第2章插值法ppt课件.ppt

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1、数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第第2章章 插插 值值 法法( Interpolation)一、问题的提出一、问题的提出第一类问题第一类问题 函数函数 y= f(x) 表达式表达式未知未知, 通过观察、通过观察、实验或测量得到上实验或测量得到上n+1个互异点个互异点 xi 的值的值 yi=f(xi) ( i=0, 1,., n) . 第二类问题第二类问题 函数函数 y= f(x)表达式表达式已知已知, 但太复

2、杂但太复杂, 计算得到其计算得到其(容易计算容易计算)在在n+1个互异点个互异点xi 的值的值 yi=f(xi) ( i=0, 1,., n) . 2.1 引引 言言 如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等. 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.Oxyx0 x1xn-1xn两类问题可归结为：已知一个表格函数两类问题可归结为：已知一个表格函数x x0 x1 x2 xny

3、y0 y1 y2 yn1. 问题问题: 如何确定函如何确定函数数f(x) 在任在任意点处的函意点处的函数值数值?y =f(x)x-数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.Oxyx0 x1xn-1xny=p(x)y=f(x)2. 方法方法简单函数简单函数 y= p(x)满足条件满足条件 p(xi) = yi ( i=0, 1,., n) 插值插值和和数据拟合数据拟合用一个简单函数用一个简单函数 y= p(x)近似代替

4、近似代替函数函数y=f(x), 即即 f(x) p(x)3. 插值法的思想插值法的思想插值条件插值条件数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 例如例如, 用计算机程序控制加工机械零件。用计算机程序控制加工机械零件。 根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi, yi) (i=0,1,.,n), 加工时为控制每步走刀方向及步数加工时为控制每步走刀方向及步数, 就要就要算出零件外

5、形曲线其它点的函数值算出零件外形曲线其它点的函数值, 才能加工出外表才能加工出外表光滑的零件光滑的零件, 这就是求这就是求插值函数的问题插值函数的问题. 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义已知函数已知函数y= f(x)在区间在区间a , b 上互异个点上互异个点x0, x1, xn上的值上的值y0, y1, yn, 若存在一简单函数若存在一简单函数P(x)满足满足P(xi)=yi (i=0,1, .,

6、n) (2.1)就称就称P(x)为为f(x)的的插值函数插值函数, 点点x0, x1, xn称为称为插值节插值节点点, (xi, yi) 称为称为插值点插值点, a, b称为称为插值区间插值区间, 求插值函求插值函数数P(x)的方法称为的方法称为插值法插值法, 式式(1.1)称为称为插值条件插值条件. 多项多项式插值、分段插值、三角插值式插值、分段插值、三角插值等等. 本章只讨论多项式插值与分段插值本章只讨论多项式插值与分段插值.数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是

7、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物从几何上看，插值法就是求曲线从几何上看，插值法就是求曲线 y=P(x)， 使其使其通过给定的通过给定的n+1个点个点(xi, yi), i=0,1, ,n，并用它近似，并用它近似已知曲线已知曲线y=f(x)，见下图，见下图.数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 已知函数已知函数 y= f(x)在在n+1个互异点个互异点xi 的值的值yi=f(xi) ( i=0

8、,1,., n) ,求一个多项式求一个多项式p(x), 使其满足使其满足 p(x)是一个次数不超过是一个次数不超过n 的多项式的多项式; p(xi)=yi (i=0,1, ., n)定义定义则则 p(x) 称为称为f(x) 的的n次插值多项式次插值多项式, 用用Pn(x)表示表示, 即即2.1.2 多项式插值多项式插值 (polynomial interpolation) Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (2.2)a=minxi, b=maxxi.数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么

9、把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(1) 插值多项式是否存在插值多项式是否存在? 若存在若存在, 是否唯一是否唯一?所须讨论的问题：所须讨论的问题：(2) 如何求插值多项式如何求插值多项式?(3) 插值多项式近似代替插值多项式近似代替 f(x) 的误差的误差?数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理1 设节点设节点 xi (i=0,1, ,n)互异互异,

10、 则则满足插值条件满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 证证 设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为Pn(x)= a0+a1x+a2x2+.+anxn的次数不超过的次数不超过 n 的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一.由由Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n), 得得 插值多项式的存在性与唯一性插值多项式的存在性与唯一性数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物010000111101

11、(2.3)nnnnnnnnnaa xa xyaa xa xyaa xa xy 其系数行列式为其系数行列式为Vandermonde 行列式：行列式：200021110211()1nnjinj innnnxxxxxxxxxxx 0 由克莱姆法则，方程组由克莱姆法则，方程组(1.3)有唯一解有唯一解. 证毕证毕数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物先讨论先讨论n=1的情形的情形. 假定给定一个区间假定给定一个区间x0,

