2022年高考文科数学圆锥曲线专题复习 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名 称椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆 即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是椭圆，当2a 2c时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段21FF当 2a2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即122MFMFa当 2a2c时，轨迹是双曲线当 2a2c时，轨迹是两条射线当 2a2c时，轨迹不存在标准方 程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标

2、轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay常数cba,的关系222bca，0ba，a最大，bcbcbc,222bac，0acc最大，可以bababa,渐近线焦点在x轴上时：0 xyab焦点在y轴上时：0yxab抛物线：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页优秀教案欢迎下载图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0,2(p)0 ,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py（一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程

3、)0( 12222babyax（1）范围：axb-a，xa，椭圆落在bya，x组成的矩形中。（2）对称性 : 图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。 x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0,(),0 ,(2aAaA，),0(),0(2bBbB。加两焦点)0,(),0 ,(21cFcF共有六个特殊点。21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴。长分别为ba 2,2。ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。（

4、4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ace2)(1abe。10e。椭圆形状与e的关系：0,0 ce，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例。, 1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为是椭圆在1e时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个) 1 ,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，

5、下准线cayl21:；上准线cayl22:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页优秀教案欢迎下载焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x a,x a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。（2）顶点顶点：0,),0,(21aAaA，特殊点：bBbB, 0), 0(21实轴：21

6、AA长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴：21BB长为 2b，b 叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（3）渐近线过双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率范围： e1 双曲线形状与e 的关系：1122222eacaacabk， e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知， 双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质： （1）渐近线方程为：xy； （2）渐近线

7、互相垂直； （3）离心率2e。 3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0( 1)()(2222kkbykax或写成2222byax。 4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量 a,b,c中 a,b 不同（互换） c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1 变为 1。 5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直

8、线叫做双曲线的准线。常数e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页优秀教案欢迎下载对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:， 相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；焦点到准线的距离cbp2（也叫焦参数） 。对于12222bxay来说，相对于下焦点), 0(1cF对应着下准线cayl21:； 相对于上焦点), 0(2cF对应着上准线cayl22:。（三）抛物线的几何性质（1）范围因为 p0，由方程022ppxy可知，这条抛

9、物线上的点M的坐标（ x，y）满足不等式x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性以 y 代 y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程022ppxy中，当y0 时， x0，因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点。（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。由抛物线的定义可知， e1。【典型例题】例 1. 根据下列条件，写出椭圆方程（1）中心在原点、以对称轴为坐标

10、轴、离心率为1/2 、长轴长为8；（2）和椭圆9x24y236 有相同的焦点，且经过点（2， 3） ；（3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是510。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2 b2c2 及已知条件确定 a2、 b2 的值进而写出标准方程。解： （1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页优秀教案欢迎下载因此有两解：112x16y112y16x2222或（ 2）焦点位置确定，且为（0，

11、5） ，设原方程为22221yxab, （ ab0） ，由已知条件有14952222baba10,1522ba，故方程为110 x15y22。（3）设椭圆方程为12222byax, （ab0）由题设条件有510cacb及 a2b2c2，解得 b10,5 a故所求椭圆的方程是15y10 x22。例 2. 直线1kxy与双曲线1322yx相交于 A 、B两点，当a为何值时， A 、B在双曲线的同一支上？当a为何值时， A、 B分别在双曲线的两支上？解：把1kxy代入1322yx整理得：022)3(22axxa（ 1）当3a时，2424a由0 得6a6且3a时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若

12、 A、B在双曲线的同一支，须32221axx0，所以3a或3a。故当36a或63a时， A、B两点在同一支上；当33a时， A、B两点在双曲线的两支上。例 3. 已知抛物线方程为)1x(p2y2（p0） ，直线myxl :过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求 p 的值。解：设l与抛物线交于1122(,),(,),|3.A xyB xyAB则由距离公式 |AB| |yy|2|yy|k11)yy()x-(x21212221221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页优秀教案欢迎下载则有2129().2yy由02y

13、x，) 1(221222ppy，xpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp从而212212214)()(yyyyyy即294)2(22pp由于 p0，解得43p例 4.过点 (1 ，0) 的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆 C相交于 A、B两点，直线 y=21x 过线段 AB的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆 C的方程. 解法一：由e=22ac, 得21222aba, 从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 . 则 x12+2y12=2b

