2022年高二数学教案12《平行线分线段成比例定理》 .pdf

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1、二平行线分线段成比例定理课标解读1. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论2. 能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. 1平行线分线段成比例定理(1) 文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2) 图形语言：如图 121，l1l2l3，则有：ABBCDEEF，ABACDEDF，BCACEFDF. 2平行线分线段成比例定理的推论(1) 文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例(2) 图形语言：如图12 2，l1l2l3，图 1 22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

2、页，共 18 页则有：ADABAEAC，ADDBAEEC，DBABECAC. 1平行线分线段成比例定理有哪些变式？【提示】变式有ABDEBCEF，ABDEACDF，BCEFACDF. 2平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正确的吗？【提示】平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行，这个命题是错误的3怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？【提示】(1) 这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理(2) 它包括以下三种基本图形( 其中DE为截线 ) 习惯上称前两种为“A型”，第三种为“X型”(3) 此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角

3、形的两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边证明线段成比例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页如图 123，AD为ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AEAF，图 1 23 求证：EPFPACAB. 【思路探究】在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解【自主解答】如图，过C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N，AEAF，AMAC. AD为ABC的中线

4、，BDCD. 延长AD到G，使得DGAD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形ABGC. CMEF，EPMNFPCNAPAN，EPFPMNCN. 又ABGC，AMAC，GCAB，MNCNAMGCACAB. EPFPACAB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页1解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形2比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生3 利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助

5、平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，EPFPMNCNAMGCACAB. 已知如图12 4，ADBECF，EGFH，求证：ABACEGFH. 图 1 24 【证明】ADBECF，ABACDEDF，又EGFH，EGFHDEDF，ABACEGFH. 证明线段相等已知，如图125 在梯形ABCD中，ADBC，F为对角线AC上一点，FEBC交AB于E，DF的延长线交BC于H，DE的延长线交CB的延长线于G. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页图 1 25 求证：BCGH. 【思路探究】从复杂的图形中找出基本图形ABC和

6、DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可【自主解答】FEBC，EFBCAEAB，EFGHDFDH. ADEFBH，AEABDFDH. EFBCEFGH. BCGH. 1解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式2应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题(1) 作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2) 如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3) 要注意“中间量”的运用与转化(2013信阳模拟) 如图 1 26 所示，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA、CD的延长线相交于点O，EFBC且EF过点P. 精选

7、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页图 1 26 求证： (1)EPPF；(2)OP平分AD和BC. 【解】(1) EPBC，EPBCAEAB. 又PFBC，PFBCDFDC. ADEFBC，AEABDFDC. EPBCPFBC，EPPF. (2) 在OEP中，ADEP，AHEPOHOP. 在OFP中，HDPF，HDPFOHOP. AHEPHDPF. 又由 (1) 知EPPF，AHHD. 同理BGGC. OP平分AD和BC. 平行线分线段成比例定理及推论的综合应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

8、总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页图 1 27 如图 127 所示，在梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD. (1) 求OEADOEBC的值；(2) 求证：1AD1BC2EF. 【思路探究】(1) 利用比例线段转化所求；(2) 证出EF2OE，再利用 (1) 的结果证明【自主解答】(1) OEAD，OEADBEAB. EFAD，ADBC，EFADBC，OEBCAEAB，OEADOEBCBEABAEABBEAEAB1. (2) 证明：ADBCEF，可得OFBCODBDOAACOEBC，故OFOE，即EF2OE. 由(1) 知，OEADOEBC1，

9、2OEAD2OEBC2. EFADEFBC2，1AD1BC2EF. 1本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页2运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等如图 128，M是?ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB延长线于N，若AE2，AD6. 求AFAC的值图 1 28 【解】ADBC，AFFCAENC，AFAFFCAEAENC. AEB

10、NAMMB1，AEBN. AFACAEAEBNBCAE2AEBC. AE2，BCAD6，AFAC222 615，即AFAC15. ( 教材第 10 页习题 1.2 第 4 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页图 1 29 如图 129，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EFAD. 假设EF作上下平行移动，(1) 如果AEEB12，求证： 3EFBC2AD；(2) 如果AEEB23，求证： 5EF2BC3AD；(3) 请你探究一般结论，即如果AEEBmn，那么可以得到什么结论(2011广东高考) 如图

11、1210 所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F分别为AD，BC上点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 _图 1210 【命题意图】本题以梯形为载体，主要考查平行线分线段成比例定理及其推论的应用【解析】如图，延长AD、BC交于点O，作OHAB于点H. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页xxh123，得x2h1，xh1xh1h234，得h1h2. S梯形ABFE12(34)h272h1，S梯形 EFCD12(23)h152h1，S梯形ABFES梯形EFCD75. 【答案】7

12、 5 1如图 1211，已知DEBC，则下列比例式成立的是( ) A.DAABACAEB.DEBCDAABC.EAABDAACD.DAABAEAC【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，DAACEAAB. 【答案】C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页图 1212 2如图 1212，已知ADDB45，DEBC，则ECAC等于( ) A.95B.54C.59D.49【解析】DEBC，ADDB45. ABDB95，DBAB59，又DBABECAC，ECAC59. 【答案】C 3如图 1213 所示，ABCD，AC与

13、BD相交于E，AEBE53，则DEEC _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页图 1213 【解析】ABCD，AEECBEDE，DEECBEAE35. 【答案】354如图 1214 所示，已知ab，AFBF35，BCCD3，则AEEC_. 图 1214 【解析】ab，AEECAGCD，AFBFAGBD. BCCD3，BC3CD，BD4CD. 又AFBF35，AGBDAFBF35，AG4CD35，AGCD125. AEECAGCD125. 【答案】125精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

14、结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页一、选择题图 1215 1如图 1215，梯形ABCD中，ADBC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F. 下列结论：ECCDEFAF；FGAGBGGD；AEAGBDDG；AFCDAEDE，其中正确的个数是( ) A1 B2 C 3 D4 【解析】BCAD，ECCDEFAF，AFAECDDE. 故正确BFAD，FGAGBGGD，故正确【答案】C 2如图 1216，E是?ABCD的边AB延长线上的一点，且DCBE32，则ADBF( ) 图 1216 A.32B.23C.52D.25【解析】CDAB，CDBEFDEF32，又A

15、DBC，BFADEFED. 由FDEF32得FDEFEF3 22，即EDEF52. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页ADBFEDEF52. 故选 C. 【答案】C图 1217 3如图 1217，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则BCBMABBN为 ( ) A.12 B 1 C.32 D.23【解析】ADBM，ABBNDMMN. 又DCAN，DMMNMCBM，DMMNMNMCBMBM. DNMNBCBM，BCBMABBNDNMNDMMNMNMN1. 【答案】B 图 1218 4如图 1218，已知AB

16、C中，AEEB 13，BDDC 21，AD与CE相交于F，则EFFCAFFD的值为 ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页【解析】过点D作DGAB交EC于点G，则DGBECDBCCGEC13.而AEBE13，即AEBEDGBE，所以AEDG，从而有AFFD，EFFGCG，故EFFCAFFDEF2EFAFAF12132. 【答案】C 二、填空题图 1219 5(2013焦作模拟 ) 如图 1219，已知B在AC上，D在BE上，且AB：BC2：1，ED：DB2：1，则AD：DF

17、 _. 【解析】如图，过D作DGAC交FC于G. 则DGBCEDEB23. DG23BC. 又BC13AC，DG29AC. DGAC，DFAFDGAC29. DF29AF. 从而AD79AF，AD：DF 7：2. 【答案】7 2 图 1220 6如图 1220，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页CD于E、F，且EFBC，若AD12，BC20，则EF_. 【解析】ADEFBC，EOADBEABCFCDFOAD，EOFO，而EOBCAEABABBE

18、AB，EOADBEAB，BC20，AD 12，EO201BEAB 1EO12，EO7.5 ，EF15. 【答案】15 三、解答题图 1221 7如图 1221，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15 cm，AF4 cm，求BE和DE的长【解】DEAC， 3 2. 又AD平分BAC， 1 2. 1 3，即AEED. DEAC，EFBC，四边形EDCF是平行四边形EDFC，即AEEDFC. 设AEDEFCx. 由EFBC得AEBEAFFC. 即x15x4x，解之得x16，x2 10(舍去 ) 所以DE6(cm) ，BE15 69(cm) 图 1222 精选学习资料 - - - - - - -

19、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页8如图 1222 所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BDDC，求证：AEFBECFA. 【证明】过A作AGBC，交DF于G点，如图所示AGBD，FAFBAGBD. 又BDDC，FAFBAGDC. AGDC，AGDCAEEC. AEECFAFB，即AEFBECFA. 图 1223 9如图 1223，ABBD于B，CDBD于D，连接AD，BC交于点E，EFBD于F，求证：1AB1CD1EF. 【证明】ABBD，CDBD，EFBD，ABEFCD，EFABDFBD，EFCDBFB

20、D，EFABEFCDDFBDBFBDDFBFBDBDBD1，1AB1CD1EF. 10某同学的身高为1.6 米，由路灯下向前步行4 米，发现自己的影子长为2 米，求这个路灯的高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页【解】如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB1.6 m ，PB2 m，BD4 m. ABCDPBPDABCDCDABPDPB1.6 2424.8(m) 即路灯的高为4.8 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页