2022年高考数学二轮复习知识点总结概率 .pdf

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1、知识点大全概率【高考考情解读】1. 古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小，易于得分.2. 解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质，如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大，易于得满分.3. 近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查，涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验，试题难度中等，考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力1 概率的五个基本性质(1) 随机事件A的概率： 0P(A) 1.(2) 必然事件的概率为1.

2、(3) 不可能事件的概率为0. (4) 如果事件A与事件B互斥，则P(AB) P(A) P(B) (5) 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(AB) P(A) P(B)1，即P(A) 1P(B) 2 两种常见的概型(1) 古典概型特点：有限性，等可能性概率公式：P(A) 事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数. (2) 几何概型特点：无限性，等可能性概率公式：P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 考点一古典概型例 1 (2013山东 ) 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高( 单位：米 ) 及体重指标( 单位：千克 / 米2)

3、如下表所示：A B C D E身高1.691.731.751.791.82 体重指标19.225.118.523.320.9 (1) 从该小组身高低于1.80 的同学中任选2 人，求选到的2 人身高都在1.78 以下的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页知识点大全(2) 从该小组同学中任选2 人，求选到的2 人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率解(1) 从身高低于1.80 的 4名同学中任选2人， 其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B) ，(A，C) ，(A，D) ，(B，C

4、)，(B，D) ，(C，D) 共 6 个设“选到的2 人身高都在1.78 以下”为事件M，其包括的事件有3 个，故P(M) 3612. (2) 从小组 5 名同学中任选2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B) ，(A，C) ，(A，D) ， (A，E) ，(B，C) ，(B，D) ，(B，E) ，(C，D) ，(C，E) ，(D，E) 共 10 个设“选到的2 人的身高都在1.70 以上且体重指标都在 18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有： (C，D) ，(C，E) ，(D，E) 共 3 个则P(N) 310. 求古典概型概率的步骤(1) 反复阅读题目，收集题目中的各

5、种信息，理解题意；(2) 判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3) 利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4) 计算事件A的概率P(A) mn. (1)(2012 安徽 ) 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和3 个黑球从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.15B.25C.35D.45答案B 解析利用古典概型求解设袋中红球用a表示， 2 个白球分别用b1，b2表示， 3 个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a，b1) ，(a，b2) ，(a，c1) ，(a，c2)

6、，(a，c3) ，(b1，b2) ，(b1，c1) ，(b1，c2) ，(b1，c3) ，(b2，c1) ，(b2，c2)，(b2，c3) ，(c1，c2)， (c1，c3) ，(c2，c3) ，共 15 个两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b1，c1) ，(b1，c2) ，(b1，c3) ，(b2，c1) ，(b2，c2) ， (b2，c3) ，共 6 个其概率为61525. 故选 B. (2) 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6， 若|ab| 1，就称甲乙“心精选学习资料 - - - - -

7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页知识点大全有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.1136B.518C.16D.49答案D 解析根据题目条件知所有的数组(a，b) 共有 6236 组，而满足条件 |ab| 1 的数组(a，b) 有：(1,1)，(2,2) ，(3,3) ，(4,4)，(5,5) ，(6,6)，(1,2)，(2,1) ，(2,3)，(3,2) ，(3,4) ， (4,3)，(4,5)，(5,4) ，(5,6) ，(6,5) ，共有 16 组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P163649. 故选

8、D. (3) 盒中有 6 个小球，其中3 个白球，记为a1，a2，a3,2 个红球，记为b1，b2,1 个黑球，记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别求从盒中取一球是红球的概率；从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1 分，取红球得2 分，取黑球得3 分，求两次取球得分之和为5 分的概率解所有基本事件为：a1，a2，a3，b1，b2，c1共计 6 种记“从盒中取一球是红球”为事件A，事件A包含的基本事件为：b1，b2，P(A) 2613. 从盒中取一球是红球的概率为13. 记“两次取球得分之和为5 分”为事件B，总事件包含的基本事件为：(a1，a1) ，(a1，a2)

9、 ，(a1，a3) ，(a1，b1) ，(a1，b2) ，(a1，c1) ，(a2，a1) ，(a2，a2) ，(a2，a3) ，(a2，b1) ，(a2，b2) ，(a2，c1) ，(a3，a1) ，(a3，a2) ，(a3，a3) ，(a3，b1)，(a3，b2) ，(a3，c1)， (b1，a1) ，(b1，a2)，(b1，a3) ，(b1，b1) ， (b1，b2) ，(b1，c1) ，(b2，a1) ，(b2，a2) ，(b2，a3) ，(b2，b1) ，(b2，b2) ，(b2，c1) ，(c1，a1) ，(c1，a2) ，(c1，a3)，(c1，b1) ，(c1，b2)， (c1

10、，c1) ，共计 36 种而事件B包含的基本事件为：(b1，c1) ，(b2，c1) ，(c1，b1) ，(c1，b2) ，共计 4 种P(B) 43619. “两次取球得分之和为5 分”的概率为19. 考点二几何概型例 2 ( 2013四川 ) 节日前夕， 小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页知识点大全亮相互独立， 且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是( )

11、 A.14B.12C.34D.78答案C 解析设在通电后的4 秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知0 x40y4|xy| 2，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2 秒的概率为P(|xy| 2)S正方形2SABCS正方形442122244121634. 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 (1) 在区间 0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x) x3axb在区间 1,1 上有且仅有一