14、2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设 AB中点为 (x0,y0),则 kAB= 002yx, 又(x0,y0)在直线 y=21x 上， y0=21x0, 于是002yx=1,kAB=1, 设 l 的方程为y=x+1. 右焦点 (b,0) 关于 l 的对称点设为(x ,y ), byxbxybxy111221解得则由点 (1,1 b) 在椭圆上，得1+2(1 b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求椭圆C的方程为2291698yx =1,l的方程为y=x+1. 解法二：由e=21,22222aba

15、ac得, 从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x 1), 将 l 的方程代入C的方程，得 (1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0, BAy=12xoyxF2F1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页优秀教案欢迎下载则 x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=2212kk. 直线 l ：y=21x 过 AB的中点 (2,22121yyxx), 则2222122121kkkk, 解得 k=0，或 k=1. 若

16、 k=0, 则 l 的方程为y=0, 焦点 F(c,0) 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C上，所以k=0 舍去，从而k=1，直线 l 的方程为y=(x 1), 即 y=x+1, 以下同解法一. 解法 3：设椭圆方程为)1( )0(12222babyax直线l不平行于y 轴，否则AB中点在 x 轴上与直线ABxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1( xkyl的方程为整理得：消代入y)1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxByxA，设，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(212121221xxkk，21

17、2222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，222ba此时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1(241622bb33b，)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，)0( ，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，则byxbxybxy112121000000，得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的椭圆方程为：11698922yx例 5.如图，已知 P1OP2的面积为427，P为线段 P1P2的一个三等分点

18、，求以直线OP1 、OP2为渐近线且过点 P的离心率为213的双曲线方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页优秀教案欢迎下载解：以 O为原点， P1OP2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222byax=1(a0,b 0) 由 e2=2222)213()(1abac，得23ab. 两渐近线OP1 、 OP2方程分别为y=23x 和 y=23x 设点 P1(x1, 23x1),P2(x2,23x2)(x1 0,x2 0), 则由点 P分21PP所成的比 =21PPPP=2, 得 P点坐标

19、为 (22,322121xxxx), 又点 P在双曲线222294ayax=1上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1, 即(x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2, 整理得 8x1x2=9a2 ,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349| ,21349|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即 x1x2= 29由、得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1. 例 6. 已知点 B（ 1，0） ，C（1，0） ，P是平面上一动点，且满足.|

20、CBPBBCPC（1）求点 P的轨迹 C对应的方程；（2）已知点 A（m,2）在曲线 C上，过点 A作曲线 C的两条弦 AD和 AE ，且 AD AE ，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论. （3） 已知点 A （m,2） 在曲线 C上，过点 A作曲线 C的两条弦AD ， AE ， 且 AD ， AE的斜率 k1、 k2 满足 k1 k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点. 解： （1）设.4,1)1(|),(222xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入oyxPP2P1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共

21、14 页优秀教案欢迎下载).2, 5(),5(12,0)2()5()2(),14(444424:).24, 14(4),1(12:).24, 14(,242,0484,4)1(2).2, 1(, 14)2,()2(222222221222过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将xkkyyxkykkxkkkkkyDEkkExyxkyAEkkDkyykykyxyxkyADAmxymA),1,(21212,2,0)2(24),(),(, 14)2,()3(212211222211112xxxyxykkbxkbxkxybkxyyxEyxDbkxyDEmx

22、ymAAEAD得由的方程为设直线得代入将)2, 1(,),2, 1(,2)1(22).2, 1(,2)1(22).2().2(,)2(,)2(2, 02)2()(22()2(,2222212212212122211定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且xkkkxybkxykbxkkkxybkxykbkbkbkbkbxxkkbxxbxxkkbxxkbkxybkxy【模拟试题】 （答题时间： 50 分钟）一、选择题 1. 是任意实数，则方程4sin22yx所表示的曲线不可能是（） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 2. 已知椭121)(1222tyx的一条准线方程

23、是8y，则实数t的值是（） A. 7或 7 B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0 3. 双曲线1422kyx的离心率)2, 1 (e，则k的取值范围为（） A. )0 ,( B. （ 12，0） C. （ 3，0） D. （ 60， 12）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页优秀教案欢迎下载 4. 以112422yx的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A. 1121622yxB. 1161222yx C. 141622yxD. 116422yx 5. 抛物线28mxy的焦点坐标为（） A. )0,8

