2022年高三复习重点题练习答案 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高三复习重点题练习答案例 1. 设 a、b 是两个实数， A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm ，y3m215 (m Z)，C(x,y)|x2y2144，讨论是否，使得A B 与(a,b) C同时成立。 (85 年高考 ) 【分析】集合 A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得 A B ”的含意就是“存在a、b 使得 nab3n215(nZ)有解（A B时 xnm ）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点 (a,b) 在直线 L：nxy3n215 上，且直线与圆 x2y2144有公共点，但原点到直线L 的距离12。【解】

2、由 A B 得：nab3n215 ; 设动点 (a,b) 在直线 L：nxy3n215 上，且直线与圆 x2y2144 有公共点，所以圆心到直线距离d|315122nn3(n21412n) 12 n 为整数 上式不能取等号，故a、b 不存在。【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解， 其中还体现了主元思想、 方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。本题直接运用代数方法进行解答的思路是：由 A B 得：nab3n215 , 即 b3n215an （式）；由(a,b) C得，a2b2144 （式）；把式代入式，得关于a 的不等式：(1 n2)

3、a22n(3n215)a(3n215)21440 （式） , 它的判别式4n2(3n215)24(1n2)(3n215)2144 36(n23)2因为 n 是整数，所以 n23 0, 因而 0,故式不可能有实数解。所以不存在 a、b，使得 A B 与(a,b) C同时成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 2. 设函数 f(x) ax22x2，对于满足 1x0 ，求实数 a 的取值范围。【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论

4、，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。【解】当 a0时，f(x) a（x1a）221a111220afa( )或1141210afaa()或14416820afa( ) a 1或12a12；当 a12。例 3. 解不等式()()xaxaa46210 (a为常数， a12) 【分析】 含参数的不等式， 参数 a 决定了 2a1 的符号和两根 4a、6a 的大小， 故对参数 a 分四种情况 a0、a0、12a0、a0时，a12；4a0 。所以分以下四种情况讨论：当 a0时，(x 4a)(x 6a)0，解得： x6a；当 a0 时，x20，解得： x 0；当12a0，解

5、得 : x4a；当 a12时，(x 4a)(x 6a)0，解得： 6ax0 时，x6a；当 a0 时，x 0；当12a0 时，x4a；当 a12时，6ax4a 。例 4. 在 xoy 平面上给定曲线 y22x，设点 A(a,0) ，aR ，曲线上的点到点A的距离的最小值为 f(a) ，求 f(a) 的函数表达式。（本题难度 0.40）【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件 x 0 下的最小值问题，而引起对参数a 的取值讨论。【解】 设 M(x,y) 为曲线 y22x 上任意一点，则|MA|2(x a)2y2(x a)22xx22(a1)x a2x (

6、a1)2(2a1) 由于 y22x 限定 x 0，所以分以下情况讨论：当 a1 0时，xa1 取最小值，即 |MA2min2a1；当 a10时，x0 取最小值，即 |MA2mina2；综上所述，有 f(a) 21aa| |()()aa 时时11。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x 0 的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到 df(a) 的函数表达式。例 5

7、. 已知 ABC三内角 A、B、C的大小成等差数列，且tgA tgC23，又知顶点 C的对边 c 上的高等于 43, 求 ABC 的三边 a、b、c 及三内角。【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。【解】 由 A、B、C成等差数列，可得B60；由 ABC中 tgAtgBtgCtgA tgB tgC，得tgAtgCtgB(tgA tgC1)3 (1 3) 设 tgA、tgC 是方程 x2(33)x 230 的两根，解得 x11，x223设 A0在 x(- ,1 上恒成立的不等式问题。【解】 由题设可知，不等式12x4xa0在 x(- ,1 上恒成立，即：(12

8、)2x(12)xa0在 x(- ,1 上恒成立。设 t (12)x, 则 t 12，又设 g(t) t2t a，其对称轴为 t 12 t2t a0 在12,+) 上无实根，即 g(12) (12)212a0，得 a34所以 a 的取值范围是 a34。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题， 其中也联系到了方程无解， 体现了方程思想和函数思想。 一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、