12、x1 及及端点函数值端点函数值 y0=f(x0), y1=f(x1),要求线性插值多项式要求线性插值多项式L1(x)，使它满足，使它满足L1(x0)=y0, L1(x1)=y1. y=L1(x)的几何意义就是通的几何意义就是通过两点过两点(x0, y0)与与(x1, y1)的的直线，如右图直线，如右图.()yfx 1()yLx yx0 x1x1y0y对给定的插值点对给定的插值点(xi, yi), i=0,1, ,n，求插值多，求插值多项式可以有不同方法。项式可以有不同方法。数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西

13、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物()yfx 1()yLx yx0 x1x1y0y1010010( )()yyL xyxxxx (点斜式方程点斜式方程)可写为可写为011010110( )xxxxL xyyxxxx (对称式方程对称式方程)数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物约瑟夫约瑟夫拉格朗日拉格朗日, 全名约瑟夫全名约瑟夫路路易斯易斯拉格朗日拉格

14、朗日(Joseph-Louis Lagrange)法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。Lagrange法法1736- -1813 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值1736年年1月月25日生于意大利都灵日生于意大利都灵, 1813年年4月月10日卒日卒于巴黎于巴黎. 他在数学、力学和天文学三个学科领域中都他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出其中尤以数学方面的成就最为突出. 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界

15、里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物n=1时时, 由对称式方程由对称式方程01010110( ),( )xxxxlxlxxxxx 011010110( )xxxxL xyyxxxx 线性组合得到的线性组合得到的, 其系数分别为其系数分别为y0及及y1, 即即 l0(x)及及l1(x)是一次多项式是一次多项式, 在节点在节点x0及及x1上分别满足上分别满足10 01 1( )( )( ).L xy lxy lx 00011111()1,()0;()0,()1.lxlxl xl x 2.2.1 线性插值与抛物线插值线性插值与抛物线插值看出看出, L1(x)是由两个线性函

16、数是由两个线性函数数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物称称l0(x)及及l1(x)为为线性插值基函数线性插值基函数，它们的图形为，它们的图形为插值基函数的特点插值基函数的特点： x0 x1 1l01 10 0l1 10 01 10 xy1 O x0( )lx y 11( )lxO x1x0 x1x1x0 x1l0 0l1 1数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了

17、一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物y=L2(x)在几何上就是通过三点在几何上就是通过三点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)的抛物线的抛物线. n=2时时, 假定插值节点为假定插值节点为x0, x1, x2，要求二次插值，要求二次插值多项式多项式L2(x)，使它满足，使它满足L2(x0)=y0 0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2.1,(),0,1,2.0,ikikl xi kik 用基函数方法用基函数方法, 此时基函数此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)

18、是二次是二次函数函数, 且在节点上分别满足条件且在节点上分别满足条件数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物满足条件的插值基函数很容易求出满足条件的插值基函数很容易求出. 例如求例如求l0(x), 因因它有两个零点它有两个零点x1及及x2, 故可表示为故可表示为012( )()(),l xA xxxx 其中其中A为待定系数，可由条件为待定系数，可由条件l0(x0)=1定出定出01021,()()Axxxx 于是于是1

19、200102()()( ),()()xxxxl xxxxx 同理可得同理可得0211012()()( ),()()xxxxl xxxxx 0122021()()( ).()()xxxxl xxxxx 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物n=2时的二次基函数图形为时的二次基函数图形为: 利用二次插值基函数利用二次插值基函数l0(x), l1(x), l2(x)，立即得到，立即得到二次多项式二次多项式20 01 12

20、 2( )( )( )( ).L xy lxy lxy lx 显然满足显然满足 L2(x0)=y0 0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2.数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物20 01 12 2( )( )( )( ).L xy lxy lxy lx 将上面求得的基函数将上面求得的基函数l0(x), l1(x), l2(x)代入得代入得1220010202110120122021()()( )()()(

21、)()()()()()()()xxxxL xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxx 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式对对n=1和和n=2的情形的情形, 得到了一次与二次插值多得到了一次与二次插值多项式项式L1(x)及及L2(x), 它们分别是基函数的线性组合它们分别是基函数的线性组合, 下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般下面将用基函数表示插值多

22、项式的方法推广到一般情形情形. Ln(xj)=yj, j=0,1, ,n. 为了构造为了构造Ln(x)，我们先定义，我们先定义n次插值基函数次插值基函数.构造通过构造通过n +1个节点个节点x0 x1xn的的n次插值多次插值多项式项式Ln(x)，假设它满足条件，假设它满足条件数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义1若若n次多项式次多项式lj(x) (j=0,1,n)在在n +1个节个节点点x0 x1xn上满

23、足条件上满足条件1,()( ,0,1, )0,jkkjlxj knkj 就称这就称这n +1个个n次多次多项式项式l0(x), l1(x), , ln(x)在为节点在为节点x0, x1, , xn上的上的n次插次插值基函数值基函数.0101( )( )( )nnxxxlxlxlx 节节函函 点点 数数函数值函数值100 010 001 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物用类似的推导方法，可得到用类似的推导方法，

24、可得到n次插值基函数为次插值基函数为00()()( )()()(0,1, )nkkknxxxxlxxxxxkn 11()()kkxxxx 11()()kkkkxxxx 0101( )( )( )nnxxxlxlxlx 节节函函 点点 数数函数值函数值100 010 001 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物构造构造次数不超过次数不超过n的多项式的多项式称为称为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式。则则Ln(x)

25、满足满足Ln (xj)= yj , i=0,1, , n,)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn 由唯一性得：由唯一性得： Ln (x) Pn (x)数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物记记1010( )()()()(),nnnkkxxxxxxxxx 则则于是于是1001( )( )( ).()()nnnnk kkkkknkxL xy lxyxxx Note: n次插值多项式是次数次插值多项式是次

26、数n的多项式的多项式, 特殊情况下特殊情况下次数可能小于次数可能小于n. 如过三点如过三点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)的二的二次插值多项式次插值多项式L2(x),如果三点共线如果三点共线,则则y=L2(x)就是一直就是一直线线, 而不是抛物线而不是抛物线, 这时这时L2(x)是一次多项式是一次多项式.10()()().nkkknxxxxx 11()()kkkkxxxx 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：

27、表里边有一个活的生物 Remark:(1) 对于插值节点对于插值节点,只要求它们互异只要求它们互异,与大小次序无关与大小次序无关;(2) 插值基函数插值基函数lk(x) 仅由插值节点仅由插值节点xk (k=0,1, ,n)确定确定, 与被插函数与被插函数 f(x)无关无关;(3) 插值基函数插值基函数lk(x) 的顺序与的顺序与插值节点插值节点xk (k=0,1, ,n) 的顺序一致的顺序一致.数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表

28、里边有一个活的生物所以所以019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55L xy lxy l xxx 1137(7)2.65L 01,4,9,yx xx7 例例1 已知已知 用线性插值用线性插值(即一即一次插值多项式次插值多项式)求求 的近似值。的近似值。012,3,yy 基函数分别为基函数分别为:解解插值多项式为插值多项式为23(9)(4)55xx 1(6)5x( )数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美

29、丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例例2 求过点求过点(- -1,- -2), (1,0), (3,- -6), (4,3)的抛物线插值的抛物线插值(即三次插值多项式

30、即三次插值多项式).解解 以以以为节点的以为节点的基函数分别为基函数分别为:数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401) 2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423

31、 xx()则拉格朗日则拉格朗日的三次插值多项式为的三次插值多项式为数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 截断误差截断误差 Rn(x)=f (x) - -Ln(x) 也称为插值多项式也称为插值多项式的的余项余项.2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计定理定理2 设设f(n)(x)在在a ,b上连续，上连续，f(n+1)(x)在在(a, b)内内存在，节点存在，节点ax0 x1n时恒等于时恒等于0, 即即0

32、20110111, , kkkkf xxxf x xxf x xxxxx 当当k n时是一个时是一个n-k次多次多项式项式; 而当而当kn时时, 由性质由性质3得其得其恒等于恒等于0.数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.3.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式设设x是是a，b上一点，由一阶均差定义得上一点，由一阶均差定义得)(,)()(000 xxxxfxfxf 同理，由二阶均差定义同理，由二阶均差定义)(,11

33、0100 xxxxxfxxfxxf 如此继续下去，可得一系列等式如此继续下去，可得一系列等式000)()(,xxxfxfxxf 110010,xxxxfxxfxxxf 得得得得数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物01010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxxfxxx

34、fxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物00100101001001201012012( )(),(

35、) ,()()(),(),()() ,()()()( )( )nnf xf xf x xxxf x x xxxxxf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxxP xR x 00100120101010011( )( ) , () , , ()() , ,()()( ) , , ( )nnnnkkkP xf xf x x x xf x x xx xx xf x xxx xx xf xf x xxx 00101( ) ,()()() ,( )nnnnnR xf x xxxxxxxxf x xxx (3.6)(3.7)数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大

