2022年高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳 2.pdf

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1、名师总结优秀知识点绵阳市开元中学高2014级高三复习二项式定理知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名： _ 一知识梳理1二项式定理 ：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbr Cnnbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的系数 Crn(r0,1， n)叫二项式系数式中的 Crnanrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项 Tr1Crnanrbr.2二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减

2、1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到 Cn1n，Cnn. 3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即rn rnnCC(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当 kn12时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122nnnnCC取得最大值(3)各二项式系数和： C0nC1nC2n Crn Cnn2n；C0nC2nC4n C1nC3nC5n 2n1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Crn

3、anrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分前者只与n 和 r 有关，恒为正，后者还与a，b 有关，可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等三条性质(1)对

4、称性； (2)增减性； (3)各项二项式系数的和；二题型示例【题型一】求()nxy展开特定项例 1：(13x)n(其中 nN*且 n6)的展开式中 x5与 x6的系数相等，则n() A.6 B.7 C.8 D.9 解：由条件得 C5n35C6n36，n！5！（n5）！n！6！（n6）！3， 3(n5)6，n7.故选 B.例 2：(2014大纲 )xyyx8的展开式中 x2y2的系数为 _.(用数字作答 ) 解：xyyx8展开式的通项公式为Tr1Cr8xy8ryxr33842281rrrrC xy，令 832r2，解得 r4，此时32r42，所以展开式中 x2y2的系数为 (1)4C4870.故

5、填 70.【题型二】求()()mnabxy展开特定项例 1：在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含 x3的项的系数是 () A74 B121 C74 D121 解析展开式中含 x3项的系数为 C35(1)3C36(1)3C37(1)3C38(1)3121. 【题型三】求()()mnabxy展开特定项例 1：(2013全国课标卷 )已知(1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a() A.4 B.3 C.2 D.1 解：(1ax)(1x)5的展开式中 x2项为 C25x2ax C15x10 x25ax2(105a)x2. 精选学习资料 - - - - - - - -

6、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师总结优秀知识点 x2的系数为 5， 105a5，a1.故选 D.例 2：(2014浙江卷 )在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)() A45 B60 C120 D210 解析在(1x)6的展开式中，xm的系数为 Cm6， 在(1y)4的展开式中，yn的系数为 Cn4， 故 f(m，n)Cm6 Cn4.从而 f(3，0)C3620，f(2，1)C26 C1460，f(1，2)C16 C2436，f(0，3)C344，所以 f(3，0)f(2

7、，1)f(1，2)f(0，3)120，故选 C.例 3：已知数列na是等差数列， 且6710aa，则在1212()()()xaxaxa的展开式中，11x的系数为 _. 解：11x的系数为121267()6()60aaaaa。【题型四】求()nxyz展开特定项例 1：求x21x25(x0)的展开式经整理后的常数项.解法一：x21x25在 x0 时可化为x21x10，因而 Tr1Cr101210r()x102r，则 r5 时为常数项，即 C51012563 22.解法二： 所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.分三类： 5 个式子均取2，则 C55()254 2；取一个x2，一个1x，三个2，

8、则 C1512C14()2320 2；取两个x2，两个1x，一个2，则 C25122C23215 22.所以，常数项为4 220 215 2263 22.点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.例 2：若将10)(zyx展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（） A11B33C55D66 解：展开后，每一项都形如abcx y z，其中10abc，该方程非负整数解的对数为210266C。例 3：2015课标全国卷 (x2xy)5的展开式中， x5y2的系数为 () A10 B20 C30 D60 解析易知 Tr1Cr5(x2x)5ryr，令 r2，则 T

9、3C25(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由 Tt1Ct3(x2)3txtCt3x6t，令 t1，所以 x5y2的系数为 C25C1330. 【题型五】二项式展开逆向问题例 1：(2013 广州毕业班综合测试 )若 C1n3C2n32C3n 3n2Cn1n3n185，则 n 的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 解：由 C1n3C2n3n2Cn1n3n113(13)n185，解得 n4.故选 B.【题型六】赋值法求系数（和）问题例 1：已知(12x)7a0a1xa2x2 a7x7.求：(1)a1a2 a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)| |a0| |a1

10、| |a2| |a7.解：令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a71.令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C071， a1a2a3a72.(2)() 2，得 a1a3a5a713721094.(3)() 2，得 a0a2a4a613721093.(4)(12x)7的展开式中， a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零，| |a0| |a1| |a2| |a7(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)，所求即为(亦即)，其值为 2187.点拨：“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(axb)n，(ax2bxc