12、个零点的概率是( ) A.18B.14C.34D.78(2)(2012 湖北 ) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A12B.121C.2D.1答案(1)D (2)A 解析(1) 因为f(x) 3x2a， 由于a0， 故f(x) 0恒成立，故函数f(x) 在1,1 上单调递增，故函数f(x) 在区间 1,1 上有且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页知识点大全只有一个零点的充要条件是f，f，即ab10，ab10.设点 (a，

13、b) ，则基本事件所在的区域是0a2，0b2，画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义， 所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2 为边长的正方形的面积的比值，这个比值是78. 故选 D. (2) 方法一解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC. 不妨令OAOB2，则ODDADC1. 在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S14121141211 1，所以整体图形中空白部分面积S22. 又因为S扇形OAB1422 ，所以阴影部分面积为S3 2. 所以P212. 方法二连接AB，由S弓形 ACS弓形 BCS弓形 O

14、C可求出空白部分面积设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA2. 由题意知CAB且S弓形 ACS弓形 BCS弓形 OC，所以S空白SOAB1222 2. 又因为S扇形 OAB1422 ，所以S阴影2. 所以PS阴影S扇形OAB212. 考点三互斥事件与对立事件例 3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种 ( 但无人通晓两种外语) 已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页知识点大全通晓中文和日语的概率为310. 若通晓中文

15、和韩语的人数不超过3 人(1) 求这组志愿者的人数；(2) 现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1 名，通晓韩语的志愿者1 名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率解(1) 设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，zN*，则xxyz12，yxyz310，00就去打球，若X0 就去唱歌，若X0，即ab. 在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b) 的所有可能结果是边长为1 的正方形 ( 不包括边界 ) ，而事件A“方程x22a2bx有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分( 不包括边界 ) 由几何概型公式可得P(A) 12111112

16、. 二、填空题7 点A为周长等于3 的圆周上的一个定点若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于 1 的概率为 _答案23解析如图，设A，M，N为圆周的三等分点，当B点取在优弧MAN上时，对劣弧AB来说，其长度小于1，故其概率为23. 8 (2013江苏 ) 现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案2063解析P45792063. 9 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体， 其底面落于桌面，记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14

17、 页知识点大全所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是_答案12解析将抛掷甲、 乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y) ，共包含 16 个 基本事件，其中xy为整数的有(1,1) ， (2,2)，(3,3)，(4,4) ，(2,1) ，(3,1) ，(4,1)，(4,2)，共 8 个基本事件，故所求的概率为81612. 10已知区域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向区域 上随机投1 个点，则这个点落入区域A的概率P(A) _. 答案14解析作出如图所示的可行域，易得区域 的面积为12101050，区域A( 阴影部分 ) 的面积

18、为1255252. 故该点落在区域A的概率P(A) 2525014. 三、解答题11某学 校的篮球队、 羽毛球队、 乒乓球队各有10 名队员， 某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1) 该队员只属于一支球队的概率；(2) 该队员最多属于两支球队的概率解从图中可以看出，3 个球队共有20 名队员(1) 记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A. 所以P(A) 3542035. 故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为35. (2) 记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B. 则P(B) 1P(B)精选学习资料 - - - - -

19、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页知识点大全1220910. 故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为910. 12在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题， 其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答(1) 求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(2) 求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16 个，它们是： (A1，A1) ，(A1，A2) ，(A1，B) ，(A1，C) ，(

20、A2，A1) ，(A2，A2) ，(A2，B) ，(A2，C) ，(B，A1) ，(B，A2) ，(B，B) ，(B，C) ，(C，A1) ，(C，A2) ，(C，B) ，(C，C) (1) 用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有：(A1，A1) ，(A1，A2) ，(A2，A1) ，(A2，A2) ，(B，B) ，(C，C) ，共 6 个，所以P(M) 61638. (2) 用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有： (B，A1) ，(B，A2) ，(C，A1) ， (C，A2)，(C，B) ，共 5 个，所以P(N) 516

21、. 13现有 8 名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛(1) 求C1被选中的概率；(2) 求A1和B1不全被选中的概率解(1) 从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1 名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为(A1，B1，C1) ，(A1，B1，C2) ，(A1，B2，C1) ，(A1，B2，C2) ，(A1，B3，C1) ， (A1，B3，C2) ，(A2，B1，C1) ，(A2，B1，C2) ， (A2，B2，C1) ，(A2，B2，C2)

22、，(A2，B3，C1) ，(A2，B3，C2) ，(A3，B1，C1) ，(A3，B1，C2) ， (A3，B2，C1) ，(A3，B2，C2) ，(A3，B3，C1) ，(A3，B3，C2) 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1) ，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1) ， (A2，B1，C1) ，(A2，B2，C1) ，(A2，B3，C1) ，(A3，B1，C1) ， (A3，B2，C1) ，(A3，B3，C1) 事件M由 9 个基本事件组成，因而P(M) 91812. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页知识点大全(2) 用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于N(A1，B1，C1) ，(A1，B1，C2) ，事件N由 2 个基本事件组成，所以P(N) 21819. 由对立事件的概率公式得P(N) 1P(N) 11989. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页