2022年高考数学二轮专题复习教案函数与方程的思想方法 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程 f(x) 0 的解就是函数 yf(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y 0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质， 解有关求值、 解( 证 ) 不等式、 解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中， 通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质， 达到化难为易， 化繁为简的目的. 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可

2、以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数， 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中

3、的等量关系. 3(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当 y0 时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x) 看做二元方程yf(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等） 可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x)0，就是求函数yf(x)的零点。(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y f(x) ，当 y0 时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4) 函数 f(x)nbax

4、)(（nN*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、例题解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页学习好资料欢迎下载运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。例 1 已知155acb， （a、b、cR） ，则有（）(

5、A) acb42(B)acb42(C)acb42(D)acb42解析法一：依题设有a5b5c0 5是实系数一元二次方程02cbxax的一个实根；acb420 acb42故选 (B) 法二：去分母，移项，两边平方得：22210255cacab10ac25ac20ac acb42故选 (B) 点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是 a、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。练习 1 已知关于x的方程2x （2 m8） x +2m16 = 0 的两个实根1x、2x满足1x232x，则实数m 的取值范围 _。答案：17|22mm；2

6、 已知函数32( )f xaxbxcxd的图象如下，则（）（A）,0b(B)0,1b(C) (1,2)b(D)(2,)b答案： A. 3 求使不等式)lg( xyalgyx22lglg对大于 1 的任意 x、y 恒成立的a 的取值范围。：构造函数或方程解决有关问题：例 2 已知ttf2log)(，t2， 8，对于 f(t) 值域内的所有实数m，不等式xmmxx4242恒成立，求x 的取值范围。解析 t2，8， f(t) 21，3 原题转化为：2)2()2(xxm0 恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要）x 2 1 y 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

7、 - - - - - - -第 2 页，共 37 页学习好资料欢迎下载当 x2 时，不等式不成立。x2。令 g(m)2)2()2(xxm，m21， 3 问题转化为g(m)在 m21，3上恒对于0，则：0)3(0)21(gg；解得： x2 或 x0，13S0 13Sdda52156781310 724d3 （2）nddndnnnaSn)2512(212) 1(21d0，nS是关于 n 的二次函数，对称轴方程为：xd1225724d3 6d12251，两函数图象如下图所示，显然当x()12，时，要使yy12，只需使log()aa22122，即，综上可知当12a时，不等式()logxxa12对x()

8、12，恒成立。若01a，两函数图象如下图所示，显然当x()12，时，不等式()logxxa12恒不成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页学习好资料欢迎下载可见应选C 8. A 提示： f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2 个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即 y 轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2 对称，由 f(x)在（，2）上为增函数，可知， f(x)在()2，上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题：9. 22提示： |Z|=2 表示以原点为原心，以2 为半

9、径的圆，即满足|Z|=2 的复数 Z 对应的点在圆O上运动，（如下图），而 |z+1 i|=|z （ 1+i）| 表示复数Z与 1+i 对应的两点的距离。由图形，易知，该距离的最大值为22。10. fff( )( )()143提示：由ftft()()22知， f(x)的图象关于直线x=2 对称，又fxxbxc( )2为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知fff( )()()134、的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页学习好资料欢迎下载11. m()15，提示：设yxxym12245|

10、|，画出两函数图象示意图，要使方程xxm245| |有四个不相等实根，只需使15m12. 最小值为13提示：对xxxx2222211110()()()，联想到两点的距离公式，它表示点（ x，1）到（ 1，0）的距离，xxx222613313()()表示点（ x，1）到点（ 3，3）的距离，于是yxxxx2222613表示动点（ x，1）到两个定点（ 1，0） 、 （3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin13。13. m(21，提示： y=xm 表示倾角为45，纵截距为m 的直线方程，而yx12则表示以（ 0，0）为圆心， 以 1 为半径的圆在x 轴上方的部分 （包括圆与x 轴的交点），如下

