求函数值域的普通方法.doc

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1、.求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为

2、.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 例1、求函数y=的值域 解： 显然函数的值域是： 例2、求函数y=2的值域。 解： 0 0 22故函数的值域是：-，2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。 解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x-1，2，由二次函数的

3、性质可知： 当x=1时，y =4 当x=-1，时=8 故函数的值域是：4，8 例4、求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，所以，的值域为.3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解：恒成立，函数的定义域为R. 由 得。 当即时，； 当即时，时，方程恒有实根. 且.原函数的值域为.例6、 求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1） xR，=4（y+1）-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-x）0，得：0x2。由0，仅保证关于x的方程：2-

4、2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为，。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=0，2，即当=时，原函数的值域为：0，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法 适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反

5、解出x,从而便于求出反函数。反解得 即知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。例8、求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=0，0 解得：-1y1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：sinx（x+）=3y 即 sinx（x+）= xR，sinx（x+）-1，1。即-11解得：-y 故函数的值域为-，。6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原

6、理：同增异减）例10、求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。例11、 求函数y= （2x10）的值域解：令y=，=，则 y ，在2，10上都是增函数。所以y= y +在2，10上是增函数。当x=2时，y =+=， 当x=10时，= +=33。故所求函数的值域为：，33。例12、求函数y=-的值域。解：原函数可化为： y=令y =，= ，显然y，在1，+）上为无上界的增函数，所以y= y +在1，+）上也为无上界的增函数。 所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。显然y0，

7、故原函数的值域为(0,。7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例13、求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，（t0）则x=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t0时，y+。 故函数的值域为1，+）。例14、求函数y=x+2+的值域 解：因1-0，即1 故可令x+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1 =sin（+/4）+10，0+/45/4 -sin（+/4）1 0s

8、in（+/4）+11+。 故所求函数的值域为0，1+。例15、求函数 y=的值域解：原函数可变形为：y=- 可令x=tg，则有=sin2，=cos2 y=-sin2 cos2=-sin4 当=k/2-/8时，=。 当=k/2+/8时，y=- 而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-，。例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x-/12/2的值域。解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1） y=（-1）+t+1= 由t=sinx+cosx=sin（x+/4）且x-/12，/2 可得：t 当

9、t=时，=+，当t=时，y=+ 故所求函数的值域为+，+。例17、求函数y=x+4+的值域 解：由5-x0，可得x 故可令x=cos，0， y=cos+4+sin=sin（+/4）+4 0， /4+/45/4 当=/4时，=4+，当=时，y=4-。故所求函数的值域为：4-，4+。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域。 解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-

10、8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为：10，+）例19、求函数y=+ 的值域 解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=AB=， 故所求函数的值域为，+）。例20、求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：（1）当点P在x轴上且

11、不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP-BPAB= 即：-y （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 AP-BP=AB= 。 综上所述，可知函数的值域为：（-，-。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原

12、函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线Bx和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：）其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例22、 求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域解：原函数变形为： y=（+）+1/+1/=1+ +=3+ 3+2 =5当且仅当tgx=ctgx，即当x=k/4时（kz），等号成立。故原函数的值域为：5

13、，+）。例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4cosx=16=8（2-2）8（+2- ）=8（+2- ）/3=当且当=2-2，即当=时，等号成立。由，可得：-y故原函数的值域为：-，）。例24、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。分析与解：因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取”=”当时取得最小值12。例25、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）。A B 4 C 2 D 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。10、导数法 设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最

14、小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例26、求函数,的最大值和最小值。解: ,令,方程无解. 函数在上是增函数.故当时, ，当时, 例27、求函数的最值.解析: 函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，函数递增,时，函数递减,故有最大值.【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究

15、：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.11、多种方法综合运用例28、求函数y=的值域解：令t= （t0），则x+3=+1（1） 当t0时，y=， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号所以0y。（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：0，。注：先换元，后用不等式法。例29、求函数y=的值域。 解：y=+=+令x=tg，则=，=sin，y=+sin=-+ sin+1 =-+当sin=时，=。当sin=-1时，y=-2。此时tg都存在，故函数的值域为：2

16、，。注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。学生巩固练习 1 函数y=x2+ (x)的值域是( )A(,B,+C,+D(,2 函数y=x+的值域是( )来源:学+科+网Z+X+X+KA (,1B (,1C RD 1,+3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_小时(不计货车的车身长) 4 设

17、x1、x2为方程4x24mx+m+2=0的两个实根，当m=_时，x12+x22有最小值_ 5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5xx2(万元)(0x5),其中x是产品售出的数量(单位 百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1来源:学科网(1)若f(x)的定义域为(,+)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(,+),求实数a的取值范围 7

18、 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在RtABC中，C=90，以斜边AB所在直线为轴将ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，ABC的内切圆面积为S2，记=x (1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域 (2)求函数f(x)的最小值 参考答案 1 解析 m1=x2在(,）上是减函数，

19、m2=在(,）上是减函数，y=x2+在x(,)上为减函数,y=x2+ (x)的值域为，+ 答案 B2 解析 令=t(t0),则x= y=+t= (t1)2+11值域为(,1 答案 A3 解析 t=+16()2/V=+2=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2=,来源:Zxxk.Comx12+x22=(x1+x2)22x1x2=m2=(m)2,又x1,x2为实根，0 m1或m2，y=(m)2在区间(,1）上是减函数，在2，+上是增函数，又抛物线y开口向上且以m=为对称轴 故m=1时，ymin= 答案 1 5 解 (1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成

20、本C(x)之差，由题意，当x5时，产品能全部售出，当x5时，只能销售500台，所以y=(2）在0x5时，y=x2+4 75x0 5,当x=4 75(百台）时，ymax=10 78125(万元），当x5(百台）时，y120 255=10 75(万元），所以当生产475台时，利润最大 (3）要使企业不亏本，即要求解得5x4 750 1(百台）或5x48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本 6 解 (1）依题意(a21）x2+(a+1)x+10对一切xR恒成立，当a210时，其充要条件是，a1或a 又a=1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意 故a1或a为所求 (2）

21、依题意只要t=(a21)x2+(a+1)x+1能取到(0，+）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有,解得1a,又当a21=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=1时不合题意，1a为所求 7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得 x+y+z=360x0,y0,z60 假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件之下，为求目标函数S的最大值，由消去z,得y=3603x 将代入得 x+(3603x)+z=360,z=2x z60,x30 再将代入S中，得S=4x+3(3603x)+22x,即S=x+1080 由条件及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为来源:学科网S=30+1080=1050(千元） 得x=30分别代入和得y=36090=270,z=230=60 每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元 8 解 (1）如图所示 设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,S1=ah+bh=,f(x)=又 代入消c，得f(x)= 在RtABC中，有a=csinA,b=ccosA(0A,则x=sinA+cosA=sin(A+) 1x (2)f(x)= +6,设t=x1,则t(0, 1),y=2(t+)+6在(0，1上是减函数，当x=(1)+1=时，f(x)的最小值为6+8