平衡条件给出的，称为力边界条件。 当杆作模态振动时，有( , )( ) sin()u x tx Atq由此，前面的两个边界条件变为2(0)0,( )( )ESlml将（6.6）式代入上式，得220,cossinllCESmaaa振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：边界条件为(0)0,( , )( , )(0)0,( )( )uSEu l tku l tlkl 代入一

17、维波动方程的通解(6.6)，得21212120(cossin)(sincos)( )00cossin0CllllSE CCk CCaaaaaaxllCCSEkaaa 要使上式满足，并使，应有为不等于零的任意常数， 例6.2 求图示纵振杆的模态。例6.2图ES，lkx振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 cossin0tan0()tan0,llSEkaaalSEllllSEaklaaaakl 特征方程为即因此，给一个 就可求出对应的固有频率 i；而与各个 i相应

18、的振型函数为axxiisin)(1.229246e+000 4.493409e+000 7.725251e+000 1.090412e+001 1.406619e+001 1.722075e+0011()6la时的前 个根：al( )la0.51.52.53.54.55.5振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例6.3 一长为 l 的弦，单位长度的质量为 ，弦中张力为 T ，左端固定，右端连接于另一弹簧质量系统的质量 m 上，m 只能作上下微振动，其平衡位置即

19、在 y = 0 处，如图所示。求此弦横向振动的频率方程。（在振动过程中，弦的张力 T 视为不变） 解：由（6.6）式，弦振动微分方程的解为( , )(sincos)sin()y x tCxDxtaa(a)mklxyO例6.3图Tq( )my l( )k y lm(a)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物其中Ta。 x = 0 处的边界条件为(0, )0yt 由此得0D 参见图a，由质量 m 的力平衡，可得 x = l 处的边界条件为22( , )sin( ,

20、)0y l tTk y l tmtq由于 m 只能作微振动，所以( , )siny l txqq(b)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物于是，得22( , )( , )( , )0y l ty l tTk y l tmxt(c)将式（b）代入（a），再将结果代入（c），可得频率方程2cossinsin0lllTkmaaaa2()tan()1llalaa 或其中,Tlklm振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放

21、在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6.2 梁的弯曲振动 1. 动力学方程本节只研究细直梁，并且不考虑梁横截面的剪切变形和绕中性轴转动惯量的影响。这样的梁理论称为Bernoulli-Euler梁理论，即垂直于中性轴的平截面在梁的弯曲过程中始终保持平面，且垂直于弯曲后的中性轴。OxxydxMFSMMdxxSSFFdxxf (x, t)dx图6.6 梁的弯曲振动振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如图，设梁的横向位移

22、为y(x, t)，取梁微元 dx，分析如下：2222Newton()( , )( , )SlSSSlFyydxFFdxf x t dxtxFyf x ttx 向用定律：(6.8)22()( , )02SSSMdxMF dxMdxf x t dxxFMMFxxx矩平衡：振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物222222()sFyyMEIEIxxxx而由材料力学已知代入(6.8)式，得控制微分方程为),(4422txfxyEItyl(6.10)若为等截面均质梁，控制

23、微分方程为),()(222222txfxyEIxtyl(6.9)顺便讨论一下无限长的梁中简谐波的传播问题。设梁中有传播的简谐波波的传播速度（相速）其中cAeAetxyt cxitxi)()(),(振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物代入(6.10)并令 f = 0，得aacaiaEIaal因此得, 02224现在波速已不是常值，它随波动频率的增长而无穷增长（或随波数的增长而无穷增长），这显然是不符合实际的。因为当波动频率达到一定值时，梁的横向波传播速度可以超过

24、最快的光波的波速。由此可知，Bernoulli-Euler梁模型用于梁的高频振动分析是不准确的。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 梁的模态讨论等截面均质梁自由振动。振动微分方程为04422xyEItyl我们仍然用分离变量法来解。设(6.11)( , )( ) ( )y x tx q t(4)2( )( )( )( )lq tEIxq tx 代入方程，得242(4)4( )( )0;( )( )0lq tq tEIxx 所以振动力学讲义 第6章 连续系统

