第一讲圆的基本概念及其垂径定理.doc

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1、+第一讲 圆的基本概念及垂径定理一、知识点、考点集结1、圆的两种定义 动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形2、点与圆的位置关系 平面内一点A到圆心O的距离为d，圆的半径为rdr A在圆外 d=r A在圆上 dr A在圆内3、与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作，

2、读作“圆弧AB”或“弧AB” 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做优弧.OABCDM4、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.5、圆的对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. CD是直径, CDAB, AM=BM, AC=BC, AD=BD.垂径定理的逆定理：上述五个条件中，知道任意另个，可以得到另外三个结论。例 如：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 二、典

3、型例题精讲：（一）圆的有关概念例1、如下图，(1)若点O为O的圆心，则线段_是圆O的半径；线段_是圆O的弦，其中最长的弦是_；_是劣弧；_是半圆(2)若A=40，则ABO=_，C=_，ABC=_例2、已知：如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，E=18，求C及AOC的度数（二）点与圆的位置关系例3、已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的

4、位置关系如何？（4）若以A点为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？（三）确定圆的条件例4、如右图是一块破碎的圆形玻璃片，请找出圆形玻璃片的圆心和半径。例5、如图，在ABC中，BD、CE是两条高，你认为B、C、D、E在同一个圆上么？请说明理由。例6、如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求它的外接圆半径。OEDCBA（四）圆的对称性例7、今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何(选自九章算术卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸) 例8、如图所示，P为弦AB上一点，CPOP交O于点C，AB8，AP:

5、PB1:3，求PC的长。OAPBC例9、如图，在O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，OABDC求AB的长。OABCDE例10、如图所示，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE6cm，EB2cm，CEA300，求CD的长。CABDE例11、如图所示，在RtABC中，C900，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。OABM15cm8cm例12、如图所示，O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且MB:MA1:4，求工件的半径的长。OAB60cm10cm例13、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测

6、量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做吗？例141300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）（五）能力提高训练 求证：夹在圆中两条平行弦之间的弧相等。三、课堂检测1如图1，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D82下列命题中，正确的是 （ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D在

7、一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心3锐角三角形的外心在_.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是_.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_.毛4边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是_.5在O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP_ _。6已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_ _。7已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 _。8如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点DAOB=120，AD=8求OA的长ODACBOABCDEF9、如图，为了测量

8、一圆形工件的直径，一同学想利用一宽为1cm的矩形纸条放在这个圆形工件上，量得ABBC6cm，DE5cm，请你帮助分求得该工件的直径的长度。ABMNEFCD10、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？四、课后练习一、填空题1由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于_；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在_因此，圆是在一个平面内，所有到一个_的距离等于_的_组成的图形(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是_，另一个是_，其中，_确定圆的位置，_确定圆的大小

9、2连结_的_叫做弦经过_的_叫做直径并且直径是同一圆中_的弦3圆上_的部分叫做圆弧，简称_，以A，B为端点的弧记作_，读作_4.三角形的外心是_ _的圆心,它是_ _的交点,它到_ _的距离相等.二、选择题1.等腰直角三角形的外接圆半径等于( ) A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高2.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ) A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个3如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A2 B3 C4 D5第3题图 第5题图 第6题图4过O内一点M的最长弦为10cm

10、，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）A9cm B6cm C3cm D5如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A12个单位 B10个单位 C1个单位 D15个单位 6如图，的直径垂直弦于，是半径的中点，则直径的长是（ ）A B C D三、解答题1.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).2.如图,已知ABC的一个外角CAM=120,AD是CAM的平分线

11、,且AD与ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E. (1)判断FBC的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.CODEF45题图3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OECD，垂足为F已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径ABCD4、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。如图所示，AD2.3米，CD2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？OABP5、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB与点B运动所形成的圆O交于点A，测得PA4cm，AB5cm，O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。O40cm5cmABMCD6、如图，为了测量圆形工件的直径，在工作台上用边长都为5cm的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离AB40cm，求圆形工件的直径。若此题把两个小木块换成小圆柱，其直径为5cm，你还会做吗？