2022年高一上学期数学知识点总结 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1. 集合元素具有 确定性、 无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性 ，如（ 1）设PQ、为两个非空实数集合，定义集合|,PQab aP bQ ，若0, 2, 5P， 6, 2, 1Q，则PQ中元素的有_个。（答：8）（ 2）非空集合5 ,4 ,3 ,2, 1S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有 _个（答： 7）2. 遇到AB时，你是否注意到“极端 ”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合|10Ax ax，2|320Bx xx

2、，且 ABB ，则实数a_.（答：10,1,2a）3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n如满足1,21,2,3,4,5M集合M 有_个。（答： 7）4.集合的运算性质： ABABA； ABBBA ；ABuuAB痧； uuABAB痧； uABUABe； ()UCABUUC AC B；()UUUCABC AC B. 如设全集5 ,4,3 ,2 ,1U，若2BA，4)(BACU，5 ,1)()(BCACUU，则 A_，B_. （答：2,3A，2,4B）5. 研究集合问题， 一定要 理解集合的意义抓住集合的代表元素。 如：|x

3、yf x函数的定义域；|y yfx函数的值域；( , ) |x yyfx函数图象上的点集，如设集合|2Mx yx，集合 N2|,y yxxM，则MN_ _ （答：4,)）；6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集 这两种特殊情况， 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若3M且5M求实数a的取值范围。（答：519 253a，）7. 四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则 q”，则逆命题为“若q 则 p”；否命题为“若p则q” ；逆否命题为“若q则p”。 提醒 ：（1）互为逆否关系的命题是

4、等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或 ”； （3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在 ABC 中，若 C=900，则 A、B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC中，若90C，则,AB不都是锐角）；（2） 已知函数2( ),11xxf xaax

5、，证明方程0)(xf没有负数根。8.充要条件 。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载BA，则 A 是 B 的充分条件；若BA，则 A 是 B 的必要条件；若A=B ，则 A 是 B 的充要条件。 如设命题 p：|43| 1x；命题 q:0)1() 12(2aaxax。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是（答：10,2）二、不等式1. 不等式的性质

6、：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,ab cd，则acbd（若,ab cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；（4）若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如（ 1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若； babcac则若,22； 22,0bababa则若；baba11,0 则若； baabb

7、a则若,0； baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0 ,0ab。其中正确的命题是 _（答：）（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是 _（答：1,7）（3）已知cba，且, 0cba则ac的取值范围是 _ （答：12,2）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（ 4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如设2a，12paa，2422aaq，试

8、比较qp,的大小（答：pq）3. 一元一次不等式的解法： 通过去分母、 去括号、 移项、 合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a, 则bxa；若0a, 则bxa；若0a, 则当0b时，xR；当0b时，x。如已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为 _（答：|3x x）4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？设0a,12,x x是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc01|x xx或2xx1|x xx或2xx12|x

9、 xxx12|x xxx0|2bx xaR |2bx xa0R R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载如解关于x的不等式：01)1(2xaax。（答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，x；当1a时，11xa）5. 对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为 0，其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时， 你是否注意到同样的情形？如：（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是_

10、（答：(1,2）； （2）关于x的方程( )f xk有解的条件是什么？ ( 答：kD，其中D为( )f x的值域 ) 6. 一元二次方程根的分布理论。方程2( )0(0)f xaxbxca在),(k上有两根、在(, )m n上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？0()0( )02f mf nbman、( )0f k）。根的分布理论成立（0( )02f kbka、的前提是开区间，若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令nx和mx检查端点的情况如12)2(24)(22ppxpxxf在 区 间1 , 1上 至

11、 少 存 在 一 个 实 数c， 使0)(cf，求实数p的取值范围。（答：3( 3,)2）7. 二次方程、二次不等式、 二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两 个 根 即 为 二 次 不 等 式20(0)axbxc的 解 集 的 端 点 值 ， 也 是 二 次 函 数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。 如 （1） 不等式32xax的解集是(4, )b，则a=_ （ 答 ：18） ； （ 2） 若 关 于x的 不 等 式02cbxax的 解 集 为),(),(nm， 其中0nm， 则关于x的不等式02abxcx的解集为 _（答：),1()1,(nm）； （3）不等式232

