高等数学一元函数积分学ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学(20%(20%）一、一、 不定积分不定积分二、定积分二、定积分三、定积分的应用三、定积分的应用我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 本讲出题在本讲出题在10分分18分之间，考点不多，分之间，考点不多，一般在选择题、填空题、计算题中出现，一般在选择题、填空题、计算题中出现，不定积分是定积分的基础，定积分又是二不定积分是

2、定积分的基础，定积分又是二重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大，希望同学们多练习。希望同学们多练习。 本讲重点：本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念）原函数、不定积分的概念和性质。（和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。）直接积分方法、换元积分法。（3）凑微分技巧。）凑微分技巧。 本讲难点：综合利用积分方法求不定积分本讲难点：综合利用积分方法求不定积分 。考试点津：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1原函数的概念； 2不定积分的两个性质及一个推论；

3、3分项积分法； 4换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）； 5分部积分法。 有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，用前面的方法也可解决。本章重点考核的知识点本章重点考核的知识点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第一节第一节 不定积分不定积分（一）、不定积分的概念与性质（一）、不定积分的概念与性质（二）、不定积分的基本公式（二）、不定积分的基本公式第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学2011年考了年考了16分分（三）、换元积分法（三）、换元积分法（四）、分

4、部积分法（四）、分部积分法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（一）（一） 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 1. 1. 原函数原函数 设设 是定义在某区间上的已知函数，如果是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数存在一个函数 ，使对于该区间任意，使对于该区间任意 ，都有关系式：都有关系式： 或或成立，则称函数成立，则称函数 为函数为函数 在该区间上在该区间上的一个的一个原函数原函数。)(xf)(xFx)()(xfxFdxxfxdF)()()(xf)(xF我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和

5、恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 ),( , cossin xxx。上上的的一一个个在在是是原原函函数数),( cos sin Ixx455)(xx又因为：又因为：455) 1(xx455)3(xx455)(xcx 所以显然所以显然 ， ， ， 都是都是 的一个原函数。的一个原函数。5x15x35xcx 545x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由此不难得出：由此不难得出： （1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷

6、多个。）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。）同一函数的原函数之间只相差一个常数。 （3）若）若 为为 的一个原函数，则的一个原函数，则 表示表示 的所有原函数。的所有原函数。 CxF)()(xF)(xf)(xf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物任意常数任意常数积分符号积分符号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量记为记为 dxxf)(. . 称为称为 在该区间在该区间I上的不定积分。上的不定积分。)(xf即：

7、即： 设设 是是 在区间在区间I上的一个原函数，则函上的一个原函数，则函数数 的全体原函数的全体原函数 （c为任意常数）为任意常数） )(xF)(xfCxF)()(xf2. 2. 不定积分不定积分（一）（一） 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(xf)(xF)(xFy )(xf 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而而的全部积分曲线的全部积分曲线

8、)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上)(xFy 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而而)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿的图象显

9、然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上)(xFy 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而而)(xf)(xF如下图所示：如下图所示：（一）（一） 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 3. 3. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有

10、一个活的生物 xyx0cxFy)()(xf斜率斜率)(xFy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（一）（一） 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 4. 4. 原函数存在定理原函数存在定理 在在 定义区间上的定义区间上的连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数（即：（即：一定有不定积分）。一定有不定积分）。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（k是常数，是常数，)0 k 定理定理1 微分运算

11、与积分运算互为逆运算，即微分运算与积分运算互为逆运算，即 dxxfdxxfdxfdxxf)()()()()(或或1cxFxdFcxFdxxF)()()()()(或或2dxxfkdxxkf)()(定理定理2定理定理3dxxgdxxfdxxgxf)()()()( niiniidxxfdxxf11)()(推推论论（一）（一） 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 5. 5. 不定积分的性质不定积分的性质我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数);

12、 dxx )(2 dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(;sinCx ;cotarcCx ;arccosCx xdxsin)7(;cosCx xdx)3(;|lnCx );(111 Cx（二）（二） 不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2sec )

13、8(;tanCx xdx2csc )9(;cotCx 基基本本积积分分表表（二）（二） 不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意：注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础，以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础，必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分 解：解：原式原式= =33 12321111d3 122xx dxxCxCCxx 例例：求求31dxx 22Cx

14、212Cx212Cx22CxA. A. B B C C. D.D. 11d(1)1xxxC 提示公式：提示公式：故选B我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：解：原式原式= = 21darctan1xxCx例例：求求21d1xx 提示公式：提示公式：21darctan1xxCx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：解：原式原式= = 1 11d11111111(1)11ln 1xxxdxdxxx

15、xdxdxdxdxxxxxC 例例：计算计算d1xxx 提示公式：提示公式：1dln |xxCx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（三）换元积分法（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）（重点掌握第一换元积分法）. .第一换元法（凑微分法）第一换元法（凑微分法） 第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法 分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中间变量的替换，得到复合函数的积分法。间

16、变量的替换，得到复合函数的积分法。 设设( )f u的原函数是的原函数是( )F u，即，即 ( )( )F uf u ( )( )f u duF uC 又又( ),ux且且( )x可微，有可微，有 ( )( )( )Fxfxx ( )( )( )d( )( )duxfxx xFxCf uu 定理定理 1 1：设：设( )f u有原函数有原函数( ),F u( )ux可导，则可导，则 ( )( )( )d( )( )duxfxxxFxCf uu 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例：计算：计

17、算d1xxexe 解：原式解：原式= =111() dd()d(1)111xxxxxxexeeeee 11dulnln1xxueuCeCu 2008年解答、8分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 1 1：求：求2cos2 dx x 解：原式解：原式= =2222e d()e deexuuxx uxuCC 例例 3 3：求：求22 e dxxx 解：原式解：原式= =111d(32 )ln(32 )2322xxCx 一般地：对于积分一般地：对于积分()d ,f axbx总可作变换总可作变换u

18、axb 11()d()() d( )du ax bf axbxf axb axbxf uuaa 例例 2 2：求：求1d32xx 解：原式解：原式= =cos2(2 ) dcos2 d(2 )sin2xxxxxxC 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 2第二换元法第二换元法 第一类换元法是将积分第一类换元法是将积分( )( )dfxxx代为积分代为积分( )d ,f uu我我们常常遇到相反的情形，适当地选择变量代换们常常遇到相反的情形，适当地选择变量代换( )xt，从而将，从而将积分积分(

19、)df xx化为积分化为积分( )( )dfttt 公式：公式：( )d( )( )df xxfttt叫做第二换元积分法叫做第二换元积分法 解：设解：设sinxat ()22t 原式原式= =22coscos dcosdat at tat t= =22sin cos22aatttC 由由sinxat，得，得 arcsinxta 例例 4 4：求：求22daxx 0a 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 222cos1 sinaxtta 原式原式= =2221arcsin22axx axCa 解

20、：设解：设tanxat 22t 原式原式= =2secdsec dln(sectan )secattt tttCat 由由tan ,xat得得 22tan,secxxattaa 所以所以 原式原式= =22lnxaxCaa 例例 5 5：求：求22dxxa (0)a 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（四）（四） 分部积分法分部积分法 分析：分析：()uvu vuv uvuvu v d() dduv xuvxu v x ddu vuvv u 分部积分公式：分部积分公式： ddu vuvv u

21、解：设解：设,dcos dd(sin ),sinuxvx xx vx 原式原式= =d(sin )sinsin dxxxxx x = =sincosxxxC 但若令但若令 21cos ,ddd()2uxvxxx 原式原式= =222111cos d()cosd(cos )222xxxxxx 例例 7 7：求：求cos dxx x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由此可见，如果由此可见，如果u和和 dv选取不当，就求不出结果选取不当，就求不出结果. . 考虑：考虑： v容易求容易求 du v

22、要比要比dv u容易积容易积 解：设解：设ln ,dduxvx x 原式原式= =2221111ln d()lnd222xxxxxxx = =2221111lndln2224xxx xxxxC 例例 9 9：求：求ln dxx x 解：设解：设,de de ,exxxuxvxdv 原式原式= =d(e )ee deexxxxxxxxxC 例例 8 8：求：求e dxxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到

23、愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2010年解答、8分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用恒等变形利用恒等变形, 及及 基本积分公式进行积分基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质我吓了一跳，

24、蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二节第二节 定积分定积分（一）基本概念与基本性质（一）基本概念与基本性质（二）牛顿（二）牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学（三）定积分的换元积分法和分部积（三）定积分的换元积分法和分部积 分法分法（四）无穷区间上的反常积分（四）无穷区间上的反常积分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续

25、曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy （一）基本概念与基本性质（一）基本概念与基本性质1 1、定积分的定义、定积分的定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）

26、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iixf )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx b,xxxxxaba,n1n210 L个分点，内插入若干在区间1. 分割分割2. 近似近似 iA我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

27、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 ,当分割无限加细当分割无限加细曲边梯形面积为曲边梯形面积为时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度)0(,max21 nxxxL3. 求和求和4. 取极限取极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx L ， 如如果果不不论论对对,ba在

28、在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210L把把区区间间, ba分分成成n个个小小区区间间， 各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1(L i， 在各小区间上任取在各小区间上任取一一点点i （iix ），作乘积作乘积iixf )( ), 2 , 1(L i, , 并作和并作和iinixfS )(1 ， 定义定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论

29、论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意：注意：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，积分值仅与被积函数及积分区间有关， ( )dbaf xx ( )dbaf tt ( )dbaf uu （2）定定义义中中区区间间的的分

30、分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关. 称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 若若函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续， 定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在

31、2.定积分存在定理定积分存在定理区间区间,ba上可积上可积. .定理定理我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物, 0)( xf( )dbaf xxA 曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf( )d

32、baf xxA 曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A1234( )dbaf xxAAAA 3.定积分的几何意义定积分的几何意义ab我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世

33、界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）性质性质1 14.定积分的性质（定积分的性质（证明略证明略

34、）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物性质性质2 2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba ( )dcaf xx ( )d( )dbcabf xxf xx ( )dbaf xx ( )d( )dccabf xxf xx ( )d( )d .cbacf xxf xx （定积分对于积分区间具有可加性）

35、（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3 3我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(niL , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx L iinixf )(lim10 ( )d0.baf xx 性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物性质性质

36、5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg ( )( )d0,bag xf xx ( )d( )d0,bbaag xxf xx 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(ba 证证, )()()(xfxfxf ( )d( )d( )d ,bbbaaaf xxf xxf xx 说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论：的推论：（2）我吓了一跳，蝎子是多么丑

37、恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm d( )dd ,bbbaaam xf xxM x ()( )d().bam baf xxM ba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连

38、连续续，证证1( )dbamf xxMba ()( )d()bam baf xxM ba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使1( )( )d ,baff xxba )(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ， 即即积分中

39、值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积 等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小小结我吓了一跳

40、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.1. 积分上限函数积分上限函数2.2.牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式（二（二 ）牛顿）牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点， ( )dxaf xx 考察定积分考察定积分( )dxaf tt ( )( )d ,xaxf tt 称为积分上

41、限函数。称为积分上限函数。 如如果果上上限限x在在区区间间 ,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，记记为为 1.积分上限函数积分上限函数积分上限函数的定义积分上限函数的定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ab xyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证()( )dxxaxxf tt )()(xxx )(x x xxadttf)( xadttf)(xx 0l

42、im我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 ( )d ,xxxf tt 由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( 之间之间与与介于介于xxx , 0 x),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx( )d( )dxxxaaf ttf tt xaxxxdttfdttf)()( xadttf)(x )(lim fx )(xf 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的

43、生物例例1 1 求求解解 xtdtedxd02 xtdtedxd022xe 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数， CxxF )()(,bax 证证2.牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式(Newton-Leibnitz Formula)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令令ax ,)()(Caa

44、F ( )( )d0aaaf tt ,)(CaF ( )d( )( ),xaf ttF xF a ( )( )d,xaF xf ttC 令令 bx( )d( )( ).baf xxF bF a 牛顿牛顿莱布尼茨公莱布尼茨公式式CxxF )()(CxFdttfxa )()(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )d( )( )baf xxF bF a 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一

45、个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量.注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 求求 解解 120dxxx 1112220013320dd21210333343xxxxxxxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例7 7 求求 解解121d . xx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln

46、x,121dxx 12|ln x2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin dAx x 0cos x. 2 . 2ln 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数( )( )dxaxf tt 2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx ( )d( )( )baf xxF bF a 小结小结 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系分学之间的关系我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把

47、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 1.1.定积分的换元法定积分的换元法（三）（三） 定积分的换元法定积分的换元法 2.2.定积分的对称性定积分的对称性3.3.定积分的分部积分法定积分的分部积分法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当当t在在区区间间, 上上变变化化时时，)(tx 的的值值在在

48、,ba上上变变化化，且且a )( 、b )( ，1.定积分的换元法定积分的换元法我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 计算计算0cosd2xx 解解令令,2xt x,2 t0 x, 0 t0022001cosd2 cosd22 22 cos dt2sin2sin2sin02022xxxxtt 1d ,2dtx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物又解例又解例 计算计算解解02 cosd22xx

49、 20cosd .2xx 202 cos d2xtt t 20sin2tt202sin2x 0cosd2xx 0cosd2xx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量量t时时，积积分分限限也也 相相应应的的改改变变. . 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物用用第第一一类类换换元元法法即即凑凑微微分分

50、法法解解定定积积分分时时可可以以不不换换元元，当当然然也也就就不不存存在在换换上上下下限限的的问问题题了了. 注意注意我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意注意:（1）（2）用用换换元元法法解解题题时时，要要注注意意看看换换元元积积分分公公式式的的内内容容； 12111.1dxxxt 考考察察，令令不可以！我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证证00( )d( )d( )d ,aaaaf xxf