36、学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )( )( )nnf xP xR x 可见可见, Pn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Pn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 满足插值条件满足插值条件, 故其为插值问题的解故其为插值问题的解, Pn(x)称为称为牛顿插牛顿插值多项式值多项式。001001201001( )( ) , () , ,()() , ,()()nnnP xf xf x xx xf x

37、 x xx xx xf xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx Rn(x)称为称为牛顿型插值余项牛顿型插值余项。数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式(2.12)是等价的，即是等价的，即 Ln(x) Pn(x)且有如下且有如下递推形式递推形式1001( )( ),()()nnnnP

38、xPxf xxxxxx 和和余项公式余项公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性质由此即得性质(3). 且且)()(,)()(,)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xk f(xk)一阶均差一阶均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差 四阶均差四阶均差0.400.550.6

39、50.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例例4 已知已知f(x)=shx的数表的数表,求二次牛顿插值多项式求二次牛顿插值多项式,并由此计算并由此计算f(0.596)的近似值的近似值. 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xk f(xk)一阶均差一阶

40、均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差 四阶均差四阶均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.03442( )0.41075 1.1160(0.40)0.2800(0.40)(0.55)P xxxx 解解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为2(0.596)(0.596)0.632010fP 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数

41、学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2(0.596)(0.596)0.632010fP 又又1970. 0,3210 xxxxf还可得过前四点的三次牛顿插值多项式还可得过前四点的三次牛顿插值多项式32( )( )0.1970(0.40)(0.55)(0.65)P xP xxxx6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得P3(x)的截断误差的截断误差631034. 0)59

42、6. 0( R0344. 0,40 xxf数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物用插值法计算用插值法计算x约为多少时约为多少时f(x)=1（小数点后至少保（小数点后至少保留留4位）位）. 例例 已知单调连续函数已知单调连续函数 y=f(x)的如下数据的如下数据ix()if x1.581.170.101.231.801.500.000.11 解解:(反插值法反插值法)作辅助函数作辅助函数 g(x)=f (x)- -1

43、, 则问题转则问题转化为化为x为多少时为多少时g(x)=0, 此时可作新的关于此时可作新的关于g(xi)的函数的函数表，由表，由f(x)单调连续知也单调连续单调连续知也单调连续, 因此可对因此可对g(x)的数的数值进行反插值值进行反插值. 由数据表由数据表ix)(iixgy 0.580.17-1.10-2.231.801.500.00-0.11数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物作出均差表作出均差表y)(1ygx

44、i 1.800.580.7317071.500.17-0.2674971.1811020.00-1.10-0.2558940.4515650.097345-0.11-2.23三阶均差三阶均差二阶均差二阶均差一阶均差一阶均差得牛顿型插值多项式为得牛顿型插值多项式为0.110.097345(2.23)0.451565(2.23)(1.10)xyyy )17. 0)(10. 1)(23. 2(255894. 0 yyy故故1(0)1.321497.xg 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美

45、丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.3.4 差分与等距节点的牛顿插值差分与等距节点的牛顿插值 设函数设函数y=f(x)在等距节点在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上上的函数值为的函数值为fi=f(xi)(h为步长为步长) 一般地一般地, f(x) 在点在点 xk 处的处的 m 阶向前差分和阶向前差分和 m 阶向阶向后差分分别为后差分分别为定义定义2分别称为函数分别称为函数f(x)在点在点xk处的一阶向前差分和一阶向处的一阶向前差分和一阶向后差分后差分.,11 kkkkkkffffff,111111 kmkmkmkmkmkmffffff数值

46、分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物函数值函数值 一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分 三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分 . f 0 f 1 f 2 f 3f 4 . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4). 4f0 ( 4f4) .表表2-2数值分析数值分析第二章第二

47、章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物性质性质1 mfi= mfi+m性质性质2 111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h差分有如下基本性质差分有如下基本性质110110( 1)( 1)( 1)( 1)nnnnjjin inn ininn i jjnnnnjjiinini nni jjffC fC fC fffC fC fC f 数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学

48、院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn称为称为牛顿前插公式牛顿前插公式，其余项为，其余项为),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值节点为插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 令令 x=x0+th (0 t n), 代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式 ,可得可得数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学

49、学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 类似地类似地, 可令可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得，可得牛顿后牛顿后插公式插公式)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余项及其余项数值分析数值分析第二章第二章 插值法插值法 太原理工大学数学学院太原理工大学数学学院我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

50、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5 设设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用用3次牛顿前次牛顿前插公式计算插公式计算f(1.2) 的近似值并估计误差的近似值并估计误差.解解 相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下:xif (xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.