11、图所示， 显然，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页学习好资料欢迎下载欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m)12， 即m(21，。三、解答题：14. 解：原方程等价于xxmxxxxmxxxmxxxm222230300333300343令yxxym12243，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意03x，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见， 当 m=1， 或30m时， 原方程有唯一解， 因此 m 的取值范围为3， 01。注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，

12、使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。15. 解：令yxxyaxyxx12212414，其中()表示以 （ 2，0）为圆心，以 2 为半径的圆在x 轴的上方的部分 （包括圆与x 轴的交点）， 如下图所示，yax21()表示过原点的直线系，不等式412xxax()的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x 值。由于不等式解集Axx |02因此，只需要aa112，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页学习好资料欢迎下载a 的取值范围为（2，+） 。16. 解：将原方程化为：log ()logaaxa

13、kxa22，xakxaxakxa222200，且，令yxak1，它表示倾角为45的直线系，y10令yxa222，它表示焦点在x 轴上，顶点为（a， 0） （a， 0）的等轴双曲线在x 轴上方的部分，y20原方程有解，两个函数的图象有交点，由下图，知akaaak或0kk101或k 的取值范围为()()，101精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页学习好资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页学习好资料欢迎下载分类讨论思想在解题中的应

14、用一、知识整合1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想， 这种思想对于简化研究对象， 发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2. 所谓分类讨论， 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类， 然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略3. 分类原则：分类对象确定， 标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳

15、小结，综合出结论。5. 含参数问题的分类讨论是常见题型。6. 注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例 1. 一条直线过点（ 5，2） ，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（）A. xy70B. 250 xyC. xyxy70250或D. xyyx70250或分析：设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a, 当 a=0时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；当a0时，设直线方程为xayaa17，则求得，方程为xy70。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页学习好资料欢迎下载例 2ABCABC中，

16、已知，求sincoscos12513分析： 由于CAB()coscos()coscossinsinCABABAB因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB 即可得 cosC的值。但是由 sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角 A进行分类。解：051322cosBBABC，且为的一个内角45901213BB，且 sin若为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032若 为钝角，由，得，此时AAAABsin12150180这与三角形的内角和为180相矛盾。 可见A150coscos()cos()CABABcoscossinsinAB

17、AB32513121213125326例 3. 已知圆 x2+y2=4，求经过点 P（2，4） ，且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件： “圆心到切线的距离等于圆的半径” ，待定斜率 k，从而得到所求直线方程，但要注意到： 过点 P的直线中， 有斜率不存在的情形， 这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形： （1）斜率存在时，（ 2）斜率不存在解（略） ：所求直线方程为3x-4y+10=0 或 x=2 例 4. 解关于 的不等式：xlog ()ax111分析：解对数不等式时， 需要利用对数函数的单调性，

18、把不等式转化为不含对数符号的不等式。 而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同， 故需对 a 进行分类讨论。解： 若，则原不等式等价于a 111110 xaax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 37 页学习好资料欢迎下载若，则原不等式等价于0111011111axxaxa综上所述，当时，原不等式的解集为；axax1110当时，原不等式的解集为01111axxa例 5.解不等式542xxx分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知， 只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方

19、向， 因此应根据运算需求分类讨论，对x 分类。解：原不等式等价于或xxxxxxxxx05405405402222xxxxx05111421142051或0114250 xx或51142x原不等式的解集为 xx51142例 6.解关于 的不等式：xaxax2110()分析：这是一个含参数a 的不等式， 一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类： （1）a0（2）a=0，对于（2） ，不等式易解；对于（ 1） ，又需再次分类： a0或 a0，令TSSnTnnnn1，求lim。分析：对于等比数列的前n 项和 Sn的计算，需根据 q 是否为 1 分为两种情形：当时，；当时，q =1Sn

20、aqSaqqnnn11111()另外，由于当时，而已知条件中| |limqnqqn100故还需对 q 再次分类讨论。解： 当时，qSnaSnann11111()limlimnTnnnn11当时，qSaqqSaqqnnnn111111111()()TSSqqnnnnn111101lim1nqTn当时，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 37 页学习好资料欢迎下载1111limlim1nnnqqTnnqqq当时，综上所述，知，lim()()nTqqqn10111例 8. 设，问方程表示什么曲线？kRk xkykk()()()

