2022年排列组合公式以及排列组合计算公式版 .pdf

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1、排列组合公式 /排列组合计算公式排列P-和顺序有关组合C - 不牵涉到顺序的问题排列分顺序 ,组合不分例如把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法 . 排列把 5 本书分给3 个人,有几种分法组合1排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n,m)表示 . p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1).2组合及计算公式从n 个不同元素中，

2、任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号c(n,m) 表示 .c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3其他排列与组合公式从n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是n1,n2,.nk 这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

3、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - k 类元素 ,每类的个数无限 ,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m).排列（ Pnm(n 为下标， m 为上标 )）Pnm=n （n-1）.（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n 为下标 1 为上标） =n组合（ Cnm(n 为下标， m 为上标 )）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！； Cnn（两个 n 分别为上

4、标和下标） =1 ；Cn1（n 为下标 1 为上标） =n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式 P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。公式 C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。N-元素的总个数R 参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！ 9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N 倒数 r 个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从n 到（ n-r+1) 个数为n（ n-r+1) r举例：Q1:有从1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“ 排列

5、 P” 计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997 之类的组合，我们可以这么看，百位数有9 种可能，十位数则应该有9-1 种可能，个位数则应该只有9-1-1 种可能，最终共有9*8*7 个三位数。计算公式P（3，9)9*8*7,( 从 9 倒数3 个的乘积）Q2:有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“ 三国联盟 ” ，可以组合成多少个“ 三国联盟 ” ？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - -

6、- - - - - - - A2:213 组合和312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“ 组合C” 计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有 3 名学生和4 个课外小组（ 1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解（ 1）由于每名学生都可以参加4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每

7、个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法点评由于要让3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算例 2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、中的某一个，共3 类，每一类中不同排法可采用画 “ 树图 ” 的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9 种点评按照分 “ 类” 的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律，“ 树图 ” 是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型例判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果（1）高三年级学生会有11 人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每

8、两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10 人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有 8 盆花：从中选出2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析（ 1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺

9、序无关，所以是组合问题其他类似分析（1）是排列问题，共用了封信；是组合问题，共需握手（次）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - （2）是排列问题，共有（种）不同的选法；是组合问题，共有种不同的选法（3）是排列问题，共有种不同的商；是组合问题，共有种不同的积（4）是排列问题，共有种不同的选法；是组合问题，共有种不同的选法例证明证明左式右式等式成立点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可

10、使变形过程得以简化例5化简解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化例6解方程：（ 1）；（ 2）解（ 1）原方程解得（2）原方程可变为，原方程可化为即，解得第六章一、考纲要求排列组合、二项式定理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列

11、数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例 1 5 位高中毕业生，准备报考3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有 3 种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3 3 3 3 3=3 (种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排

12、列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例 2 由数字1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000 的偶数共有 ()A.60 个B.48 个C.36 个D.24 个15解因为要求是偶数，个位数只能是2 或 4 的排法有P 2；小于50 000 的五位1数，万位只能是1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有P 3;在首末两位数排定后，3131中间3 个位数的排法有P 3，得P 3P 3P 236(个)由此可知此题应选C.例 3 将数字1、2、3、

13、4 填入标号为1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解：将数字1 填入第2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即214 3，3142，4123；同样将数字1 填入第3 方格，也对应着3种填法；将数字1 填入第4 方格，也对应3 种填法，因此共有填法为3P 3=9(种).例四例五可能有问题，等思考1

14、三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例 4 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有()A.140 种B.84 种C.70 种D.35 种解：抽出的3 台电视机中甲型1 台乙型2 台的取法有C14 C25 种；甲型2 台乙21型 1 台的取法有C 4 C 5 种根据加法原理可得总的取法有C24 C25+C24 C15=40+30=70( 种 )可知此题应选C.例 5 甲、丙、乙、丁四个公司承包8 项工程，甲公司承包3 项，乙公司承包1 项

15、，丙、丁公司各承包2 项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8 项工程中选出3 项工程的方式C 8 种；13乙公司从甲公司挑选后余下的5 项工程中选出1 项工程的方式有C 5 种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4 项工程中选出2 项工程的方式有C 4 种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2 项工程中选出2 项工程的方式有2C 2 种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 8 C 5 C 4 C 2= 1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质31222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

16、- - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985 年至1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x- ) 的展开式中， x 的系数是 (6106)D.9C 104A.-27C 10解因TB.27C 104C.-9C 106设(x- )10 的展开式中第+1 项含x6，+1=C10 x10-(- ) ，10- =6, =4444于是展开式中第5 项含x 6，第 5 项系数是C 10(- ) =9C 10

17、故此题应选D.例7于(x-1)-(x-1)2 (x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的x的系数等解：此题可视为首项为x-1，公比为 -(x-1) 的等比数列的前5 项的和，则其和为在(x-1) 中含 x 的项是C 6x (-1) =-20 x ，因此展开式中x 的系数是 -2 0.(五)综合例题赏析例8A.1解： A.例 9 2 名医生和4 名护士被分配到2 所学校为学生体检，每校分配1 名医生和2 名护士，不同的分配方法共有()A.6 种B.12 种26333332若(2x+ ) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ，则 (a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值为 (B.

18、-1C.0D.2423422)C.18 种2D.24 种解分医生的方法有P 22 种，分护士方法有C 4=6 种，所以共有6 212 种不同的分配方法。应选 B.例 10 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台，则不同取法共有().A.140 种B.84 种C.70 种D.35 种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 解：取出的3 台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰

19、有二台两种情形.C 4 +C 5 C 4=5 6+104=70.应选C.例 11 某小组共有10 名学生，其中女生3 名，现选举2 名代表，至少有1 名女生当选的不同选法有()A.27 种B.48 种C.21 种D.24 种221解：分恰有1 名女生和恰有2 名女生代表两类：C 3 C 7+C 3=3 7+3=24，应选D.例 12 由数学0， 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有().A.210 个C.464 个B.300 个D.600 个1112解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P 5 P 55=600 个.由对称性，个位数小于十位数的

20、六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.有 600=300 个符合题设的六位数.应选B.例 13A.70 个C.58 个以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(B.64 个D.52 个).解：如图，正方体有8 个顶点，任取4 个的组合数为C48=70 个.其中共面四点分3 类：构成侧面的有6 组；构成垂直底面的对角面的有2 组；形如(ADB1C1 )的有4 组.能形成四面体的有70-6-2-4=58( 组 )应选C.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页

21、 - - - - - - - - - 例 14 如果把两条异面直线看成“ 一对 ” ，那么六棱锥的棱所在的12 条直线中，异面直线共有().A.12 对C.36 对解：设正六棱锥为OABCDEF.任取一侧棱OA(C 6)则 OA 与 BC、CD、DE 、EF 均形成异面直线对.共有C 6 4=24 对异面直线 .应选 B.例 15共正六边形的中心和顶点共7 个点，以其中三个点为顶点的三角形个(以数字作答 ).311B.24 对D.48 对解： 7 点中任取3 个则有C 7=35 组.其中三点共线的有3 组(正六边形有3 条直径 ).三角形个数为35-3=32 个 .例 16 设含有10 个元素

22、的集合的全部子集数为S，其中由3 个元素组成的子集数为 T，则的值为。解10 个元素的集合的全部子集数有：01234567891SC 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 010=2 10=1024其中，含3 个元素的子集数有T=C 10=120故=例 17例 17在 50 件产品n 中有4 件是次品，从中任意抽了5 件，至少有 3 件是次品的抽法共种(用数字作答 ).解： “ 至少 3 件次品 ” 即“ 有 3 件次品 ” 或“ 有 4 件次品 ”.C 4 C 46+C 4 C 46=4186(种)例 18 有甲、乙、丙三项任务，

23、甲需2 人承担，乙、丙各需1 人承担，从10人中选派4 人承担这三项任务，不同的选法共有().32413名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - A.1260 种C.2520 种B.2025 种D.5040 种2解：先从10 人中选2 个承担任务甲(C 10)再从剩余8 人中选1 人承担任务乙(C1 8)又从剩余7 人中选1 人承担任务乙(C 7)有C 10 C 8C 7=2520( 种).应选C.例 19A.7 个集合

24、 1，2，3子集总共有(B.8 个C.6 个).D.5 个2111解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数C 3，由二个元素组成的子集数C 3。由 3 个元素组成的子集数C 3。由加法原理可得集合子集的总个数是C13+C23+C33+1=3+3+1+1 8故此题应选B.例 20 假设在200 件产品中有3 件是次品，现在从中任意抽取5 件，其中至少有两件次品的抽法有().A.C 3C 197 种C.C 200-C 1975523312B.C 3C 197 +C 3C 197D.C 200-C5132332C 197234解： 5 件中恰有二件为次品的抽法为C

25、3C 197，5 件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，至少有两件次品的抽法为C 3C 197+C 3C 197.应选B.例 21 两排座位，第一排有3 个座位，第二排有5 个座位，若8 名学生入座 (每人一个座位 )，则不同座法的总数是().2332名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - A.C 8C 853B.P 2C 8C 8153C.P 8P 853名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -