解析函数与调和函数的关系ppt课件.ppt

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1、第七节 解析函数与调和函数的关系 3.4.1 3.4.1 调和函数的定义调和函数的定义3.4.2 3.4.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3.4.33.4.3由调和函数构造解析函数由调和函数构造解析函数3.4.4 3.4.4 小结与思考小结与思考23.4.1 调和函数的概念调和函数的概念 定义定义3.5 如果二元实函数如果二元实函数H(x,y)在区域在区域D内有内有二阶连续偏导数二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程且满足拉普拉斯方程:即：即：22220HHxy则称则称H(x,y)为区域为区域D内的内的调和函数调和函数。注：注：2222xy 称为称为Lplace算子算子例如：例

2、如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.3设设f(z)=u+iv在区域在区域D内解析内解析,则由则由C.-R.条件条件,xvyuyvxu 得得222222,uvuvxx yyy x 内有，故在内连续，它们必定相等在与因DDxyuyxv2222220uuxy 同例同例,在在D内有内有22220vvxy 即即u及及v都是都是D内的调和函数内的调和函数3.4.2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系4v称为称为u在区域在区域D内的内的共轭调和函数共

3、轭调和函数.,uvuvxyyx 定理定理：设函数：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)A(D)u(x,y),v(x,y)都是都是D内的调和函数内的调和函数 例如例如:设设 f(z)=x-iy,则则u(x,y),v(x,y)都是都是z平面上的平面上的调和函数调和函数,但但f(z)=x-iy在在z平面上处处不解析平面上处处不解析原因原因: u(x,y),v(x,y)在在D内不满足内不满足C-R条件条件定义定义3.6 u(x,y),v(x,y)是是D内内的调和函数，的调和函数，且满足且满足C.-R.条件：条件：5 定理定理3.18 若若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内解析

4、内解析,则称在区域则称在区域D内内v(x,y)必为必为u(x,y)的共轭调和函数的共轭调和函数.定理定理3.19 设设u(x,y)是单连通区域是单连通区域D内的调和函数内的调和函数,则可构造函数则可构造函数v(x,y)：00( , )(,)( , )x yxyuuv x ydxdyCyx 使使f(z)= u+iv是是D内的解析函数内的解析函数.3.4.3 由调和函数构造解析函数由调和函数构造解析函数注：注：1. 若若(0,0)D,则在则在(3.22)中中,常取常取(x0,y0)=(0,0)2. (3.22)可用如下方法记忆可用如下方法记忆:dv(x,y)=vxdx+vydy= -uydx+ux

5、dy6例例3.15 验证验证u(x,y)=x33xy2是是z平面上的调和数，平面上的调和数，并求以并求以u(x,y)为实部的解析函数为实部的解析函数f(z),使合使合f(0)=i解：解：22336 uuxyxyxy 22226uuxxy 22220uuxy要求要求f(z)，需先求，需先求v(x,y),一般可用以下方法求一般可用以下方法求v(x,y)方法一：线积分法，用公式方法一：线积分法，用公式3.22得：得：,220,0( , )6(33)x yv x yxydxxy dy C7,0220,0,22,0( , )6(33)6(33)xx yxv x yxydxxydyxydxxydyC222

6、30(33)3yxydyCx yyC故：故：3223( )33f zu iv xxyi x y yC 33x iyiC ziC再由再由 f(0)=i,得出得出 C1，故，故 f(z)=z3+i方法二：两次积分法：首先由方法二：两次积分法：首先由C-R条件得：条件得： vy=ux=3x2-3y2 2223( , )( , )333yv x yv x y dyxy dyx y yx8由此得：由此得：6( )6( )0 xyvxyxuxyx 23( )( , )3xCv x yx yyC方法三：全微分法方法三：全微分法C Rxyyxdvv dxv dyu dxu dy22226(33)(63)3xy

7、dxxydyxydxx dyy dy232323(3)(3)( , )3d x ydyd x yyv x yx yyC方法四：不定积分法方法四：不定积分法2222( )(33)63()3xyf zuiuxyi xyx iyz 323( )( , )3f zzCv x yx yyC3(0)( )fif zzi9不定积分法不定积分法. , ),( ),( 不不定定积积分分法法求求解解析析函函数数的的方方法法称称为为用用不不定定积积分分或或已已知知调调和和函函数数yxvyxu不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程: , )( )( 仍为解析函数仍为解析函数的导数的导数解析函数解析函数zfivuzf

8、 xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 来表示来表示用用与与把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 10将上两式积分将上两式积分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求适用于已知实部适用于已知实部 , )( zfv 求求适用于已知虚部适用于已知虚部11若已知若已知 v,可用类似的方法求可用类似的方法求 u du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdyCyx 例3.16 验证验证v(x,y)=arctan(y/x)(x0

9、)再由半平面内再由半平面内是调和函数是调和函数,并求以此为虚部的解析函数并求以此为虚部的解析函数f(z)2222 xyyxvvxyxy 222222220 xxyyxxyyxyxyvvvvxyxy12答案答案课堂练习课堂练习. , 236),( 3223并求其共轭调和函数并求其共轭调和函数调和函数调和函数为为证明证明yxyyxxyxu .263),(3322cxyxyyxyxv ) ( 为任意常数为任意常数cxyyxduu dxu dyv dxv dy2222221dln()2xyxdydxyxyxy13例例3.17 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyye

10、yxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得14),()sincos(ygxyyyxeux , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于是于是15,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.)1(

11、)(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(16).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求为解析函数为解析函数使使再求再求为调和函数为调和函数使使值值求求 例例3.183.18解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得, 1 k,2 xxu 因为因为, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因为因为kyix22 17kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)( 根据不定积分法根据不定积分法,2cz , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函数为所求解析函

12、数为.2)(222zxyiyxzf 18用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ) , , )( (1为任意纯虚数为任意纯虚数所以常数所以常数实的任意常数实的任意常数不可能包含不可能包含的实部为已知函数的实部为已知函数因为因为czf例例3.203.20 .3),( 23yxyyxu 实部实部解解 ) ( 为任意实常数为任意实常数c).()( 3czizf 故故)(zf19例例3.21 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 )(zf .)sin

13、cos(),( yxyxyyeyxvx 虚部虚部xyivvzVzf )()(1)sinsincos( yyxyyeix1)cossin(cos yxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx 1cos)(sin)()sin(cos20iyiyeiyxyiyexx 1sincos)()sin(cosieiyxeiyxiyx 1)(,1izeezz zzVzfd)()(zizeezzd)1( .)1(czizez ) ( 为任意实常数为任意实常数c21.)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 试确定解析函数试确定解析函数已知已知例例3.22 解解, 2)42)()4(22

14、 yxyxyxyxvuxx两边同时求导数两边同时求导数, 2)24)()4(22 yxyxyxyxvuyy , , xvyuyvxu 且且所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得22, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 , 232 z zzzfd)23()(2.23czz ) ( 为任意实常数为任意实常数c233.3.4小结与思考小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是: 1. 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数. 2. 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数, u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .24拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France