第11章曲线积分与曲面积分.doc
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1、+目录1对弧长的曲线积分(扩展)对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分3格林公式及其应用4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分1复习之前已经学过计算曲线长度的积分(1)对于y=y(x),有 (2)对于参数方程 有 (3)对于极坐标方程是,转成直角坐标 ,则。代入 2曲线积分的概念上面3个都是求弧长,现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么,如果把被积函数f(x,y)看成是密度,那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为1,则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。对弧长的曲线积分,称为“第一类曲线积分”。扩展到空间,若被
2、积函数是f(x,y,z)那么,就表示在空间曲线L的密度,求得的结果就是空间的线质量。定义:3计算方法计算步骤1画出图形2写出L的方程,指出自变量范围,确定积分上下限(下限必须小于上限)3由L类型写出对应ds的表达式4因被积函数f(x,y)的点x,y在L上变动,因此x,y必须满足L的方程。即把L中的x,y代入被积函数f(x,y)中。5写出曲线积分的定积分表达式,并计算。注,二重积分中xy在投影域D内动,而被积函数的xy在L上动,故(x,y)必须满足L。如,L的方程y=k,则 (保留。还不太懂)参数方程设曲线有参数方程 ,则有:显式方程设曲线为 ,则有:设曲线为 ,则有:极坐标方程设曲线为 则有:
3、注:常用,半径R的圆弧对应 空间曲线方程设曲线为空间曲线 ,则有:4、对称性:见重积分总结5、特别性质设在L上f(x,y)=g(x,y),则,特别的,有此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用1求柱面面积2求曲线的质心、转动惯量(其实和二重积分一样,完全可以自己推导)质心坐标: 、转动惯量:I=mr2,因此有 3变力沿曲线做的功设平面力场的力为 求该力沿着曲线L从a到b所做的功。对于直线的路径ab来说功的大小是(这里有两个特点:1路径是直线2力的方向和位移的方向相同)4、平面流速场面积和流量计算5、平面环流场面积计算6、特别性质 第二类曲线积分不具有此性质。其证明比较简单,看课本
4、。2对坐标的曲线积分1、对坐标的曲线积分的定义:对坐标的曲线积分,分为对x坐标和y坐标的曲线积分,两者合在一起,为:2、计算方法:化为定积分求解曲线积分时,最好先用格林公式看看是否与路径有关?作出L的图形,标出L路径的方向写出L的方程 ,并指出起点和终点的参数 注意,并不分谁大谁小。把分别代入被积表达式,为下限,为上限。注意:仍然有被积函数的(x,y)须满足L方程。空间曲线计算必须化为参数方程来计算同样的,在计算时,算圆能用直角坐标很难,用极坐标就很简单3、第一类曲线积分和第二类曲线积分的区别不同点:第一类曲线积分是对弧长的曲线积分,其被积函数f(x,y)仅是一个数量值。而第二类曲线积分是对坐
5、标的曲线积分,其被积函数既有大小,又有方向。相同点:第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分在力场中,沿路径L从A到B,第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。有:4、第一类和第二类曲线积分的互相转换为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds,我们将x,y改写设为参数方程。设,则设,则代表着L上某点的切线方向。而、则就是切线方向的单位向量。若从切线方向上考虑,则、,因此可以改为若设,则结果也可以改为而这种在转换时更方便常用一些。(见典型例题)格林公式及其应用文中全部的P,Q都代表P(x,y),Q(x,y)格林公式定理:一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。设P(x,y),Q(x,y)都存在一阶连续
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- 11 十一 曲线 积分 曲面
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