2022年抛物线的简单几何性质教学设计 .pdf

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1、1 2. 3.2 抛物线的简单几何性质教学设计一、学习目标：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化. 二、学情分析： 学生已经学习了椭圆与双曲线的方程及性质，对圆锥曲线的学习已经形成了较好的模式。所以，学习完抛物线及其方程之后，本节课对学生而言不会有太多难点。三、教学内容分析： 本节课的学习重点是抛物线的几何性质及其运用，本节课的学习难点是抛物线几何性质的运用四、教学环节与活动（一）复习引入： （ 学生回顾并填表格）1抛物线定义：平面内与一个定点F

2、 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点 F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2抛物线的标准方程：相同点： (1) 抛物线都过原点；(2) 对称轴为坐标轴；(3) 准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp. 不同点： (1)图形关于 x 轴对称时， x 为一次项， y 为二次项，方程右端为px2、左端为2y； 图形关于y 轴对称时，x 为二次项， y 为一次项， 方程右端为py2， 左端为2x. （2）开口方向在x 轴（或 y 轴）正向时，焦点在x 轴（或 y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在

3、 x 轴（或 y 轴）负向时，焦点在x 轴（或 y 轴）负半轴时，方程右端取负号. (二) 讲解新课：类似研究双曲线的性质的过程，我们以022ppxy为例来研究一下抛物线的简单几何性质：图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0 ,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2pyxyOFlxyOFl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - -

4、- 2 1范围因为 p0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标 (x ，y) 满足不等式 x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以 y 代 y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程022ppxy中，当 y=0 时， x=0，因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如

5、下：（学生通过对照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率022ppxyxyOFl0 ,0 x轴0 ,2p2px1e022ppxyxyOFl0 ,0 x轴0,2p2px1e022ppyx0 ,0y轴2,0p2py1e022ppyx0 ,0y轴2,0p2py1e注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离. 思考：抛 物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 (三) 例题讲

6、解：例 1 已知抛物线关于x 轴为对称， 它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为pxy22，因为它过点)22,2(M，所以22)22(2p，即2p因此，所求的抛物线方程为xy42将已知方程变形为xy2，根据xy2计算抛物线在0 x的范围内几个点的坐标，得x0 1 2 3 4 y0 2 2.8 3.5 4 描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那

7、样无限地接近于某一直线，也就是说， 抛物线没有渐近线例 2 斜率 为 1 的直线经过抛物线y2=4x 的焦点，与抛物线交于两点A、 B，求线段AB的长 .解法 1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0） ，准线方程x=1. 由题可知，直线AB 的 方程为 y=x1 代入抛物线方程y2=4x，整理得： x26x+1=0 解上述方程得x1=3+22 ,x2=322分别代入直线方程得y1=2+22 ,y2=222即 A、B 的坐标分别为（3+22 ，2+22 ） ， （322 ，222 ）|AB|=864)222222(2)223223(22解法 2：设 A(x1,y1)、B(x2,y2

8、)，则 x1+x2=6,x1x2=1 |AB|=2 |x1x2| 84624)(2221221xxxx解法 3：设 A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点 A 到准线 x=1 的距离 |AA| 即|AF|=|AA|=x1+1 同理 |BF|=|BB|=x2+1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8 点评：解法 2 是利用韦达定理根与系数

9、的关系，设而不求， 是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3 充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。变式训练：过抛物线24yx的焦点F作直线，交抛物线于11(,)P x y,22(,)Q xy两点 ，若126yy，求PQ。解：214xy，112,48pp，11PQPFQFPPQQ12116688yyp。点评 ：由以上例2 以及变式训练可总结出焦点弦弦长：12ABxxp或12AByyp。(四) 达标练习 ：1过抛物线xy42的 焦点作直线交抛物线于11, yxA，22, yxB两点，如果621xx，那么| AB=（）（A）10 （B）8 （C）6 （D）4 2 已 知M为 抛 物

10、 线xy42上 一 动 点 ，F为 抛 物 线 的 焦 点 ， 定 点1,3P， 则|MFMP的最小值为（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3过抛物线xy42焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是_ 4. 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动， 求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标 .参考答案： 1. B 2. B 3.122xy4.22,45M , M到y轴距离的最小值为45. （五）小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等. （六）课后作业 ：1根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x

11、轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 （3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m， 3）到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则A2FB2等于 . 3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆1522yx的右焦点， F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4 米时，水面宽40 米，当水面下降1 米时，水面宽是多少米？五、教学资源PPT课件，学案六、教学评价： 本节课通过多媒体课件的运用，灵活展示图像的变化特点，学生认知获得了充分体验，教学效果很好。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -