2022年数列通项公式经典例题解析 .pdf

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1、求数列通项公式一、公式法类型 1)(1nfaann解法 ：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累加法 (逐差相加法 )求解。例 1 已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：123 2nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注 ：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的

2、通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。练习题：1.已知数列na满足1132313nnnaaa，求数列na的通项公式。2. 已知数列na满足211a，nnaann211，求na例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1) 12(2)1(22 1)(2 1 1) 12(1)(2)2 1(1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

3、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 所以数列na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。二、累乘法类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。例 3 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnna

4、na，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(21) 5 2(11) 5 32 (1)3 253325!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 4 已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)

5、nnnaaaanana用式式得1.nnnaana名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122! (1)43.2nnnnnaaanaan naaaaa由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan。所以，na的通项公式为!.2nna评注 ：本题解题的关键是把递推关系式

6、1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa， 从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。练习题：1.已知数列na满足321a，nnanna11，求na2.已知31a，nnanna23131)1(n，求na三、待定系数法类型 3qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq） 。解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用 换元法 转化为等比数列求解。例 5 已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax名师资料

7、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 将123 5nnnaa代入式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na， 得13 5525nnnxx， 两 边 除 以5n， 得352 ,1,xxx则代 入 式 得1152(5 )nnnnaa由1156510a及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna是以1151a为首项，以2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把

8、递推关系式123 5nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5 nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。练习题 1 已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。练习题2 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。过关练习：1 已知数列na中，11a，321nnaa，求na2 在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ 四、数学归纳法例 6 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21)

9、 (23)nnnaann及189a，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2122322243228(1 1)88224(21 1) (213)9925258(21)248348(221) (223)252549498(31)488480(231) (233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，

10、所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前

11、n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 其他类型类型4 nnnqpaa1（其中p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq） 。（或1nnnaparq,其中 p，q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再待定系数法解决。课后练习题已知数列na

12、中，651a,11)21(31nnnaa，求na。类型 5 递推公式为nS与na的关系式。 (或()nnSf a)解法：这种类型一般利用)2() 1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。课后练习题已知数列na前 n 项和2214nnnaS. （1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 类型 6banpaann 1)001(，a、p解法 ：这种类 型一般利 用待 定系数 法 构造 等 比数 列 ， 即令)() 1(1yxnapynxann， 与 已 知 递 推 式 比 较 ， 解 出yx, 从 而 转 化 为yxnan是公比为p的等比数列。课后练习题设数列na：)2(, 123,411nnaaann，求na. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -