高中数学必修一知识点总结.doc

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1、第一章 集合与函数概念一、集合1集合的含义及表示：元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。集合：一般地，我们把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。 集合的表示方法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。图示法：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。 自然语言。元素的特性：互异性，无序性，确定性。集合的分类 数集：x| 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。点集：（x，y）| 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。 （我们把不含任何元素的集合叫做空集，记

2、为，并规定：空集是任何集合的子集。） N：全体非负整数组成的集合成为非负整数集（或自然数集）。 N*（N+）：所有正整数组成的集合称为正整数集。特殊的数集 Z：全体整数组成的集合称为整数集。 Q：全体有理数组成的集合称为有理数集。 R：全体实数组成的集合称为实数集。2集合间的关系及其运算：子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作。如果集合，但存在元素，且,我们称集合A是集合B的真子集，记作。如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与

3、集合B相等，记作A=B。我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。若card（A）= n，则A的子集数为2n，真子集数为（2n-1），非空真子集数为（2n-2）。一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA,或xB。取法：皆要但不重复。性质：AB=BA , A=A , AA=A ,AAB ,BAB.交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA,且xB。取法：取公共部分。性质：AB=BA，A=，AA=A，ABA , ABB.补集：对于一个集合A

4、，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即。取法：U以内，A以外。性质： 摩根律：二、函数及其表示1.函数定义：一般地，我们有：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。3.函数的表示方法：解析法，图像法，列表法。4.函数解析式的求证： 零点式： 待定系数法 注意：二

5、次函数解析式的设法 顶点式： 一般式： 换元法5.定义域求法：给出优先；令函数解析式有意义；根据实际问题。6.函数值域的求法：观察法；配方法；换元法；根据单调性；方程法（根据判别式）；分离常数法数形结合（图像法）；复合函数求值法。7.分段函数：根据自变量的不同取值范围，将函数分别用不同的形式表示出来，这种函数叫做分段函数。注意：分段函数是一个函数而不是几个函数。8.区间：设是两个实数，而且，我们规定：满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为。这里的实数都叫做相应区间的端点。注意：实数集R可以用

6、区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为。9.映射：一般地，我们有：设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称为从集合A到集合B的一个映射。注意：定义中的关键词“任意”、“唯一”；集合A中的元素可以多对一，不能一对多；集合A中的元素必有象，B中元素可以没原象；映射与一般是不同的；联系：函数是映射的特殊情况，映射是函数的推广。规定：若是从A到B的映射，那么与A中元素对应的B中的元素b叫做的象，叫做b的原象。A中元素在B中必有象，且有唯一

7、象；B中元素不一定有原象。规律：设A中有m个元素，B中有n个元素，则从A到B可以构成nm个映射。三、函数的基本性质1.单调性：一般地，设函数的定义域为I：增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上时增函数。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上时减函数。2.判断函数单调性的方法：图像法；直接法；定义法。3.求函数单调性的步骤：取值；作差；判断符号；得出结论。（注意：求单调区间时应先求定义域。）4.复合函数单调性：同增异减。5.奇偶性：一般地，对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函

8、数。一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数。6.复合函数奇偶性：全奇则奇，全偶则偶。7.证明函数奇偶性的步骤：求函数定义域；求的值；比较与的关系；得出结论。8.在奇函数中，或没有意义。9.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。10.奇函数在对称区间上是有相同的单调性，相反的最值；偶函数在对称区间上是有相反的单调性，相同的最值。11.对称性：关于直线对称；关于直线对称。 关于点对称；关于点对称。12.周期性： 周期为T 周期为2T （为常数，且） 周期为2T13.平移规则： 左加 右减 上加 下减第二章 基本初等函数（）指数与指数幂的运算1一般地，如果，那

9、么x叫做的次方根，其中，且2 n为奇数：的次方根有一个。记作.为负数 n为偶数：负数没有偶次方根。 n为奇数：的次方根有一个。记作.为正数 n为偶数：的次方根有两个。记作.0的次方根为0.记作=0.3根式的性质：为奇数时， 为偶数时， 4正数的正分数指数幂的意义：.正数的负分数指数幂的意义：.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。5有理数指数幂的运算性质：;.指数函数1一般地，函数y=ax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。2一般地，指数函数y=ax（a0,且a1）的图像和性质如下表所示。0a1a1图 像定义域R值 域（0，+）性 质过定点（0，1），即

10、x=0时，y=1在R上是减函数在R上是增函数当x0时，y1当x0时，0y1当x0时，0y1当x0时，y13判断指数函数的底数大小的方法：在第一象限内，从x轴开始，逆时针方向查找，先看到的图像底数最小，最后看到的图像底数最大。4注意：指数函数只能为一个自变量的形式；底数必须大于零且不等于一；幂的系数只能为一。5规定a0,且a1的原因：当a0时，如a=-2,x=1/2时，则该式无意义；当a=0时，0x中当x0时，该式无意义；当a=1时，1x=1没有研究价值。对数与对数的运算1 一般地，如果ax=N（a0,且a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。2

11、 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln N.3 零和负数没有对数。对数的性质 loga1=0 logaa=14 对数与指数间的关系：当a0，a1时，ax=Nx= logaN5名称辨别：式 子名 称abc指数式ab=N底数指数幂对数式b=logaN底数对数真数5 对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(MN)=logaM+logaN =logaM-logaN =nlogaM (nR) =logab =N logaaN=N logab

12、= (c0,且c1）6 引申：logablogbclogcdlogde=logaelogablogba=1logab +log=0logab =对数函数1 一般地，我们把函数y=logax（a0,且a1）叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）。2 一般地对数函数y=logax（a0,且a1）的图像和性质如下表所示。0a1a1图像定义域（0，+）值域R性质过定点（1，0），即x=1时y=0在（0，+）上是减函数在（0，+）上是增函数当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y03 补充：关于x轴对称点（a,-b）M(a,b) 关于y轴对称点（-a,b）关于原点对称点

13、（-a,-b）关于直线y=x对称点（b,a）4 当底数相同时，指数函数与对数函数互为 反函数 反函数。互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称。幂函数1 一般地，函数y=x叫做幂函数。其中x是自变量，是常数。2 规定：=1或2或3或1/2或-13 所有幂函数在区间（0，+）上都有意义，并且函数图像都过点（1，1）。幂函数y=x的性质 若0，幂函数图像都过点（0，0），（1，1），并且在区间0，+）上是增函数。 若0，幂函数在（0，+）上是减函数，当x从右方趋向于0时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x轴趋向于+时，图像在x轴上方无限逼近x轴。4.y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR0，

14、+）（-，0）（0，+）值 域R0，+）R0，+）（-，0）（0，+）奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数（-，0减函数0，+）增函数增函数增函数减函数（-，0）（0，+）公共点均过点（1，1），且前四个图像还均过点（0，0）5.图像.y=x1 y=x2y=x3y=x-1第三章 函数与方程一、方程的根与函数的零点1.关于x的实系数一元二次方程，设， 方程有根的等价条件是x0；恒成立的等价条件是 ；恒成立的等价条件是 ；一根为正，一根为负的等价条件是 ；两根为正的等价条件是 ；两根为负的等价条件是 ；一根为正，一根为零的等价条件是 ；一根为负，一根为零的等价条件是 ；两根均大于

15、m的等价条件是 ；两根均小于m的等价条件是 。2.设判别式，则有：当时，一元二次方程有两个不等的实数根，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点；当时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点；当时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点。3.零点：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点。4.方程有实数根函数的图像与x轴有交点函数有零点。5.求函数零点的方法：代数法（解方程）；几何法（图像法）；6.求函数零点的步骤：令；解方程；写出零点。7.一般地，我们有：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得

16、，这个c也就是方程的根。二、用二分法求方程的近似解1.二分法：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：确定区间，验证，给定精确度；求区间的中点c；计算；若，则c就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）。判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或b）；否则重复第步。三、函数模型及其应用1.常数函数不增长；2.一次函数匀速增长；3. 函数增长，增长速度因的不同而不同；4. 函数增长，增长速度越来越快，最后成爆炸式增长；5.函数增长，增长速度越来越慢，最后几乎不增长。6.当时，总会存在一个，当时，有。7.当时，总会存在一个,当时，有。8.利用现有函数模型解决实际问题；建立确定的函数模型解决问题；建立拟合函数模型解决问题。