华东交通大学概率论及数理统计PPT课件概率习题课一.ppt

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1、概率论概率论 第一章第一章 习题课习题课 主要内容主要内容例题选讲例题选讲概率论概率论 概率的公理化定义概率的公理化定义 S , 是它的是它的是随机试验是随机试验设设 E , AP , 赋予一个实数赋予一个实数的每一个事件的每一个事件对于对于样本空间样本空间AE : , A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概率的概率称之为事件称之为事件 ; 0 1 AP 非负性非负性 ; 1 2 SP 规范性规范性 , 321有有对于两两互斥事件对于两两互斥事件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性一、概率的定义一、概率的定义概率论概率论 1性质性质 0 . P 2性性质质 , ,

2、21则则两两互斥两两互斥设有限个事件设有限个事件nAAA 1212 . nnP AAAP AP AP A 3 性质性质 , 有有对于任何事件对于任何事件 A . 1APAP 4 性质性质 , , 则则且且为两事件为两事件、设设BABA BPAPBAP 并且并且 . BPAP 二、概率的性质二、概率的性质概率论概率论 5 性质性质 , 都有都有对于任一事件对于任一事件 A . 1 AP 6 性质性质 , , 则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP 概率论概率论 称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典

3、概型古典概型. 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同. AP 中的基本事件总数中的基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数SA 三、古典概型三、古典概型古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式 :概率论概率论 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B) 0 , 则称则称 )()()|(BPABPBAP1. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.四

4、、条件概率四、条件概率概率论概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 2. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0概率论概率论 若若 P(B) 0 , 则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若若 P(A) 0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) 概率论概率论 , SE 的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1概率论概率论 njjji

5、iiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(ni, 21, SE 的样本空间为的样本空间为设试验设试验12 , ,nAAA为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分 , B 为为 S 中的任一事件中的任一事件 ,且且P(B) 0 , 则有则有概率论概率论 例例1 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试分别表示甲、乙、丙命中目标，试用用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”

6、“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA概率论概率论 例例2:2:有三个子女的家庭有三个子女的家庭, ,设每个孩子是男是女的概设每个孩子是男是女的概率相等率相等, ,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少? ?N N( (S S)=)=HHHHHH, ,HHTHHT, ,HTHHTH, ,THHTHH, ,HTTHTT, ,TTHTTH, ,THTTHT, ,TTTTTT N N( (A A)=)=HHHHHH, ,HHTHHT, ,HTHHTH, ,THHTHH, ,HTTHTT, ,TTHTTH

7、, ,THTTHT 87)()()(SNANAP解解: :设设A A表示表示“至少有一个男孩至少有一个男孩”, ,以以H H 表示某个孩子表示某个孩子是男孩是男孩 , ,T T 表示某个孩子是女孩表示某个孩子是女孩概率论概率论 例例3 3 （摸求问题）（摸求问题）设合中设合中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现个红球，现从合中任从合中任抽抽2 2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。解解: :设设A A表示表示“取到一红一白取到一红一白”25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP一般地，设合中有一般地，设合中有N N个球，其中有个球，其中有M M个

8、白球，现从中任个白球，现从中任抽抽n n个个球，则这球，则这n n个个球中恰有球中恰有k k个白球的概率是个白球的概率是nNknMNkMCCCp概率论概率论 例例4 4（分球问题）（分球问题）将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，个盒子中去，问：（问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？（）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一）空一盒的概率是多少？盒的概率是多少？解解 设设 A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒33)(SN! 3)(AN92)(AP1)(全有球空两合PPBP32923313概率论概率论 一般地，把一般地，把 n 个个球随机地分配到球随机

9、地分配到 m 个盒子中去个盒子中去( ( n m ) )，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnmmPp 概率论概率论 例例5 5 （分组问题）（分组问题） 3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：（组，求：（1 1）每组有一名运动）每组有一名运动员的概率；（员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。!10!10!10!30)(101010201030CCCSN20350)(! 9! 9! 9!27! 3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP解解

10、 设设A:A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组概率论概率论 一般地，把一般地，把n n个个球随机地分成球随机地分成 m 组组( ( n m ),),要求第要求第 i 组恰有组恰有n i个球个球( ( i = 1,= 1,m ) )，共有分法：，共有分法：!.!1mnnn概率论概率论 例例6 6（随机取数问题）（随机取数问题）从从1 1到到200200这这200200个自然数中任个自然数中任取一个；取一个；(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求求取到的数能被取到的数能被8 8整除的概率；整除的概

11、率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率. .解:N(S)=200,N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25概率论概率论 例例7 7 某市有甲某市有甲, ,乙乙, ,丙三种报纸丙三种报纸, ,订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%

12、,30%,其中有其中有10%10%的人同时定的人同时定甲甲, ,乙两种报纸乙两种报纸. .没有人同时订甲乙或乙丙报纸没有人同时订甲乙或乙丙报纸. .求求从该市任选一人从该市任选一人, ,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()( ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解 设设A , B , C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲 , 乙乙 , 丙报丙报概率论概率论 例例8 8 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概

13、率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解设设 A取到的数能被取到的数能被2 2整除整除; ;取到的数能被取到的数能被3 3整除整除. .概率论概率论 故故21)(AP103)(BP)()()()() 1 (ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()() 3(ABPAPBAP52概率论概率论 例例9 9 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只个白球，每次从

14、袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球相同的球，若从合中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解解设设Ai 为第为第 i 次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP概率论概率论 例例10 10 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品市场上有甲

15、、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。，试求市场上该品牌产品的次品率。概率论概率论 买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 0)()()()(321BAPBAPBAPBP概率论概率论 例例11 11 商店论箱出售

16、玻璃杯商店论箱出售玻璃杯, ,每箱每箱2020只只, ,其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾客，某顾客选中一箱，从中任选选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买只检查，结果都是好的，便买下了这一箱下了这一箱. .问这一箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解设设A: :从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查, ,结果都是好的结果都是好的. .B0 0, , B1 1, , B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品概率论

17、概率论 已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由由Bayes 公式公式: :20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848. 019121 . 0541 . 018 . 0541 . 0概率论概率论 例例12 12 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触点表示继电器触点, ,假设每个触假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为 p , ,且各继电器接点闭合与否相互且各继电器接点闭合与否相互独立，求独立，求 L 至至 R 是通路的概率。是通路的概率。概率论概率论 )()|(52413AAAAPAAP422pp 设设 A 表示表示“L 至至 R 为通路为通路”, ,Ai表示表示“第第 i 个继电器通个继电器通”, , i =1,2,5.=1,2,5.概率论概率论 )()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp