解析几何知识点总结.doc

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1、解析几何知识点总结 第一部分:直线一、 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围：（0,180）2.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan（1）.倾斜角为90的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过A（x1,y1）和B（x2,y2）两点的直线的斜率为K， 则当X1X2时，k=tan=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，=90；斜率不

2、存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2. 斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为，斜率为，则直线方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1X2，y1y2）则直线的方程：；注意：不能表示与x轴和y轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式时，方程可

3、以适应在于任何一条直线。4截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是a，b（a0，b0）则直线方程：；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。三、 两条直线的位置关系位置关系平行，且(A1B2-A2B1=0)重合，且相交垂直设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；五、 点到直线的距离公式：1. 点P(X0，Y

4、0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为：；2.两平行线L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0的距离为：；六、直线系：（1）设直线L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，经过L1,L2的交点的直线方程为（除去L2）；如：Y=kx+1y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与x=0的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。直线L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点 。（2）和L:Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0（3）与L:Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个

5、对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a.b）关于C（c,d）的对称点（2c-a,2d-b）直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用L1/L2由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点关于直线对称的坐标。直线关于直线对称：（设关于对称）、若

6、a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若aL，则bL，且a.b与L的距离相等。、求出a上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。如：求直线关于对称的直线的方程。第二部分：圆与方程2.1圆的标准方程：圆心，半径特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.2.2点与圆的位置关系： 1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr 2.给定点及圆.在圆内 在圆上 在圆外2.3 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（

7、称虚圆）.注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径2.4 直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(1)；(2)；（3）。2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 外离 外切 相交 内切 内含2.6 圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线

8、有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7圆的弦长问题：半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：第三部分:椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2标准方程： 焦点在x轴上：（ab0）； 焦点F（c，0）焦点在y轴上：（ab0）； 焦点F（0, c） 注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：或者 二

9、椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆（ab0） 横坐标-axa ,纵坐标-bxb （2）椭圆（ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4离心率 我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（）， e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;e越接

10、近于1 （e越大），椭圆越扁；5椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质 （1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：其中7直线与椭圆的位置关系：(1) 判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：(2) 弦中点问题:（用点差法解决）斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点，则：(3) 弦长公式：第四部分：双曲线双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲

11、线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP范围，对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0, ,) (0，)离心率1)重要结论（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）（2）焦点三角形：渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程（）（）补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；（2）其标准方程为其中C0；（3）离心率；（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；第五部分：抛物线知识点总结图象xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准

12、线。=点M到直线的距离范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程焦点到准线的距离焦半径焦点弦 长1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k0时， 0，直线与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线与抛物线相切，一个切点； 0，直线与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线： 抛物线， 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得a. 在涉及斜率问题时，b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为， 即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）- 10 -