12、10 xbx对 1,2x恒成立，则实数b的取值范围是_（答：）。8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现( )f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如： （1）解不等式2(1)(2)0 xx。（答：1,2）（2）不等式2(2)230 xxx的解集是 _（答：3,1）（3）设函数( )f x、( )g x的定义域都是R，且( )0f x的解集为|12xx，( )0g x的解集为，则不等式( )( )0

13、fx g x的解集为 _（答：,12,）（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是. （答：817,8）9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将y (a0) O k x1x2x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如： （1）解不等式2

14、5123xxx（答：1,12,3）（2）关于x的不等式0bax的解集为), 1(，求关于x的不等式02xbax的解集（答：, 12,）10. 绝对值不等式的解法：（1）分段讨论 （最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|xx（答：R）（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|1|3xx（答：, 12,）（4）两边平方： 如若不等式|32| | 2|xxa对任意xR恒成立，则实数a的取值范围。（答：43）11.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值

15、分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见 4 中例题）12.含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0| |abab| |abab；ab、异号或有0| |abab| |abab . 如设2( )13f xxx，实数a满足| 1xa，求证：|( )( ) | 2(| 1)f xf aa13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17 字方针。如： （1）下列命题中正确的是A.1yxx的最小值是2 B.2232xyx的最小值是2 C.423(0)yxxx的最大值是24 3D.423(0)yxxx的最小值是24 3（2）若21xy，则24x

16、y的最小值是 _（答：2 2）（3）正数, x y满足21xy，则yx11的最小值为 _（答：32 2）14. 常用不等式 有：（ 1）2222211abababab(当且仅当abc时，取等号 ) ， 根据目标不等式左右的结构选用；（2）abcR、 、，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题） 。 如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_ （答：9,）15. 证明不等式的方法：比较法、 分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是： 作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出结论。常用的

17、放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnn nnn nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载11111121kkkkkkkkk如（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；(2) 已知Rcba,，求证：)(222222cbaabcaccbba；（3）已知, , ,a b x yR，且11, xyab，求证：xyxayb；(4) 若*nN，求证：2(1)1(1)nn21nn；(5) 已知| |ab，求证：|abababab；16.不等式的恒成立, 能成立 , 恰成立等问题：

18、不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法” 转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）（1）恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB如 （1）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围（ 2）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围（ 3）若不等式22210 xmxm对01x的所有实数x都成立， 求m的取值范围 . （2）能成立问题若 在 区 间D上 存 在 实 数x使 不 等 式Axf成 立 , 则 等 价

19、于 在 区 间D上maxfxA；若 在 区 间D上 存 在 实 数x使 不 等 式Bxf成 立 , 则 等 价 于 在 区 间D上 的m i nfxB. 如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集， 求实数a的取值范围 _ （3）恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 三、函数1. 函数的定义域A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。 如 （ 1） 已知函数( )f x，xF，那么集合(, ) |(

20、),(,)|1 x yyfxxFx yx中所含元素的个数有个（答：0或 1） ； （2） 若函数42212xxy的定义域、 值域都是闭区间2,2b， 则b（答：2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2yx，值域为 4，1 的“天一函数”共有_个（答：

21、 9）3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0 次幂的底数不能为零。 如（ 1）函数043xxyx的定义域是_(答：(0, 2)(2,3)(3,4)； （2） 若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_(答：30,4) ；（3）函数( )f x的定义域是 , a b，0ba，则函数( )( )()F xf xfx的定义域是_( 答：,aa)；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知( )f x的定义域为 , a b,其复合函数( )f g x的定义域由不等式( )