9、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。在解决不等式 (12)2x(12)xa0在 x(- ,1 上恒成立的问题时， 也可使用“分离参数法”：设 t (12)x, t12，则有 at2t (, 34 ，所以 a 的取值范围是 a34。其中最后得到 a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。例 8. 设 x、yR且 3x22y26x，求 x2y2的范围。【分析】设 kx2y2，再代入消去 y，转化为关于 x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题。其中要注意隐含条件，即x 的范围。【解】由 6x3x22y20 得 0 x 2。设 kx2y2，则

10、y2kx2，代入已知等式得： x26x2k0 ，即 k12x23x，其对称轴为 x3。由 0 x 2 得 k0,4 。所以 x2y2的范围是： 0 x2y2 4。【另解】数形结合法（转化为解析几何问题）：由 3x22y26x 得(x 1)2y2321，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x2y2的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0, 距离最大的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为 x2y2k，代入椭圆

11、中消 y 得 x26x2k0。由判别式368k0 得 k4, 所以 x2y2的范围是： 0 x2y2 4。【再解】三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由 3x22y26x 得(x 1)2y2321，设xy162cossin，则x2y212cos cos2 32sin2 1322cos 12cos212cos2 2cos 520,4 所以 x2y2的范围是： 0 x2y2 4。【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题

12、型。例 9. 求值： ctg10 4cos10【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。【解一】 ctg10 4cos10cossin10104cos10cossincossin104101010sinsinsin8022010sinsinsinsin80202010250302010cossinsinsinsinsinsin4020102301010cossinsin3（基本过程：切化弦通分化同名拆项差化积化同名差化积）【解二】 ctg10 4cos10cossin10104cos10cossincossin104101010精选学习资料 - -

13、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思sinsinsin80220102128022010sinsinsin2608022010cossinsinsinsinsin()sinsin1402022010sinsinsin14020102806010cossinsin3（基本过程：切化弦通分化同名特值代入积化和差化积）【解三】 ctg10 4cos10cossin10104cos10cossincossin104101010sinsinsin8022010sin()sinsin60202201032201

14、22022010cossinsinsin31220322010(cossin)sin3602010cos()sin3（基本过程：切化弦通分化同名拆角80和差角公式）【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、 和差角公式、 倍半角公式、 和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2 公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。例 10 已知方程 kx2y24，其中 k

15、为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。（78 年全国高考题）【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx2y24 的特点，对参数 k 分 k1、k1、0k1、k0、k1、k1、0k1、k0、k1 时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上， a2，b2k; 当 k1 时，表示圆，圆心在原点，r 2； 当 0k1 时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x 轴上， a2k，b2； 当 k0 时，表示两条平行直线 y 2； 当 k0 时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y 轴上。所有五种情况的简图依次如下所示：【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找

16、出满足条件的条件或结论。例 11. 设 an 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， Sn是 前 n 项 和 。 . 证 明 ：lglgSSnn 220，使得lg()lg()ScScnn 22lg （Sn 1c）成立？并证明结论。 (95 年全国理 ) 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q1 和 q 1 两种情况。【解】 设an 的公比 q，则 a10，q0 当 q1 时，Snna1，从而 SnSn 2Sn 12na1(n 2)a1(n1)2a12a120；当 q 1时，Snaqqn111()

17、，从而SnSn2Sn 12aqqqnn1222111()()()aqqn1212211()()a12qn0；y y y y y x x x x x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思由上可得 SnSn 2Sn 12，所以 lg(SnSn2)lg(Sn 12) ，即lglgSSnn 22lgSn 1。. 要使lg()lg()ScScnn 22lg（Sn 1c） 成立，则必有 (Snc)(Sn 2c) (Sn 1c)2, 分两种情况讨论如下：当 q1 时，Snna1，则(Snc)(

18、Sn 2c) (Sn 1c)2(na1c)(n 2)a1c (n 1)a1c2a120 当 q1 时， Snaqqn111()，则 (Sn c)(Sn 2c) (Sn 1 c)2aqqn111()c aqqn1211()c aqqn1111()c2a1qna1c(1 q) a1qn 0 a1c(1q)0 即 caq11而 SncSnaq11a qqn110, 使得lg()lg()ScScnn22lg （Sn 1c）成立。【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明loglog.0 50522SSnnlog0 5 .Sn 1，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5 时，对数函数为单调递减。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页