平面向量知识点归纳与例题练习(内含答案).doc

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1、平面向量一：知识框架图；二、详细知识要点讲解；重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素： . 2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、等表示；平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，。；若，则，3.零向量、单位向量：长度为 的向量叫零向量，记为； 长度为 个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：方向 的向量叫平行向量；我们规定 与任一向量平行.向量、平行，记作.共线向量与平

2、行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量： 相等且 相同的向量叫相等向量.6向量的基本运算（1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b= ， a-b= 。 (2) 平面向量的数量积 ： ab= 。设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab= 。（3）两个向量平行的充要条件 = （不是零向量）若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 。（4）两个非零向量垂直的充要条件是 = 。设 =(x1,y1)， =(x2,y2)，则 。.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

3、向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： -= + (-)；差向量的意义： = , =, 则=- 平面向量的坐标运算：若，则，。向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)7实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=；（3）运算定律 ()= ，(+)= ，(+)= 。8 向量共线定理 向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数，使= 。9平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2

4、使=1+2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量。10. 向量和的数量积：= 其中0，为和的夹角。|cos称为在的方向上的投影。的几何意义是：的长度|在的方向上的投影的 ，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 则运算律：a b=ba, (a) b=a(b)= （a+b）c= 。和的夹角公式：cos= |2=x2+y2，或|=| ab | a | b |。11两向量平行、垂直的充要条件 设 =

5、（，）, =（，）abab=0 ，=+=0；（）充要条件是：有且只有一个非零实数，使=。 向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。三：难点、易错点；1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解）（一）基础知识训练 1.下列命题正确的是 （ ） 单位向量都相等 任

6、一向量与它的相反向量不相等 平行向量不一定是共线向量 模为的向量与任意向量共线2. 已知正六边形中，若， ，则（ ） 3. 已知向量，=2若向量与共线，则下列关系一定成立是 （ ） 或4. 若向量，共线且方向相同，=_。5设，已知两个向量，则向量长度的最大值是（ ）A. B. C. D.（二）典例分析例1：（1）设与为非零向量，下列命题： 若与平行，则与向量的方向相同或相反； 若与共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；若与共线，则；若与反向，则其中正确命题的个数有 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（2）下列结论正确的是 （ ）（A） （B） （C）若（D）若与都是非零向量，则

7、的充要条件为错解：（1）有学生认为全正确，答案为4；也有学生认为或是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。第（1）小题中，正确的应该是，答案为2。共线向量（与共线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量作伸缩变换成为另一个向量所作的伸缩量；若，为非零向量，则共线的与满足与同向时，与反向时。第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2

8、bA、B、D共线则k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2且 k=- k=-1例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN。解：DC= AB=a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- aMN=DN-DM=a-b-a= a-b例4 |a|=10 b=(3,-4)且ab求a解：设a=(x,y)则 x2+y2=100 （1） 由ab得 -4x-3y=0 （2） 解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8 a=(6,-8)

9、或(-6,8)五 归纳小结1 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。2 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。课堂练习1、下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则或C若，则 D若，则2、已知平行四边形ABCD的三个顶点、，则顶点D的坐标为（ ）A B C D3、设，与反向的单位向量是，则用表示为A B C D4、D、E、F分别为的边BC、CA、AB上的中点，且，下列命题中正确命题的个数是（ ）；。A1个 B2个 C3个 D4个5、化简：=_。6、已知向量，且，则的坐标_。7、若，则的

10、夹角为_。8、已知向量求 （1）的值； （2）与的夹角的余弦。9、如果向量与，的夹角都是，而，且，求的值。 课堂练习答案 基础知识训练： D，B，B，D， 5，； 6，（，），（，）7，0， 8，(1)ab=10, =5 (2) 9,-1 平面向量测试题一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）2下列命题中：若a与b互为负向量，则ab0；若k为实数，且ka0，则a0或k0；若ab0，则a0或b0；若a与b为平行的向量，则ab|a|b|；若|a|1，则a1其中假命题的个数为（）A5个B4个C3个D2个设|a|1，|b|2，且a、b夹角120，则|2ab|等于 （ ）已知ABC的顶点

11、坐标为A（3，4），B（2，1），C（4，5），D在BC上，且，则AD的长为 （ ）6已知a（2，1），b（3，），若（2ab）b，则的值为 （ ）A3B1C1或3D3或1向量a（1，2），|b|4|a|，且a、b共线，则b可能是 （ ）A（4，8）B（4，8）C（4，8）D（8，4）8已知ABC中，则a与b的夹角为 （ ）A30B150C150D30或15010已知向量，满足且则与的夹角为A B C D11若平面向量与向量平行，且，则( )A B C D或12下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等 B若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ） C，则 D若与是单位向量，则二、填空题（

12、本大题共4小题，每小题4分，共16分）13向量a（2k3,3k2）与b（3，k）共线，则k_15已知向量，向量，则的最大值是 16若向量则 。三、解答题（本大题共6小题，共74分）17（本小题满分12分）设O为原点，试求满足的的坐标18（本小题满分12分）设和是两个单位向量，夹角是60，试求向量和的夹角19已知向量的夹角为，,求向量的模。20已知点，且原点分的比为，又，求在上的投影。21已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？参考答案一、1C 2C 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10C11.D 设，而，则解析： 12.答案C 解析： 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当时，与可以为任意向量； ，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角13 。14.； 15. 4. 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得 故12019.解：20.解：设，得，即 得，21.解：（1），得（2），得此时，所以方向相反。