2022年高中数学公式大全 8.pdf

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1、优秀教案欢迎下载高中数学常用公式及常用结论1. 包含关系ABAABBUUABC BC AUAC BUC ABR 2 集合12,na aa的子集个数共有2n个； 真子集有2n1 个； 非空子集有2n1 个； 非空的真子集有2n2个. 3.充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件 . （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件 . （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

2、1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数. 5. 如果函数)(xf和)(xg都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy是增函数 . 6奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函

3、数是偶函数7. 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 8. 几个函数方程的周期( 约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2） ，)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 则)(xf的周期 T=2a；9. 分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 10根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|

4、,0nna aaaa a. 11有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sQ.(2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba babrQ. 12. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN. .负数和零没有对数，.1 的对数等于0：01loga， .底的对数等于1：1logaa，.积的对数：NMMNaaaloglog)(log，商的对数：NMNMaaalogloglog，幂的对数：MnManaloglog；bmnbanamloglog精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

5、 -第 1 页，共 8 页优秀教案欢迎下载13. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 15.11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 16. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 17. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna

6、 q或11,11,1nnaa qqqsna q. 18. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin19 正弦、余弦的诱导公式212( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnco20 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ).21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin（21cos2cos2，21cos2sin2）

7、 22tantan21tan22. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR及函数cos()yx，xR(A, ,为常数， 且 A 0，0) 的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A 0，0)的周期T. 23. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. 24. 余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC. (n 为偶数 ) (n 为奇数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀教案欢迎下载25. 面积定理111sinsinsin222Sa

8、bCbcAcaB（2）. 26. 三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB. 27. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( ) a;(2)第一分配律： ( +) a=a+a; (3) 第二分配律： ( a+b)= a+b. 28. 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a（交换律） ;(2) （a） b= （ab）=ab= a （b）;(3) （a+b） c= ac +b c.30向量平行的坐标表示设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，则 ab(b0)12210 x yx y.31. a与 b 的数量积

9、( 或内积 )ab=|a| b|cos 32. 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积33. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 A11(,)xy，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy. (4) 设 a=( ,),x yR，则a=(,)xy. (5) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 34. 两向

10、量的夹角 公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy). 35. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy). 36. 向量的平行与垂直设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，则A| bb=a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 37. 三角形的重心坐标公式 ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为11A(x ,y )、22B(x ,y)、33C(x ,y), 则 ABC 的 重 心 的 坐 标 是12312

11、3(,)33xxxyyyG. 设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为, ,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. 38. 常用不等式：（1）,a bR222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）,a bR2abab(当且仅当a b 时取“ =”号)（3）bababa.39 已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 40. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有

12、22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀教案欢迎下载41.斜率公式2121yykxx（111(,)P xy、222(,)P xy）. 42.直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P xy，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P xy、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（

13、5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0).43.两条直线的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb;12121llk k. (2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xByC,且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；(1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与 l2的夹角是2. 45.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 46. 圆的

14、四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). 47. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd;0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 48. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 49. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xyDxEyF(2) 已知圆222xyr过圆上的0

15、00(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 50. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 51. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF. 52椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀教案欢迎下载53. 双曲线22221(0,0)xya

16、bab的焦半径公式21| () |aPFe xc，22| ()|aPFexc. 54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线， 可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）. 55. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 56. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或22

17、22211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y, x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 57(1) 加法交换律： ab=ba(2) 加法结合律： ( ab) c=a( bc) (3) 数乘分配律： ( a b)= ab59 共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数 使 a=bPAB、 、三点共线|APABAPt AB(1)OPt OAtOB. 60. 向量的直角坐标运算设a123(,)a aa， b123(,)b b b则(1)ab112233(,)

18、ab abab；(2)a b112233(,)ab ab ab； (3) a123(,)aaa ( R)；(4)ab1 12233a ba ba b；61. 设 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则ABOBOA= 212121(,)xx yy zz. 62空间的线线平行或垂直设111(,)ax y zr，222(,)bxy zr，则abrr0a br r1212120 x xy yz z. 63. 夹角公式设a123(,)a aa， b123(,)b b b，则 cosa，b=1 12233222222123123a ba ba baaabbb. 64异面直线所成角cos| cos

19、,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）65.直线AB与平面所成角sin|AB marcABm(m为平面的法向量 ). 66.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量） . 134. 空间两点间的距离公式若 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 67. 球的半径是R，则精选学习资料 - - - -

20、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀教案欢迎下载其体积343VR, 其表面积24SR (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a. 6813VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高） . 69. 分类计数原理（加法原理）12nNmmm. 70. 排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，m N*，且mn) 注:规定1! 0. 71. 组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(n N*，

21、mN，且mn). 72. 组合数的两个性质(1)mnC=mnnC ;(2) mnC+1mnC=mnC1. 注:规定10nC. 155. 组合恒等式 （1）11mmnnnmCCm;（ 2）1mmnnnCCnm;（3）11mmnnnCCm; （4）nrrnC0=n2; 73. 排列数与组合数的关系mmnnAm C！ . 74单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1） “在位”与“不在位”某（特）元必在某位有11mnA种；某（特）元不在某位有11mnmnAA（补集思想）1111mnnAA（着眼位置）11111mnmmnAAA（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

22、定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有kmknkkAA种. 浮动紧贴：n个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kkknknAA11种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h 个（1hk） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有khhhAA1种. （3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1mn时，无解；当1mn时，有nmnnnmCAA11种排法 . （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为nnmC. 75分配问题（ 1） (平 均分组有归属问题 ) 将相异 的m、n个物

23、件等 分给m个人 ，各得n件 ，其 分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22.（2） (平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN) !( !)!(!.22.（3） (非平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n +n +n个物体分给m个人， 物件必须被分完， 分别得到1n，2n， ，mn件， 且1n，2n， ，mn这m个数彼此不相等， 则其分配方法数共有!.!.21211mnnnnpnpnnnmpmCCCNmm.76. 二项式定理nnnrrnrnnnnnn

24、nnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，. 77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1).kkn knnP kC PP78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)iPi; （2）121PP. 79. 数学期望1122nnEx Px Px P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀教案欢迎下载80. 数学期望的性质（1）()( )E abaEb. （2）若( ,)B n p, 则Enp. 81. 方差222112

25、2nnDxEpxEpxEp标准差=D. 82. 方差的性质 (1)2D aba D；(2 ）若( ,)B n p，则(1)Dnpp. 83.)(xf在),(ba的导数( )dydffxydxdx00()( )limlimxxyfxxf xxx. 84. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 85. 几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） .(2) 1()()nnxnxnQ.(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos(5)xx1

26、)(ln；axaxln1)(log(6) xxee )(; aaaxxln)(. 86. 导数的运算法则（1）()uvuv. （2）()uvu vuv. （3）2()(0)uu vuvvvv. 87. 复合函数的求导法则设函数( )ux在点x处有导数( )xux，函数)(ufy在点x处的对应点U 处有导数( )uyfu，则复合函数( ( )yfx在点x处有导数，且xuxyyu，或写作( )( )( )xfxfux. 89. 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）90. 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 91. 复数的四则运算法(1)()()(

27、)()abicdiacbd i(2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 的角度030456090120135150180270360的弧度06432324365232sin02122231232221010cos12322210212223101tan03313无31330无015、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀教案欢迎下载图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在 2,2kkk上 是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页