11、)m(a，b，cR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x1 即可；对形如 (axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可.若 f(x)a0a1xa2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和 为a0 a2 a4 f（1）f（1）2， 偶 数 项 系 数 之 和 为a1 a3 a5 f（1）f（1）2.例 2： 设22x2na0a1xa2x2 a2nx2n， 则(a0a2a4 a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解： 设 f(x)22x2n，则(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n

12、1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1) f(1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师总结优秀知识点2212n2212n 122n14n.例 3： 已知(x1)2(x2)2014a0a1(x2)a2(x2)2 a2016(x2)2016， 则a12a222a323a201622016的值为 _. 解： 依题意令x32，得 32123222014a0a1322 a23222a20163222016，令 x2 得 a00，则a12a222a323a201622016122016.【题型七】平移后系数问题例

13、 1：若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2 a5(1x)5, 其中 a0，a1，a2， a5为实数，则 a3_.解法一： 令 x1y，(y1)5a0a1ya2y2a5y5，故 a3C25(1)210.解法二： 由等式两边对应项系数相等.即：a51，C45a5a40，C35a5C34a4a30，解得 a310.解法三： 对等式： f(x)x5a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5两边连续对 x 求导三次得：60 x26a324a4(1x)60a5(1x)2，再运用赋值法，令x1 得：606a3，即 a310.故填 10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例

14、 1：x12xn的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为_解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n9，x12x9展开式的第四项为 T4C39 (x)612x3212.例 2：把(1x)9的展开式按 x 的升幂排列，系数最大的项是第_项A4 B5 C6 D7 解析(1x)9展开式中第 r1 项的系数为 Cr9(1)r，易知当 r4 时，系数最大，即第5项系数最大，选 B.例 3：(12x)n的展开式中第 6项与第 7 项的系数相等， 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .解：T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有 C5n 25C6n 26，解得 n8.所

15、以(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C48 (2x)41 120 x4.设第 r1 项系数最大，则有Cr8 2rCr18 2r1，Cr8 2rCr18 2r1，解得 5r6.所以 r5 或 r6，所以系数最大的项为T61 792x5或 T71 792x6.点拨：(1)求二项式系数最大项：如果n 是偶数，则中间一项第n21项 的二项式系数最大；如果 n 是奇数，则中间两项 (第n12项与第n121 项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求 (abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组ArAr1，ArAr1，从而解出 r，即得展开

16、式系数最大的项. 【题型九】两边求导法求特定数列和例 1： 若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 则 a12a23a34a45a5_解析原等式两边求导得5(2x3)4 (2x3) a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令上式中 x1，得 a12a23a34a45a510. 【题型十】整除问题例 1：设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a() A0 B1 C11 D12 解析512 012a(521)2 012aC02 012 522 012C12 012 522 011C2 0112 01252 (1)2 011C2 0122 012

17、 (1)2 012a， C02 012 522 012C12 012 522 011C2 0112 01252 (1)2 011能被 13 整除且 512 012a 能被 13整除，C2 0122 012 (1)2 012a1a 也能被 13 整除因此 a 可取值 12. 例 2：已知 m 是一个给定的正整数，如果两个整数a，b 除以 m 所得的余数相同，则称a与 b 对模 m 同余， 记作 ab(modm)， 例如： 513(mod 4).若 22015r(mod 7)， 则 r 可能等于 () A.2013 B.2014 C.2015 D.2016 解：220152223671486714

18、(71)6714(7671C16717670C67067171).因此 22015除以7 的余数为 4.经验证，只有 2013 除以 7 所得的余数为 4.故选 A.三自我检测1、(2013青岛一检 )“n5”是“2 x13xn(nN*)的展开式中含有常数项”的() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师总结优秀知识点A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、已知 C0n2C1n22C2n23C3n 2nCnn729，则 C1nC2nC3n Cnn等于() A63 B64 C31 D

19、32 3、组合式 C0n2C1n4C2n8C3n (2)nCnn的值等于 () A(1)nB1 C3nD3n1 4、若(1xx2)6a0a1xa2x2 a12x12，则 a2a4 a12_5、已知 (1x)10a0a1(1x)a2(1x)2 a10(1x)10，则 a8() A180 B180 C45 D45 6、(12x)3(1x)4展开式中 x 项的系数为() A10 B10 C2 D2 7、(1x)8(1y)4的展开式中 x2y2的系数是 _8、在3450(1)(1)(1)xxx的展开式中，3x的系数为（）A. 351CB. 450CC. 451CD. 447C9、在(x1)(2x1)(nx1)(nN*)的展开式中一次项系数为 () AC2nBC2n1CCn1nD.12C3n110、(2015 安徽合肥二检 )(x2x1)10展开式中 x3项的系数为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页