25、的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物以上第一个方程的解为( )sin()q ttq(6.12)以上第二个方程的解设为xetl)(得到关于 l 的特征方程为441,23,412340,;1cos,sin,cosh,sinh( )( )cossincoshsinhxixiieexxxxxxCxCxCxCxlll 四个根为：对应的四个独立基本解：、实数形式的独立基本解：的通解可写为(6.13)对 (6.11)应用边界条件就得到梁的固有频率和振型函数。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳

26、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物表6.1 等截面梁的弯曲振动42coscoshsinh,;1,2,;sinsinhsinnnnlnnnnnlllnlllEI 边界条件频率方程特征根 n l振型函数 n(x)简支简支sin0lnlnsinnx固定自由coscosh 10ll (1/2)3nlnncoscosh(sinsinh)nnnnnxxxx自由自由coscosh 10ll (1/2)2nlnncoscosh(sinsinh)nnnnnxxxx固定固定coscosh 10ll (1/2)2nlnnco

27、scosh(sinsinh)nnnnnxxxx简支自由tantanh 0ll(1/4)1nlnnsinhsinnnnxx固定简支tantanh 0ll(1/4)1nlnnsinhsinnnnxx振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例6.4 梁的一端固定，另一端自由端但有集中质量 m 。求梁横向振动的频率方程。例6.4图OEI, lmxlymSFm y 图(a) 解：梁横向振动的通解为：其中42lEI。( , )( sincossinhcosh)sin()y

28、x tAxBxCxDxtq(a)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 应用左端边界条件0:0,0yxyx 右端边界条件为:0,SxlMFm y将（b）式代入（a）式后，得得,BDAC (b)23223:0,yyxlEImyxx 即(d)将（c）式代入边界条件（d）式，得( , )(sinhsin)(coshcos)y x tCxxDxx(c)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我

29、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(e)(f)(sinhsin)(coshcos)0CxxDxx3232(coshcos)(sinhsin)(sinhsin)(coshcos)0C EIxxmxxD EIxxmxx方程组（e）、（f）的非零解条件，得频率方程为231 coscoshsincoshcossinhmllEIllll振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例6.5 梁一端固定，另一端为弹性支承。求梁横向振动的频率方程。 解：梁横向振动

30、的通解为：例6.5图OEI, lxylk图(a)SFk y( , )( sincossinhcosh)sin()y x tAxBxCxDxtq(a)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物其中42lEI。 应用左端边界条件0:0,0yxyx将（b）式代入（a）式后，得得,BDAC (b) 右端边界条件为:0,SxlMFky2323:0,yyxlEIk yxx即(d)( , )(sinhsin)(coshcos)y x tCxxDxx(c)振动力学讲义 第6章 连续

31、系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将方程（c）和（d）与前例（例6.4）的方程方程（c）和（d）比较可见，只要在将前例中的 m 2 换成 k ，则两种情况的方程完全相同。因此，只需在前例的结果中将m 2 换成 k ，就得到本例的结果。所以频率方程为31coscoshcossinhsincoshkllEIllll振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：

32、将梁分成两段，对各段建立如图坐标系。根据(6.13)式，两段梁的振型函数可写为11112131412212223242( )cossincoshsinh()cossincoshsinhxAxAxAxAxxBxBxBxBx边界条件： 0)(0)0(, 0)0(;0)(0)0(, 0)0(22221111ll(a1, a2)(b1, b2)由(a1)、(b1)两式，得l1l2l, EIx1y1x2y2例6.6图 例6.6 求图示连续梁横向振动的频率方程。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没

33、有错：表里边有一个活的生物1322131121314113214100cossincoshsinh00sinsinh0AAAAAlAlAlAlAAAlAl(c)同理，由(a2)、(b2)两式，得1322420sinsinh0BBBlBl(d)再应用两段梁对接处的协调条件：)()(),()(22112211llll 2141224221412242coscoshcoscoshsinsinhsinsinhAlAlBlBlAlAlBlBl (e)(f)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错

