2019年九年级数学(北师大版下)第二章《二次函数》知识梳理及达标试卷（无答案）.doc

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1、二次函数 一 知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值=;反之当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线交y轴于正半轴;当c0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号

2、相反;简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 二 中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定 例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6. 2. 二次函数的图象 例2 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限例3 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx

3、+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 3. 二次函数的性质 例4 对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:_,_;再说出它们的两个不同点:_,_. 4. 二次函数的应用 例5 已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k,(1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1. 求抛物线的解析式. 设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值. 基础达标验收卷一、选择题: 1.抛物线y=(x-2)2+3的对

4、称轴是 ( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在 ( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有 ( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么AB的长是( ).A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m二、填空题 1.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_. 2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_. 3.已知抛物线y=a

5、x2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_. 6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题 1.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;

6、(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x0时,求使y2的x取值范围.2.已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称. (1)求m的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; 能力提高练习一、学科内综合题1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题2.某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内生产总值2014年为8.6亿元人民币,2016年为10

7、.4亿元人民币,2018年为12.9亿元人民币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2020年该市国内生产总值将达到多少?3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物

8、线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?三、开放探索题5. 某校研究性学习小

9、组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上. (1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式; (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由; (3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般特殊一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.