2022年高考数学立体几何题怎么解 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高三数学专题（七）立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有4道 ( 客观题 3 道, 主观题 1道), 共计总分 27 分左右 ,考查的知识点在20 个以内 . 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然 , 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施 , 立体几何考题正朝着” 多一点思考 , 少一点计算 ” 的发展 . 从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证, 角与距离的探求是常考常新的热门话题. 例 1 四棱锥 PABCD 的底面是边长为a 的正方形， PB面 ABCD. （1）若面

2、PAD 与面 ABCD 所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于90讲解 :（1）正方形ABCD 是四棱锥PABCD 的底面 , 其面积为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了. PB面 ABCD, BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影 .又 DA AB ，PADA ， PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角，PAB=60. 而 PB 是四棱锥PABCD 的高， PB=AB tg60=3a, 3233331aaaV锥. （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与 PCD 恒为全等三角形. 作 A

3、EDP，垂足为 E，连结 EC，则 ADE CDE，C E AC E DCEAE故,90,是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角. 设 AC 与 DB 相交于点O，连结 EO，则 EOAC，.22aADAEOAa在. 0)2)(2(2)2(cos,2222AEOAAEOAAEECAEOAECAEAECAEC中故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于90 . 本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性 , 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.例 2如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形， ACB=900

4、， AC=1 ，A1B1C1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载C 点到 AB1的距离为CE=23，D 为 AB 的中点 . （1）求证： AB1平面 CED；（2）求异面直线AB1与 CD 之间的距离；（3）求二面角B1 ACB 的平面角 . 讲解 :（ 1） D 是 AB 中点， ABC 为等腰直角三角形，ABC=900， CD AB 又AA1平面 ABC ， CDAA1. CD平面 A1B1BA CDAB1，又 CEAB1， AB1平面 CDE；（2）由 CD平面 A1B1BA CDDE AB

5、1平面 CDE DEAB1 DE 是异面直线AB1与 CD 的公垂线段CE=23，AC=1 , CD=.2221)()(22CDCEDE；（3）连结 B1C，易证 B1CAC，又 BCAC , B1CB 是二面角B1AC B 的平面角 . 在 RtCEA 中， CE=23，BC=AC=1, B1AC=600 260cos121AB，2)()(2211ABABBB, 211BCBBCBBtg, 21arctgCBB. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然 , 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石. 例 3如图 al是 120的二面角， A，B 两点在棱上， AB=2，D 在内，

6、三角形ABD 是等腰直角三角形，DAB= 90， C 在内，ABC 是等腰直角三角形ACB=.900（I） 求三棱锥 DABC 的体积；（2）求二面角DACB 的大小；（3）求异面直线AB、CD 所成的角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载讲解 :(1) 过 D 向平面做垂线，垂足为O，连强 OA 并延长至E. DAEOAABDAOAADAB,上的射影在平面为为二面角al的平面角 .60,120DAODAE3,2DOABAD. ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2., 1ABCS又 D 到平面

7、的距离 DO=.3.33ABCDV（2） 过 O 在内作 OMAC,交 AC 的反向延长线于M,连结 DM.则 ACDM . DMO 为 二 面 角DACB的 平 面 角 . 又 在DOA中 ， OA=2cos60 =1. 且.22,45OMCAEOAM.6.6arctgDMODMOtg（ 3）在平在内，过C 作 AB 的平行线交AE 于 F，DCF 为异面直线AB、CD 所成的角. A C FC A FDFCFAFCFAFAB即又,45,为等腰直角三角形，又AF 等于 C 到 AB 的距离，即 ABC 斜边上的高 ,. 1CFAF.7.7.7120cos2222DCFtgCFDFDCFtgA

8、FADAFADDF异面直线 AB,CD 所成的角为arctg.7比较例 2 与例 3 解法的异同 , 你会得出怎样的启示? 想想看 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载例 4 在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图 若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器， 如图 则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值图图讲解 : 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为xa32, )32)(32(343

9、4143)320()32(43)(2xaxaxaxxaxxV54)3323234(16133axaxax. 当且仅当.54,183,32343maxaVaxxax时即. 故当容器的高为a183时，容器的容积最大，其最大容积为.543a对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与20XX 年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是 : 某企业设计一个容积为V 的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径 r 和圆柱的高h 为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例 5 已知三棱锥PABC

10、中， PC底面 ABC ，AB=BC ，D、F 分别为 AC 、PC 的中点， DE AP 于 E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载（1）求证： AP平面 BDE ；（2）求证：平面BDE 平面 BDF；（3）若 AE EP=12，求截面BEF 分三棱锥PABC 所成两部分的体积比讲解 : (1） PC底面 ABC ，BD平面 ABC ， PCBD 由 AB=BC ， D 为 AC 的中点， 得 BDAC 又 PCAC=C ， BD平面 PAC 又 PA平面、 PAC， BDPA由已知DEPA，D

11、EBD=D ， AP平面 BDE（ 2）由 BD平面 PAC，DE平面 PAC，得 BD DE由 D、F 分别为 AC 、PC 的中点，得 DF/AP 由已知， DEAP， DEDF. BD DF=D ， DE平面 BDF 又DE平面 BDE ，平面BDE 平面 BDF （ 3）设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为h1和 h2则h1h2=EPAP=2 3, .31232313121PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFPShShVVVV故截面 BEF 分三棱锥PABC 所成两部分体积的比为12 或 21 值得注意的是, “ 截面 BEF 分三棱锥PABC 所成两部分的体积比”

12、并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种” 会而不全 ” 的错误 . 例 6已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线 . （1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积讲解 : （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：Rl2, 即21cos1lRACO, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载所以母线和底面所成的角为.600（2）设截面与圆锥侧面的交线

13、为MON ，其中 O 为截面与AC 的交点，则OO1/AB 且.211ABOO在截面 MON 内，以 OO1所在有向直线为y 轴， O 为原点，建立坐标系，则O 为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=2py，点 N 的坐标为（ R， R） ，代入方程得R2=2p（ R） ，得 R=2p，l=2R=4p. 圆锥的全面积为22221248pppRRl. 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意 , 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题 : 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为 1，则该几何体的体积等于例 7 如图，几何体ABCDE

14、中， ABC 是正三角形， EA 和 DC 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a ， DC=a，F、 G 分别为 EB 和 AB 的中点 . （1）求证： FD平面 ABC ；（2）求证： AFBD ；(3) 求二面角BFCG 的正切值 . 讲解 : F、G 分别为 EB、AB 的中点，FG=21EA，又 EA、DC 都垂直于面ABC, FG=DC，四边形 FGCD 为平行四边形，FD GC，又 GC面 ABC ，FD面 ABC. （ 2） AB=EA ，且 F 为 EB 中点， AFEB 又 FGEA，EA面 ABC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

15、 - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载FG面 ABC G 为等边 ABC ，AB 边的中点， AG GC. AFGC 又 FDGC， AFFD 由、知AF面 EBD ，又 BD面 EBD， AFBD. （3）由（ 1） 、 （2）知 FGGB，GCGB， GB面 GCF. 过 G 作 GH FC，垂足为H，连 HB ， HB FC. GHB 为二面角B-FC-G 的平面角 . 易求33223,23aaGHBtgaGH. 例 8 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1， P、 Q 分别是线段AD1和 BD 上的点，且D1PPA=DQQB=512. (1) 求证

16、PQ平面 CDD1C1；(2) 求证 PQAD；(3) 求线段 PQ 的长 . 讲解 : （ 1）在平面AD1内，作 PP1AD 与 DD1交于点 P1，在平面AC 内，作QQ1BC 交 CD 于点 Q1，连结 P1Q1. 1251QBDQPAPD, PP1/QQ1 .由四边形 PQQ1P1为平行四边形, 知 PQP1Q1而 P1Q1平面 CDD1C1，所以 PQ平面 CDD1C1（ 2）AD 平面 D1DCC1，AD P1Q1又 PQP1Q1，AD PQ.（ 3）由（ 1）知 P1Q1/PQ, 125QBDQCQDQ11，而棱长 CD=1. DQ1=175. 同理可求得P1D=1712. 在

17、 RtP1DQ1中，应用勾股定理, 立得P1Q1=1713175171222221DQDP.做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q 分别是 BD,1AD上的动点 ,试求PQ的最小值 , 你能够应用函数方法计算吗? 试试看 . 并与如下20XX 年全国高考试题做以对照, 你精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载会得到什么启示? 如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在 AC上移动，点N 在 BF 上移动，若CM=BN=a).20(a（1）求 MN 的长；（2）当a为何值时， MN 的长最小；（3）当 MN 长最小时，求面MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本 , 熟化知识 , 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关. AFBEDCMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页