34、：表里边有一个活的生物(c) 、(d)、(e)、(f)四式是关于待定未知常数的线性方程组，写成矩阵形式为1122241122211224sinsinh0000sinsinh0coscoshcoscoshsinsinhsinsinhllAllAllllBllllB方程必须有非零解，故有112211221122sinsinh0000sinsinh0coscoshcoscoshsinsinhsinsinhllllllllllll运算后得频率方程为：1212cotcotcothcothllll振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里

35、呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3. 模态函数的正交性讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式，所以我们按一般方程(6.9)的齐次形式来讨论。)()()()(, 0)()(),(0)()(22222222222222xxdxxdxEIdxdqtdqdtqxtxyxyxEIxtyxll量后得，代入上式，并分离变设(6.14)设(6.14)在一定的边界条件下，任意两个模态的固有频率为 i 、 j，振型函数为 i(x)、 j(x) ，于是由 (6.15) 有)()( )()()()( )()(22xxxxEIxxxxEIjljjilii (6.15)(6.16)(6.1

36、7)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 lijliljilijlijlijjdxxxxdxxxxEIxxEIxxxEIxdxxxEIxlx020000)()()()()()()()()( )()()( )()()(0)()16. 6(上积分，得后，在两边乘以 ljiljlijljiljiljiidxxxxdxxxxEIxxEIxxxEIxdxxxEIxlx020000)()()()()()()()()( )()()( )()()(0)()17. 6(上积分，

37、得后，在两边乘以(6.18)(6.19)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物两个积分式相减，得ljijiijijljiljixxEIxxxEIxxxEIxxxEIxdxxxx0022)()()( )()()()()()( )()()()()()()( 梁两端的边界条件通常为固定、铰支和自由，对这三种情况任意组合，上式右端都等于零，即(6.20)由(3.21)和 (3.18) （或(3.19) ），并考虑以上三种边界条件，得jidxxxxdxxxxljiljil

38、jilji, 0)()()(0)()()()(022022jidxxxxEIlij , 0)()()(0(6.22)(6.21)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(6.21)和(6.22)就是振型函数的正交性表达式，具体说：振型函数关于梁的质量线密度正交，振型函数的二阶导数关于弯曲刚度正交。下面考察梁的一端为特殊边界的正交性：（1）当梁的l端为弹性支承时，边界条件为)( )()(, 0)()(lkllEIllEI 当i = j 时，(3.20)自动满足。记下

39、列积分为22200( )( ),( ) ( ),llliPiiPiiPiPixx dxmEI xxdxkkm分别称为第i阶主质量（模态质量）和主刚度（模态刚度）。也可将模态正则化，正则化后的正交性表达式为代入(6.20)和(6.19)，可得ijilijijlijdxxxxEIdxxxx200)()()(,)()()( 振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（2）当梁的l端有附加质量时，边界条件为)( )()(, 0)()(2lmllEIllEI 代入(6.20)

40、和(6.19)，可得jidxxxxEIllmdxxxxlijijlijl ,0)()()(0)()()()()(00(6.24)4. 模态叠加法现在来求梁的强迫振动解。设1)()(),(jjjtqxtxyjillkdxxxxEIdxxxxijlijlijl ,0)()()()()(0)()()(00(6.23)(6.25)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),()()(222222txfxyxEIxtyxl(6.9)代入方程(6.9)，,.2 , 1)(),

41、()()(, 2 , 1),()()(0)(),()()()()()(0211 idxxtxftQxitQtqtqlxtxftqyxEItqxxliiiiiiiijjjjjl，已认为正则化，其中：，得解耦方程积分，利用正交性条件在上式乘以得 (6.26)方程(6.26)的解法已经很熟悉不再赘述。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例6.7 图示简支粱在其中点受到力 P 作用而产生静变形，求当力 P 突然取消后梁的响应。PlEI，lxy例6.7 图 解：由于简