21、()848422分析： 容易想到把方程变形为，但这种变形需要，且xkykk224814kkkk848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()要进行分类：，又注意到kkkkk()()()444888kkkk kk480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为， ， ，k644466()()（ ， ）， ，（ ，）6888解： （1）当 k=4 时，方程变为 4x2=0，即 x=0，表示直线；（2）当 k=8 时，方程变为 4y2=0，即 y=0，表示直线；（ ）当且时，原方程变为34848122kkxkyk（i ）当 k4 时，方程表示双曲线

22、；（ii ）当 4k6时，方程表示椭圆；（iii）当 k=6 时，方程表示圆；（iv ）当 6k8 时，方程表示双曲线。例 9. 某车间有 10 名工人，其中 4 人仅会车工， 3 人仅会钳工， 另外三人车工钳工都会，现需选出6 人完成一件工作，需要车工，钳工各3 人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有6 人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7 人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的 6 人中不含全能

23、工人；（2）选出的 6 人中含有一名全能工人；（3）选出的 6 人中含 2 名全能工人；（4）选出的 6 人中含有 3 名全能工人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 37 页学习好资料欢迎下载解： CCCCCCCCCCCCCCCCP4333433132423133323143324133324232CCCCCCC3343324132323142309或：CCCCCCCCCC33733132633231533343309三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略， 对于何时需要分类讨论， 则要视具体问

24、题而定， 并无死的规定。 但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象， 若不对其分类就不能说清楚， 则应分类讨论， 另外，数学中的一些结论， 公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因， 因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：（1） “方程20axbxc有实数解”转化为240bac“”时忽略了了个别情形：当 a=0 时，方程有解不能转化为0；（2） 等比数列11na q的前n项和公式1(1)1nnaqSq中有个别情形：1q时，公式不再成立，而是Sn=na1。(3)设直线方程时，

25、一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4) 若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1xyaa，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。【模拟试题】一. 选择题： 1. 若 aapaaqaapqaa011132，且，则 、log ()log ()的大小关系为（） A. pqB. pq C. pqD. apq1时，； 01apq时， 2. 若Ax xpxxR|()2210，且 AR，则实数中的取值范围是（） A. p2B. p2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37

26、 页学习好资料欢迎下载 C. p2D. p4 3. 设 A=x xaBx axABBa|010，且，则实数 的值为（） A. 1 B. 1C. 11或D. 110，或 4. 设是 的 次方根，则236的值为（） A. 1 B. 0 C. 7 D. 0 或 7 5. 一条直线过点（ 5，2） ，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（） A. xy70 B. 250 xy C. xyxy70250或 D. xyyx70250或 6. 若sincossincos()xxxx nNnn1，则的值为（） A. 1 B. 1C. 11或D. 不能确定 7. 已知圆锥的母线为 l ，轴截面顶角为，

27、则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（） A. 122lsinB. 122l C. l2sinD. 以上均不对 8. 函数fxmxmx()()231的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数 m的取值范围为（） A. 0，B. ，1 C. 01，D. （，）01二. 填空题 9. 若 圆 柱的 侧 面 展开 图 是 边 长 为 4 和 2 的 矩 形 ， 则 圆 柱 的 体 积是_ 。 10. 若 loga231，则 a 的取值范围为 _ 。 11. 与圆xy2221()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

28、 - - - -第 28 页，共 37 页学习好资料欢迎下载_ 。 12. 在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽取5 件，至少有 3 件次品的抽法共有_ 种（用数字作答） 13. 不等式322101loglog()aaxxaa且的解集为 _ 。三. 解答题： 14. 已知椭圆的中心在原点， 集点在坐标轴上， 焦距为 2 3，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。 15. 设 a0且a1，试求使方程 log ()log()aaxakxa222有解的 k 的取值范围。【试题答案】一. 选择题 1. C 2. D 3. D

29、 4. D 5. C 6. A 7. D8. B 提示：1. 欲比较 p、q 的大小，只需先比较 aaaa3211与的大小，再利用对数函数的单调性。而决定aaaa3211与的大小的a 值的分界点为使()aa31()()aaaa22110的 a 值：a=1，当 a1时，aaaa3211，此时 log ()log ()aaaaaa3211 ，即pq.当0111113232aaaaaaaaaaa时，此时 log ()log ()即pq。可见，不论 a1 还是 0aq。 2. 若A，即()ppAR240402，时，；若AppAR，则时，02200精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

30、纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页学习好资料欢迎下载可见当400pp或时， 都有AR，故选（ D ） 3. 若BABBa，则，此时0若B，则a0，BaABBBA1，由知11011011aAaaaa，解得或，故， 或 4. 由是 1 的 7 次方根， 可得71；显然， 1 是 1的 7 次方根， 故可能1；若111101267，则，若，则11111726故选（ D） 5. 设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为a, 当 a=0时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；当a0时，设直线方程为xayaa17，则求得，方程为xy70 6. 由sincos(sinc

31、os )sincosxxxxxx1102，得，即当时，；当时，sincoscossinxxxx0101于是总有sincosnnxx1，故选（ A） 7. 当90时，最大截面就是轴截面，其面积为122l sin；当90时，最大截面是两母线夹角为90的截面，其面积为122l可见，最大截面积为121222ll或sin，故选（ D） 8. 当m0时， f xxx( )31130，其图象与 轴交点为（， ） 满足题意当时，再分，两种情形，由题意得mmm000mmmmxxmmm0032001001012或解得或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

32、0 页，共 37 页学习好资料欢迎下载综上可知，mmm0001或或， m1故选（ B）二. 填空题 9. 84或（提示：若长为 4 的边作为圆柱底面圆周的展开图， ，则V柱2282)；若长为 2 的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱1442)） 10. 0231aa或（提示：对 a 分：011aa与两种情况讨论） 11. yxyxxyxy33220220或或或()()（提示：分截距相等均不为0 与截距相等均为 0 两种情形） 12. 4186种（提示：对抽取5 件产品中的次品分类讨论： （1）抽取的 5 件产品中恰好有3件 次 品 ； （ 2） 抽 取 的 5 件 产 品 中 恰 好 有4 件

33、 次 品 ，于 是 列 式 如 下：CCCC4346244461=4140+46 =4186） 13. 若a1，则解集为xaxaxa2334或若01a，则解集为xaxaxa34230或（提示：设logaxttt，则原不等式可简化为3221解之得2334123341ttxxaa或，即或loglog对 a 分类：a1时，axaxa2334或；0102334aaxaxa时，或）三. 解答题 14. 解： （1）若椭圆与双曲线的焦点在x 轴上，可设它们方程分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 37 页学习好资料欢迎下载xayb

34、abxaybab2222222210100（），( ) ，依题意ccabcacbaacacaababxyxy13282377632493619412222222222：两曲线方程分别为，（2）若焦点在 y 轴上，则可设椭圆方程为yaxbab222210()双曲线方程为yaxbab2222100( )，依题意有cccabcabaacacaabab13282377632222222：椭圆方程为，双曲线方程为yxyx222249361941 15. 解：原方程可化为log ()logaaxakxaxakxa2222令fxxakg xxaxakxa( )( )()，且222200则对原方程的解的研究，

35、可转化为对函数fxg x( )( )、图象的交点的研究下图画出了 g x( ) 的图象，由图象可看出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 37 页学习好资料欢迎下载y g(x) f(x) g(x) a A1A2 x -a O a -a （1）当直线fxxakAaAa( )()()过点，1200时，与双曲线无交点，此时k1即当k1时，原方程无解；（2）当直线 f xxakOf x( )( )过原点（ ， ）时，00图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当k=0 时，原方程无解；（3）当直线fxxak( )的纵截距满

36、足aakaka0或，即01k或k31时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。综上所述，当k()，（ ， ）时，原方程有解。101精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 37 页学习好资料欢迎下载化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程， 选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。2化归与转化思想的实质是揭示联

37、系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲， 解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是， 如未知向已知转化， 复杂问题向简单问题转化， 新知识向旧知识的转化， 命题之间的转化，数与形的转化， 空间向平面的转化， 高维向低维转化， 多元向一元转化，高次向低次转化， 超越式向代数式的转化， 函数与方程的转化等， 都是转化思想的体现。3转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化

38、，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。4化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论， 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则： 当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面， 设法从

39、问题的反面去探求，使问题获解。二、例题分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 37 页学习好资料欢迎下载例 1某厂 20XX年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设， 元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12 月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入 N的大小关系是（）A. mN B. mN C.m=N D.无法确定 分析 每月的利润组成一个等差数列 an ，且公差d0，每月的投资额组成一个等比数列bn ，且公比

40、 q1。11ab，且1 212ab，比较12S与12T的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d 是关于 n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。 等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于 n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai bi 则12S12T，即 m N 。 点评 把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。 在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。例 2如果，三棱锥

41、PABC中，已知 PA BC ，PA=BC=l ，PA ，BC的公垂线ED=h 求证三棱锥 PABC的体积216Vl h分析：如视 P为顶点， ABC为底面，则无论是 SABC以及高 h 都不好求如果观察图形，换个角度看问题， 创造条件去应用三棱锥体积公式， 则可走出困境解：如图，连结 EB ，EC ，由 PA BC ，PA ED ，ED BC=E ，可得 PA 面 ECD 这样，截面 ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以 PE 、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l ，所以VP ABC=VP ECD+VA ECD=13SECD? AE+13S

42、 ECD? PE=13SECD? PA=13?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 37 页学习好资料欢迎下载12BC ED PA=216Vl h评注：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解例 3在25(32)xx的展开式中 x 的系数为 ( ) (A)160 (B)240 (C)360 (D)800 分析与解：本题要求25(32)xx展开式中 x 的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理， 因此，就要把对 x 系数的计算用上述两种思路进行转化：思路 1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则25

43、(32)xx展开式是一个关于 x 的 10 次多项式，25(32)xx =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5 个括号中的一个中选取一次项 3x 并在其余四个括号中均选择常数项 2 相乘得到，故为15C (3x) 44C 24=5316x=240 x，所以应选 (B) 思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，这条思路下又有四种不同的化归与转化方法如利用x2+3

44、x+2=x2+(3x+2) 转化，可以发现只有55C (3x+2)5中会有 x 项，即45C (3x) 24=240 x， 故选(B) ； 如利用 x2+3x+2= (x2+2)+3x 进行转化，则只15C (x2+2) 4 3x 中含有 x 一次项， 即15C 3x C44 24=240 x；如利用 x2+3x+2=(x2+3x)+2 进行转化，就只有45C (x2+3x)24中会有 x 项，即 240 x； 如选择 x2+3x+2=(1+x)(2+x) 进行转化，25(32)xx=5(1)x5(2)x展开式中的一次项 x 只能由 (1+x)5中的一次项乘以 (2+x)5展开式中的常数项加上

45、(2+x)5展 开 式 中 的 一 次 项 乘 以 (1+x)5展 开 式 中 的 常 数 项 后 得 到 ， 即 为15C x55C 25+15C ?24?x?05C ?15=160 x+80 x=240 x，故选 (B) 评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。例 4若不等式243xpxxp对一切04p均成立，试求实数x的取值范围。解：243xpxxp2(1)430 xpxx令()g p2(1)43xpxx，则要使它对04p均有( )0g p，只要有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 37 页学习好资料欢迎下载(

46、0)0(4)0gg3x或1x。点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位， 我们称之为主元， 由于思维定势的影响， 在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。 但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。 本题中，若视 x 为主元来处理， 既繁且易出错， 实行主元的转化，使问题变成关于 p 的一次不等式， 使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。三、总结提炼1熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、 公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼， 要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础， 重转化”是学好中学数学的金钥匙。2为了实施有效的化归， 既可以变更问题的条件， 也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构， 又可以变换问题的外部形式， 既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 37 页