22、ag xb解出即可；若已知 ( )f g x的定义域为 , a b,求( )f x的定义域，相当于当 , xa b时，求( )g x的值域（即( )f x的定义域）。如（ 1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则(2 )xf的定义域为_（答：42|xx）； （2）若函数2(1)f x的定义域为 2,1)，则函数( )f x的定义域为 _（答： 1,5）4. 求函数值域（最值）的方法：（1） 配方法 二次函数 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间, m n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合 ，注意“ 两看 ”：一看开口方向；二

23、看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225, 1,2yxxx的值域（答：4,8 ）； （2）当2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值， 则a的取值范围是 _ （答：21a）；特别说明： 二次函数在区间,m n上最值的求法， 一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案: 先看看2ba是否在,m n内，如果在的话，算三个数()()2bf mfnfa、, 三数中谁最大谁就是最大值，谁最小谁就是最小值。如果不在的话，只要算两个数()f mf n、，大的就最大值，小的就最小值。（2）换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数

24、，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 （ 1）211yxx的值域为 _ （答：(3,)）（令1xt，0t。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围 ）；（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，（4）单调性法 利用一次函数，反比例函数， 指数函数， 对数函数等函数的单调性，如求1(19)yxxx的值域为 _（答：80(0,)9）；（5）判别式法 对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：精选学习资料 - - - - - -

25、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载2bykx型，可直接用不等式性质，如求232yx的值域（答：3(0,2）2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，如（ 1）求21xyx的值域（答：1(,2）； （2）求函数23xyx的值域（答：10,2）22xm xnyxmxn型，通常用判别式法； 如 已知函数2281mxxnyx的定义域为R，值域为1 9，求常数,m n的值（答：5mn）2xm xnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，如求211xxyx的值域（答：(, 31,)）（6）不等式法 利用基本不等式2( ,)abab a bR求函

26、数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。提醒 ：（ 1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（ 2）函数的最值与值域之间有何关系？5. 分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x时，一定首先要判断0 x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（ 1）设函数2(1) .(1)( )41.(1)xxf xxx，则使得( )1f x的自变量x

27、的取值范围是_（答：(,20,10）； （2） 已知1(0)( )1(0)xf xx， 则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 _（答：3(, 2）6. 求函数解析式的常用方法：（1） 待定系数法 已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2( )f xaxbxc；顶点式：2( )()f xa xmn；零点式：12( )()()f xa xxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如 已知( )f x为二次函数，且)2()2(xfxf，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为22, 求( )f x的解析式 。（答：21( )212f xxx）（2）代

28、换（配凑）法已知形如( )f g x的表达式，求( )fx的表达式。 如（ 1） 若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_（答：223xx）； （2）若函数)(xf是定义在R 上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=_（答：3(1)xx）.这里需 值得注意 的是所求解析式的定义域的等价性，即( )f x的定义域应是( )g x的值域。（3）方程的思想 已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。如（ 1） 已知( )2()32fxfxx，求( )f x的解析式（

29、答：2( )33f xx）； （2）已知( )f x是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载奇函数，)(xg是偶函数，且( )f x+)(xg=11x,则( )f x= _（答：21xx）。7. 函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法： 如 判断函数2|4 | 49xyx的奇偶性 _（答：奇函数）。利用函数奇偶性

30、定义的等价形式：( )()0fxfx或()1( )fxf x（( )0f x）。 如判断11( )()212xf xx的奇偶性 _.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. 若( )f x为偶函数，则()( )(|)fxf xfx.若奇函数( )f x定义域中含有0，则必有(0)0f. 故(0)0f是( )f x为奇函数的既不充分也不必要条件。如若22( )21xxaa

31、f x为奇函数，则实数a_（答： 1）. 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数的 和 （ 或 差 ） ” 。 如 设)(xf是 定 义 域 为R 的 任 一 函 数 ，( )()( )2f xfxF x，( )()( )2f xfxG x。判断)(xF与)(xG的奇偶性；若将函数( )101xf x，表示成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh之和，则)(xg_ （答： )(xF为偶函数，)(xG为奇函数；)(xg12x）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 既奇又偶函数有无穷多个（( )0f x，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.8.

32、函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）如已知函数3( )f xxax在区间1,)上是增函数，则a的取值范围是 _( 答：(0,3)；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)bbaa，减区间为,0),(0,bbaa. （例如函数4yxx递增区间, 2 , 2,；单调递减区间是2,0 , 0,2）如（1）若函数2)1(2)(2xaxxf在区间4，上是减函数，那精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

33、 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载么实数a的取值范围是 _( 答：3a） ) ； （2） 已知函数1( )2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围 _（答：1(,)2）；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减 ，（2）特别提醒： 求单调区间时，一是勿忘定义域，如求函数2( )43f xxx的单调递增区间；二是在多个单调区间之间不一定 能添加符号 “”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示（3）你注意到函数 单调性与奇偶性的逆用了吗 ?（比较大小； 解不等式； 求参数范围） . 如已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数 , 若0)12()1(mf

34、mf，求实数m的取值范围。（答：1223m）9. 常见的图象变换函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。 如设( )2,( )xf xg x的图像由( )f x的图像向左平移1 个单位得到，则( )g x为_(答：1( )2xg x) 函数axfy()0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。 如（1）若2(199)443f xxx，则函数( )f x的最小值为 _(答：2)； （ 2）要得到(3)2xy的图像， 只需作2xy关于 _轴对称的图像， 再向 _平移 3 个单位而得到 (答：y；右 )；特别提示：上面两种是左右平移，可以间记为

35、“左加右减”函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向下平移a个单位得到的； 如将函数aaxby的图象向右平移2 个单位后又向下平移2个单位 ,所得图象 如 果 与 原 图 象 关 于 直 线xy对 称 ,那 么0, 1)(baARbaB, 1)(0, 1)(baCRbaD,0)(答： C) 特别提示：上面两种是上下平移，可以间记为“上加下减”10. 函数的对称性。满足条件fxaf bx的函数的图象关于直线2abx对称。 如已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)

36、(有等根，则)(xf_(答：212xx)；点( , )x y关于y轴的对称点为(,)x y；函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy；点( , )x y关于x轴的对称点为( ,)xy；函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy；点( , )x y关于原点的对称点为(,)xy；函数xfy关于原点的对称曲线方程为xfy；形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载( 由分母为零确定) 和直线ayc( 由分子、分母中x的系数确定 ) ，对称中

37、心是点(,)dacc。如已知函数图象C与2:(1)1Cy xaaxa关于直线yx对称，且图象C关于点（2， 3）对称，则a 的值为 _（答： 2）|( ) |f x的图象先保留( )f x原来在x轴上方的图象， 作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(|)fx的图象先保留( )f x在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于 _对称（答：y轴）提醒 ：（ 1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明

38、函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C与2C的对称性， 需证两方面 ：证明1C上任意点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在2C上；证明2C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C上。11. 指数式、对数式：mnmnaa，1mnmnaa，01a12. 指数的大小比较：（ 1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（ 0 或 1）；（ 4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。13. 函数的应用 。（ 1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通

39、过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立byaxx型。14. 抽象函数 ： 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。尤其是选择题中，你可以举一个特殊的函数例子满足这个抽象函数去验证就可以啦。几类常见的抽象函数：正比例函数型：( )(0)f xkx k-()(

40、 )( )f xyf xfy；幂函数型：2( )f xx-()( )( )f xyf x f y，( )()( )xf xfyf y；指数函数型：( )xf xa-()( )( )f xyfx f y，( )()( )f xf xyf y；（2）利用一些方法（如赋值法（令x0 或 1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（ 1）若xR，( )f x满足()( )fxyf x( )fy， 则( )f x的奇偶性是 _ （答：奇函数）； （2） 若xR，( )f x满足()( )f xyf x( )fy，则( )f x的奇偶性是 _（答：偶函数）；（3） 设( )f x的定义域为R，对任意, x yR， 都有()( )( )xff xfyy， 且1x时，( )0fx， 又1( ) 12f， 求证( )f x为减函数；解不等式2( )(5)f xfx. （答：0,14,5）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页