42、支粱是左右对称结构，且力 P 作用在梁的纵向对称点上，所以它只激发梁的各阶对称模态。于是，该简支粱在初始条件下的响应表达式为其中222nlnEIl而,nnC需要由初始条件确定。1,3,5,( , )sinsin()nnnnny x tCxtl(a)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 因为 t = 0 时，梁处于静态挠曲线状态，故有2222(34),0482( ,0)()34() ,482P xllxxEIy xP lxlllxxlEI(b)( ,0)0y x

43、(c)将（a）式的一阶导数代入（c）式，有1,3,5,( ,0)sincos0nnnnny xCxl由此得cos0,sin12nnn(d)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将（d）式代入（a）式、令 t = 0，有1,3,5,( ,0)sinnnny xCxl 为了确定 Cn ，将上式两边同乘sinnxl，再沿梁全长积分，利用振型的正交性，得200( ,0)sinsin2llnnnnly xxdxCxdxCll(e)将（b）式代入（e）式，并考虑到模态的对称

44、性，得振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物/22201324422(34)sin482( 1),1,3,5,lnnP xnClxxdxlEIlPlnEIn(f)将（d）、（f）代入（a） ，即得响应132441,3,5,2( 1)( , )sinsin()2nnnPlny x txtEInl振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物

45、 例6.8 不变的集中力 P 沿梁以匀速度 v 移动，求梁的横向振动响应。设初始时力 P 在梁的左端。 解：梁的振动微分方程为242024()lyyPaxxtx例6.8图lxyPx0EI，l( )x20,lEIaxvt，其中 为 Dirac 函数。设方程的解为1( , )sin( )nnny x txq tl(b)振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将（b）代入（a）后，方程两边同乘sinnxl，再沿梁全长积分，利用振型的正交性和 函数的性质，得22sin,1

46、,2,3,nnnlPn vqqtnll(c)其中222nlnEIl方程（c）的解为22sin2( )sincos,()1,2,3,nnnnnlnn vtPlq tCtDtn vlln振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 利用初始条件0:(0)0,(0)0nntqq解出 Cn、 Dn 后，可得梁的响应为1221sin2( , )sin()sin()nnnlnnxPn vvlly x tttn vlla nl振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多

47、么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6.3 假设模态法应用模态叠加法需要知道精确的模态，但实际复杂系统很难求出精确的模态，所以在近似法中，广泛采用一些更为实用的函数来构造近似解。这时，不一定要求这些函数满足系统的运动微分方程，但它们必须具备方程中所用到的各阶导数，并且满足适当的边界条件。其中满足全部边界条件的函数称为比较函数（comparison functions）;而那些只满足几何边界条件的函数，称为容许函数（admissible functions）。这时，一维弹性体问题的解可近似地表示为1( , )( )

48、( ),( )( )niiiiiy x tx q txq t一般是问题的容许函数，实际上，取一些假设模态函数或近似模态函数；而是一组广义坐标。(6.25)这种处理问题的方法，实际上就是Ritz 缩聚方法。振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物这样就把无限自由度的分布参数问题转化成了有限自由度问题，因此可以用离散系统的各种建模方法建立系统的运动微分方程。我们用Lagrange方程。梁本身的动能为ljiljiijninjjiijljilninjjilnjjjniii

49、llldxxxxmmtqtqmdxxxxtqtqdxtqxtqxxdxxttxyT01101101120)()()(:)()(21)()()()()(21 )()()()()(21)(),(21其中振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物写成矩阵形式为qMqTT21(6.26)当梁上含有集中质量 m时，如图6.13,相应的附加动能为)()(:21)()(21 )()()()(21),(2111112ajaijiijTninjjiijnjjajniiaiaaxxmm

50、mqMqtqtqmtqxtqxmttxymT其中因此(6.26)中质量矩阵的各元素应写为)()()()()(0ajailjiljiijxxmdxxxxmm振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物振动力学讲义 第6章 连续系统的振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物梁本身的势能为 ljijiijninjjiijljininjjiljnjjiniilldxxxxEIk