24、1(mB. )321,0(mC. )321,0(mD. )0 ,321(m 6. 已知点 A（ 2，1） ，xy42的焦点为F，P是xy42的点，为使PFPA取得最小值，P点的坐标是（） A. )1 ,41( B. )22 ,2( C. )1,41( D. )22, 2( 7. 已知双曲线的渐近线方程为043yx，一条准线方程为095y，则双曲线方程为（） A. 116922xyB. 116922yx C. 125922xyD. 125922yx 8. 抛物线2xy到直线42yx距离最近的点的坐标为（） A. )45,23(B. )1 ,1 (C. )49,23(D. )4,2( 9. 动圆的

25、圆心在抛物线xy82上，且动圆与直线02x相切，则动圆必过定点（） A. （4， 0） B. （ 2，0） C. （0，2） D. （0， 2） 10 中心在原点，焦点在坐标为(0 ， 52) 的椭圆被直线3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( ) 12575D.17525C.1252752B.1752252A.22222222yxyxyxyx二、填空题 11. 到定点（ 2，0）的距离与到定直线8x的距离之比为22的动点的轨迹方程为_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页优秀教案欢迎下载 12

26、.双曲线2222mymx的一条准线是1y，则m_。 13. 已知点（ 2， 3）与抛物线)0(22ppxy的焦点距离是5，p_。 14 直线l的方程为y=x+3, 在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_。三、解答题 15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F （2， 0） 作斜率为53的直线， 交双曲线于M 、 N 两点，且MN4，求双曲线方程。 16. 过椭圆13422yx的左焦点F作直线l交椭圆于P、Q，2F为右焦点。求：22QFPF的最值 17. 已知椭圆的一个焦点为F102 2()， 对应的准线方程为y9 24， 且

27、离心率e满足23，e、43成等比数列。（1）求椭圆的方程。（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M 、N，且线段 MN恰被直线x12平分？若存在，求出l的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。 18. 如图所示， 抛物线 y2=4x 的顶点为O， 点 A的坐标为 (5，0) ， 倾斜角为4的直线 l 与线段 OA相交 ( 不经过点 O或点 A)且交抛物线于M 、N两点，求 AMN 面积最大时直线l 的方程，并求AMN 的最大面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页优秀教案欢迎下载【试题答案】 1.

28、 C 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. B 9. B 10.C 11. 13672)4(22yx 12. 3413. 4 14.4522yx =1 15. 解：设所求双曲线方程为1byax2222（a0，b0） ，由右焦点为（2，0） 。知 c2，b24a2 则双曲线方程为142222byax，设直线MN的方程为：)2(53xy，代入双曲线方程整理得：（208a2） x212a2x5a432a20 设 M （x1,y1 ）,N（x2,y2 ）, 则222182012aaxx22421820325aaaxx212124531xxxxMN48203254820125

29、8224222aaaaa解得：12a，3142b故所求双曲线方程为：1322yx16. 解：直线l：sin0cos1tytx为参数P、Q为l与椭圆的交点13)sin(4)tan1(22t221221cos49cos4cos6tttt11111122)(416)4)(4(QFPFQFPFQFPFQFPFz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页优秀教案欢迎下载2222121cos43916cos49cos412416416tttt1cos2时0cos;3z2min时425maxz 17. 解： （1）依题意，2343，

30、，e成等比数列，可得e2 23设 P（xy，）是椭圆上任一点依椭圆的定义得xyy22229 242 23()|化简得9922xy即xy2291为所求的椭圆方程（2）假设l存在因l与直线x12相交，不可能垂直x轴所以设l的方程为：ykxm由ykxmxy9922消去y得，9922xkxm()()()kxkmxm2229290有两个不等实根4499090222222k mkmmk()()设两交点M 、 N的坐标分别为()()xyxy1122，xxkmk12229线段 MN恰被直线x12平分12212xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13

31、 页，共 14 页优秀教案欢迎下载即2912kmkk0mkk292代入mk2290得kkkkkkkkk22222229290909410333()或直线倾角的范围为32223，解：由题意，可设l 的方程为y=x+m,5m 0. 由方程组xymxy42, 消去 y, 得 x2+(2m4)x+m2=0直线 l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，方程的判别式=(2m4)2 4m2=16(1m)0, 解得 m 1, 又 5m 0, m的范围为 (5，0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42m ，x1x2=m2, |MN|=4)1(2m. 点 A到直线 l 的距离为 d=25m. S =2(5+m)m1, 从而 S2=4(1 m)(5+m)2 =2(2 2m)(5+m)(5+m) 2(35522mmm)3=128. S 82, 当且仅当22m=5+m, 即 m= 1 时取等号 . 故直线 l 的方程为y=x1， AMN 的最大面积为82. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页